Esc 1999 mathematiques classe prepa hec (eco) mathematiques 1999 classe prepa hec (eco)

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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D INDUSTRIEEPREUVES ESCCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESMATHEMATIQUESOPTION ECONOMIQUEAnnØe 1999La prØsentation, la lisibilitØ, orthol graphe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans apprl Øciation des copies. Les candidats sont invitØs à encadrer, dans lamesure du possible, les rØsultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d aucun document ;L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmatØrielØlectroniqueestinterditpendantcetteØpreuve.Seule ul tilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.1/4Exercice 1Partie A : Øtude d’une fonction.2Soit f la fonction dØ…nie surR par: f(x) = ln(1+x ).On dØsigne par C sa courbe reprØsentative dans le plan muni d’un repŁre orthonormØ.1. Montrer que f est une fonction paire2. Etudier les variations de f et prØciser les limites en +1.3. Montrer que f(x) est Øquivalent à 2lnx quand x tend vers +1.En dØduire la nature de la branche in nie de C en +1.4. Etudier la concavitØ de C et calculer les coordonnØes des points d in exion.5. Construire C ainsi que ses tangentes à l abscisse 0 et aux points d’in‡exion.On donne ln2’ 0;7.Partie B : Øtude d’une intØgrale.1 2n+1R xPour n2N, on pose I = dx.n 21+x01. Calculer I .02. (a) Calculer I +I .0 1(b) En dØduire I .13. (a) Quel est le signe de I ?n1(b) Montrer que : I +I =n n+1 2n+21(c) En dØduire que : I 6 .n 2n+2(d) Montrer que la suite (I ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION ECONOMIQUE Année 1999
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
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Exercice 1 Partie A : étude dune fonction. 2 Soitfla fonction dénie surRpar:f(x) = ln(1 +x). On désigne parCsa courbe représentative dans le plan muni dun repère orthonormé. 1.Montrer quefest une fonction paire 2.Etudier les variations defet préciser les limites en+1. 3.Montrer quef(x)est équivalent à2 lnxquandxtend vers+1. En déduire la nature de la branche innie deCen+1. 4.Etudier la concavité deCet calculer les coordonnées des points dinexion. 5.ConstruireCainsi que ses tangentes à labscisse0et aux points dinexion. On donneln 2'0;7.
Partie B : étude dune intégrale. 1 2n+1 R x Pourn2N, on poseIn=dx. 2 1 +x 0 1.CalculerI0. 2.(a) CalculerI0+I1. (b) EndéduireI1. 3.(a) Quelest le signe deIn? 1 (b) Montrerque :In+In+1= 2n+ 2 1 (c) Endéduire que :In6. 2n+ 2 (d) Montrerque la suite(In)n2Nest convergente et calculer sa limite.
Partie C : étude dune série 1.(a) Montrerpar récurrence que: n k1 X (1) n1 8n2N2(1)In=ln 2 k k=1 k1 n P(1) (b) Endéduirelim n!+1 k k=1 2.(a) Alaide dune intégration par parties, montrer que: 1 Z 2n+3 1 1x In= +dx 2 2 4(n+ 1)n(1 ++ 1x) 0 1 2n+3 R x1 (b) Etablirles inégalités :06dx62 2 (1 +x) 2n+ 4 0 (c) EndéduirelimnIn. n!+1 3.A laide des questions précédentes, donner un équivalent de n X k1 (1) ln 2 k k=1 quandntend vers+1.
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Exercice 2 Partie A : calcul matriciel      5 14 01 0 On considère les matrices deM2(R):A=,D=etI=. 1 50 60 1 2 1.(a) CalculerA. 2 (b) Déterminerles réelsaetbtels queA=aA+bI. 1 (c) Endéduire queAest inversible et exprimerAen fonction deAet deI. 2.les valeurs propres de(a) CalculerAmatrice. LaAest-elle diagonalisable? (b) Déterminerles sous espaces propres deA. 1 (c) Endéduire une matrice inversiblePdeM2(R)telle que :A=P DP. 1 CalculerP. n n1 3.tout entier naturelque: pour(a) Montrern,A=PP D. 1 n (b) Endéduire lexpression de la matriceMM=A 6 Partie B : probabilités On dispose de deux urnesU1etU2ainsi que dune pièce de monnaie non truquée. Initialement, lurneU1contient une boule blanche et deux boules noires et lurneU2contient deux boules noires. On considère lépreuveEsuivante: on lance la pièce si lon obtient pile, on tire une boule deU, sinon on tire une boule deU 1 2
si la boule tirée est noire, elle est remise dans la même urne, sinon elle est remise dans lautre urne.
Pournentier naturel non nul, on désigne parXnla variable aléatoire égale au numéro de lurne dans laquelle se trouve la boule blanche à lissue denrépétitions deE.
I) Dans cette question, on e¤ectue une seule foisE. 1.La notationP B1signiant: lapièce a donné pile et on a tiré la boule blanche deU1" (on la donc remise dansU2), calculer la probabilité de lévénementfP B1g. 2.En utilisant la même notation, décrire les résultats possibles deE. 3.Déterminer la loi de la variable aléatoireX1. 4.CalculerE(X)etV(X). 1 1
II) On répète maintenant lépreuveE. 5 1 1.(a) Vérierque :P(Xn+1= 1jXn= 1) =etP(Xn+1= 1jXn= 2) = 6 6 (b) CalculerégalementP(Xn+1= 2jXn=i)pouri= 1et pouri= 2. (c) EndéduireP(Xn+1= 1)puisP(Xn+1= 2)en fonction deP(Xn= 1)etP(Xn= 2).   P(Xn= 1) 2.On poseVn=. P(Xn= 2)
(a) VérierqueVn+1=M VnMest la matrice dénie dans laPartie Aen 3.b. n1 (b) Montreralors que:pour toutnentier naturel non nul ,Vn=M V1.
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(c) Alaide de laPartie A, en déduire la loi deXn.
3.CalculerE(Xn)aisi que sa limite quandntend vers+1. - FIN -
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