Epreuve spécifique 2004 Classe Prepa TPC Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Epreuve spécifique 2004. Retrouvez le corrigé Epreuve spécifique 2004 sur Bankexam.fr.
Publié le : lundi 5 mars 2007
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SESSION 2004
´ ´` EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TPC
´ MATHEMATIQUES Dur´ee:4heures
Les calculatrices sont interdites * * * * *
TPC005
N.B.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´,a`lapr´ecisionet`alaconcision delare´daction. Siuncandidatestamene´a`rep´erercequipeutluisemblerˆetreuneerreurde´nonce´,illesignalera sursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilae´t´e amene´`aprendre.
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Danstoutleproble`me,E´denelsegiR-espace vectorielR[Xsed]moˆnylopes`acoecientsr´eesl. Pour tout entier natureln, on noteEnle sous-espace deElrsee´apofmruae´degresdenˆompoly pluse´gala`n. Selonlusage,onconvientdidentierunpolynˆomeetlafonctionpolynomialeassoci´ee.   2n L’espaceEnest muni de sa base canoniqueBn= 1, X, X, . . ., X.   n! n Lescoecientsbinomiauxsontnote´s=(06k6n). k k!(nk)! ´ Partie A : Etude d’un endomorphisme ´ Etantdonn´eunpolynoˆmePdeEmeynˆonpolinut´de,noφ(P) par :   200 0 [φ(P)] (X) =X1P(X) + 2XP(X). 1)semeniunendaoamionrspihdi´eqrunoJsuitφdeE. 2)Montrer que, pour tout entier natureln, le sous-espace vectorielEnest stable parφ. Onnoterade´sormaisϕnl’endomorphisme deEninduit parφsurEn: PEn, ϕn(P) =φ(P) 3)Dans cette question, on suppose quen´tgese.3laa` ´ a) Ecrirela matriceM3deϕ3dans la base canonique deE3. b) Justifierqueϕ3est diagonalisable. c)D´eterminerunebasedeE3diagonalisantϕ3eocedsemoˆnylopdeeem´or,fmi-tsdocien nantse´gauxa`1. 4)ldraneuientatrnneivcuat´gsae´nenOerrulenquelconque. a) Montrerque la matriceMndeϕnanecasabesueiqonlsnadeure´erietnaugttirsepualri pr´ecisersescoecientsdiagonaux. b)Ende´duirequeϕndistecepasrpteelbasilanogaesdimens´eciserlssuo-sseoisnedes propres. ´ PartieB:Etudedunefamilledepolynoˆmes Pour tout entier naturelne´dno,oleptlnimeˆoynLnpar n 1P 2 n nk k Ln(X) =(X1) (X.+ 1) n k 2 k=0 1)Cuclasrelsfoumeormpsi´lismeˆoynolspleeeL0,L1,L2etL3. 2)CalculerLn(1) pour toutnN. 3)etmrDe´´egrdeerindeleLnen fonction den(nN) et donner son coefficient dominant sous la forme d’une somme. 4)En utilisant un changement d’indice, montrer queLnueeqlaeˆmaapem´tirn. 5)muledeerV´eri`,laadidelefaroLeibniz, que : n  1 dn 2 nN, Ln(X) =X1 . n n 2n! dX 6)tdomcientdeinanicilemeteltneocE´endirduxpeeLn, puis la relation   n Pn2  2n nN,= . k n k=0 7)Montrer alors que   n   1 +|x| 2n nN,xR,|Ln(x)|6. n 2   n 2 8)luterreanuttotient,niurponOe´dnpelol,meynˆoUn(X) =X1 .
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a)Ve´rierque:   20 X1 Un(X) = 2nXUn(X). b)End´erivantn+ 1fois cette relation, montrer que nN, φ(Ln) =n(n+ 1)Ln. PartieC:D´enitiondunproduitscalaire On pose Z 1 2 (P, Q)E ,hP, Qi=P(x)Q(x) dx. 1 1)lairesuriteJsuinaad´siuerqonliudoacstinerpnuE. Danstoutelasuiteduproble`me,lespaceEet ses sous-espacesEn(nN) serontsyst´ematiquementmunisdeceproduitscalaire. 2)quea) Montrer Z 1 2 20 0 (P, Q)E ,hφ(P), Qi= (1x)P(x)Q(x) dx. 1 b)Quepeut-ondirede´duirepourlesendomorphismesϕn(nN) ? c)End´eduire,`alaidedunr´esultatdelapartieBeseselqu,omnˆlypoLp(pN) sont deux`adeuxorthogonaux. 3)Soitnun entier naturel. ´ a)Etablirparr´ecurrencesurkque Z k1k nk   (d1) d 2n k[|0, n|],hQ, Lni= [Q(x)] (x1) dx. n knk 2n! dxdx 1 b)Ende´duireque,poourtoutnN,Lna`lanogestorthoEn1. c)RetrouverainsiquelespolynˆomesLp(pNontd)sadeueux`uxna.rtxogoho 2 ` 4)a) Al’aide deC.3)a), exprimer, pour tout entier natureln,kLnken fonction de Z 1 2n In= (x1) dx. 1 ` b)Alaideduneinte´grationparparties,montrerque 2n+ 2 nN, In+1=In. 2n+ 3 c)End´eduire,pourtoutnN, une expression deInfaisant intervenir des factorielles. d)End´eduireque r 2 nN,kLnk= . 2n+ 1 5)Donner, pour tout entier naturelndeonorm´eehtroesabenu,En. PartieD:Unerelationder´ecurrence Soitnun entier naturel non nul. n+1 1)Calculer le coefficient deXdans (n+ 1)Ln+1(X)(2n+ 1)XLn(X). 2)stxiceenleticunEe´dnriudeletie´edn+r1e´lesαktels que n P (n+ 1)Ln+1(X)(2n+ 1)XLn(X) =αkLk(X). k=0 hXLn, Lki 3)Montrer quek[|0, n|], αk=(2n+ 1). 2 kLkk 4)Pour toutk[|0, n2|ierque],v´erhXLn, Lki=hLn, XLkipuis montrer queαk= 0. 5)edsnirapre´doitarqreuee,t´ntmodesconsiParαn= 0.
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6)naltlisiuedrvalalynˆespoutEnomesLkniopd,1tete´nimralersorauαn1. 7)´ddeiueruqeEnnN,(n+ 1)Ln+1(X)(2n+ 1)XLn(X) +nLn1(X) = 0. PartieE:Fonctionge´n´eratrice P n Onxeunre´elt`eidlareonetnscoe`iterre´sneeiLn(t)x,delavaeelleirbael´rx. nN   n   P1 +|t| 2n n 1)reneeie`italedre´svergenceyondeconnireelarDe´etmrx. n 2 nN P n 2)ecnegrevnondecrayoueleireqe´udEdnRtre`etienieers´aledLn(t)xest strictement nN positif. On donnera une minoration deRtam,nosiclluelacre.erchnechas`aerap +P n On noteSteeire´se:ere`itnomaslttcedemex]Rt, Rt[, St(x) =Ln(t)x n=0 3)astnel´rEunitileesultatdD.7), montrer queStest solution sur ]Rt, Rtntaoie´uqedl[ di´erentiellesuivante,dinconnueyfonction dex: 20 (Et) (12tx+x)y(x) + (xt)y(x) = 0 4)Pour|t|<en1,reuiedd´serpxelednoisSt(x) en fonction dex. Partie F : Projection orthogonale, calcul de distance 1)Calculer, pour tout entier naturelkrglael,itne´ Z 1 k Jk=xdx. 1 ´ 2)selEtansneruratxueditnenodtse´nnetr, tels que 06r6n, on noteprla projection ortho-gonale deEnsur son sous-espace vectorielEr. Donneruneexpressiong´ene´raledepr(Puop,erialacstiudmeˆoynoltpourttu)sililtnaorpeP deEn. 3 3)sodeusppnOsrmai´eson= 3 etP=X. a)De´terminerp0(P),p1(P) etp2(P). b) Calculerles distancesd(P, Ek) dePaux sous-espaces vectorielsEkpour tout entierk tel que 06k62. 4)On noteGlseenlembspdenyloemoˆdeds´rgee3etdecoecientdmonina´tgelaa`.1 Montrer l’existence de Z 1 2 m(= minQ(x)) dx QG 1 etpr´ecisersavaleur,ainsiquelespolynoˆmesre´alisantceminimum.
Findel´enonce´
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