Esc 1999 mathematiques classe prepa hec (s) mathematiques 1999 classe prepa hec (s)

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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D INDUSTRIEEPREUVES ESCCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESMATHEMATIQUESOPTION SCIENTIFIQUEAnnØe 1999La prØsentation, la lisibilitØ, orthol graphe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies. Les candidats sont invitØs à encadrer, dans lamesure du possible, les rØsultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d aucun document ;L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmatØrielØlectroniqueestinterditpendantcetteØpreuve.Seule ul tilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.1/4Exercice 1Partie A 0 11 1 03 3@ ASoit u l endomorphisme de l’espace vectoriel R , de matrice M = 0 2 0 dans la base canonique deR .1 1 221. Identi er: u 3u+2Id 3.R2. DØterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de u.3. L endomorphisme u est-il diagonalisable ?Partie BE est un espace vectoriel rØel de dimension n (n> 1).2u est un endomorphisme de E vØri ant: u 3u+2Id = 0.E1. On pose: v =u Id et w =u 2Id .E E(a) Identi er (v w) et en dØduire que: E =Im(v)+Ker(w).(b) Identi er vw et wv; en dØduire que: Im(w)Ker(v) et Im(v)Ker(w).(c) Montrer que: E =Ker(v)Ker(w).(d) Prouver que u est diagonalisable.2. (a) Montrer qu’il existe deux suites (a ) et (b ) telles que:n n2N n n2Nn 08n2N; u =a u+b Id (avec la convention: u =Id ).n n E EDonner les valeurs de a ; b ; a et b .0 0 1 1(b) Etablir que: 8n2N; a = 3a 2a ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION SCIENTIFIQUE Année 1999
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
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Exercice 1 Partie A 0 1 1 10 3 3 @ A Soitulendomorphisme de lespace vectorielR, de matriceM= 02 0dans la base canonique deR. 1 1 2 2 1. Identier:u3u+ 2Id3. R 2. Déterminerles valeurs propres et les sous-espaces propres deu. 3. Lendomorphismeuest-il diagonalisable ?
Partie B Eest un espace vectoriel réel de dimensionn(n>1). 2 uest un endomorphisme deEvériant:u3u+ 2IdE= 0.
1. Onpose:v=uIdetw=u2Id. E E
(a) Identier(vw)et en déduire que:E=Im(v) +Ker(w). (b) Identiervwetwv; en déduire que:Im(w)Ker(v)etIm(v)Ker(w). (c) Montrerque:E=Ker(v)Ker(w). (d) Prouverqueuest diagonalisable.
2. (a)Montrer quil existe deux suites(an)n2Net(bn)n2Ntelles que: n0 8n2N; u=anu+bnIdE(avec la convention:u=IdE). Donner les valeurs dea0; b0; a1etb1. (b) Etablirque:8n2N; an+2= 3an+12an. En déduire les expressions deanetbn, en fonction den. n (c) Exprimeruen fonction den,uetIdE.
Exercice 2 +1 R t x1 Dans tout lexercice, les propriétés de la fonction, dénie par(x) =e tdt, seront utilisées sans démon-0 stration.
Partie A 1. Rappelerle domaine de dénition de la fonction. 2. Donnerla valeur de(n), pourn2N. +3. Ecrire,pourx2R, la relation entre(x+ 1)et(x). p 1 4. Enutilisant le changement de variableu= 2t, calculer( ). 2 3 5 En déduire( )et( ). 2 2
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Partie B +1 t R e 1. Montrerque, pour tout réelx, lintégralepcos(tx)dtest absolument convergente. 0t +1 t R e On note alorsfla fonction dénie surRpar:f(x) =pcos(tx)dt. t 0 p 2. Montrerque:8x2R;jf(x)j6. 2 3. (a)Etablir linégalité:8(a; b)2R;jcosacosbj6jabj. p 2 (b) Endéduire que:8(x; x0)2R;jf(x)f(x0)j6jxx0j. 2 (c) Etudierla continuité defsurR. +1 Rp t 4. (a)Montrer que, pour tout réelx, lintégralee tsin(tx)dtest convergente. 0 +1 Rp t On pose alors, pour tout réelx:g(x) =e tsin(tx)dt. 0 (b) Etablirsuccessivement que : 2 (ab) 2 8(a; b)2R;jcosacosb+ (ab) sinbj6 2 p f(x0+h)f(x0) 38x02R;8h2R;j+g(x0)j6jhj h8 0 (c) Endéduire quefest dérivable surRet exprimerfen fonction deg.
Partie C (n+1)t R e On dénit la suite(un)n2Npar:8n2N; un=pcos(t)dt. nt
 n 1. Prouverque:8n2N;junj6e.
+1 P 2. Etablirque la série de terme généralunconverge et que:un=f(1). n=0 Exercice 3 Soitnun entier naturel non nul. Une urneUncontientnboules numérotées de1àn. One¤ectue dans cette urne une succession de tirages dune boule, en appliquant la règle suivante :si une boule tirée porte le numérok, avant de procéder au tirage suivant, on enlève de lurne toutes les boules dont le numéro est supérieur ou égal àk. On noteXnla variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour vider lurneUnde toutes ses boules.
Partie A 1. Donnerla loi deX1, la loi deX2et leurs espérances. 2. Déterminerla loi deX3et calculerE(X3). 3. Déterminerla loi deX4et calculerE(X4).
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Partie B On étudie désormais le cas général.
1. CalculerP(Xn= 1)etP(Xn=n). 2. SoitN1, la variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée. (a) Reconnaîtrela loi deN1. ( 0sii6k1 (b) Vérierque8i2[2; n]];8k2[2; n]]; P(Xn=k=N1=i) = P(X=k1)sii>k i1 n1 1P (c) Montrerque:8k2[2; n]]; P(Xn=k) =P(Xi=k1). n i=k1 On pourra admettre les résultats (b) et (c) pour résoudre les questions suivantes. 3. CalculerP(Xn= 2).
4. Pourn>2, on pose :vn=n!P(Xn=n1).
(a) Etablirque:8n>2; vn+1=vn+n. (b) EndéduireP(Xn=n1).
Partie C n1 1P 1. Montrerque:8n>2; E(Xn) =E(Xi) + 1. n i=1 1 2. Endéduire que:8n>2; E(Xn) =E(Xn1) +. n n P1 3. Montrerenn que:8n>1; E(Xn) =. k k=1
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