Esc 2000 mathematiques classe prepa hec (eco) mathematiques 2000 classe prepa hec (eco)

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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D INDUSTRIEEPREUVES ESCCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESMATHEMATIQUESOPTION ECONOMIQUEAnnØe 2000La prØsentation, la lisibilitØ, orthol graphe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans apprl Øciation des copies. Les candidats sont invitØs à encadrer, ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION ECONOMIQUE Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
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Exercice 1 x 1. Soitf la fonction dénie surRparf(x) =. 2 x+x+ 1 On désigne parCsa courbe représentative dans un repère orthonormé.
(a) Etudierles variations de f ainsi que ses limites en1et+1. (b) Calculerune équation de la tangenteTàCà labscisse 0. (c) Etudierla position relative deCet deTles points dintersection.. Préciser (d) ConstruireCetT. ( u= 1 0 u 2. Onconsidère la suite(un)n2Ndénie par : n pour toutn2N; un+1=f(un) = 2 u+u+ 1 n n 1 1 (a) Soitpun entier naturel non nul.Montrer que :f( )6. p p+ 1 1 (b) Endéduire par récurrence que pour toutn2N,0< unn+ 1 (c) Calculerlimun. n!+1 1 1 (d) Vérierque :=un+ 1 + u u n+1n n 1P1 (e) Endéduire, par récurrence et à laide du 2.(b) que pour toutn>1;6n+ 1 +. unk k=1 k R 1dx (f) Justierlinégalité pour tout entierk>2;6. k x k1 n P1 1 (g) Endéduire que :pourn>2;6ln(n)pour, puis que :n>2;6n+ 2 + ln(n). k un k=2 (h) Alaide des résultats, précédents, calculerlimnun. n!+1
Exercice 2 Partie A 0 1 0 01 @ A Soit la matriceA= 101. 0 11 On considère lensembleEdes matricesMdeM3(R)telles que 2 33 M=xA+yA+zAavec(x; y; z)2R
2 3 1. (a)CalculerAetA. 2 3 (b) EtablirqueA,AetAsont linéairement indépendantes. (c) JustierqueEest un sous-espace vectoriel deM3(R). Endonner une base et la dimension.
2. (a)Calculer les valeurs propres deA. (b) LamatriceAest-elle diagonalisable ?
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Partie B 3 3 SoientB=(e1; e2; e3)la base canonique deRetu= (a; b; c)un élément deR. 3 On considère lendomorphisme g deRdéni par :g(e1) =e2; g(e2) =e3etg(e3) =u. 1. (a)Ecrire la matrice degdans la baseB. 8 <ac= 1 (b) Endéduire que :g(u) =e1()a+bc= 0 : 2 b+c= 0 3 2. Déterminerpar leur matrice dans la baseB, quand ils existent, les endomorphismes g deRtels que : g(e1) =e2; g(e2) =e3; g(e3) =uetg(u) =e1
Exercice 3 On dispose dune urne contenant une boule blanche et une boule noire ainsi que dune pièce non truquée.On considère lexpérienceEsuivante : on jette une fois la pièce
si lon obtient pile, on tire avec remise une boule de lurne
si lon obtient face, on tire sans remise une boule de lurne.
1. Onrépète deux foisE. SoitXla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
(a) Donnerles valeurs deX. 1 (b) Dénirlévénement(X= 2), en déduireP[X= 2] =et donnerP[X= 0]. 8 (c) Calculerlespérance et la variance deX.
2. OnrépèteEet on sarrête dès que lurne est vide ou dès que lon a e¤ectuéEtrois fois. SoientYla variable aléatoire égale au nombre de réalisations deEe¤ectuées etZla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
(a) CalculerP[Y= 2]. Endéduire la loi de Y . 11 (b) MontrerqueP[Y= 3\Z= 1] =. Déterminerla loi du couple(Y; Z). 32 (c) Calculerla covariance de ce couple.
3. OnrépèteEjusquà ce que lon obtienne la première boule blanche. Soit T la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de E ainsi e¤ectuées.
(a) Quelest lensemble des valeurs de T ? (b) CalculerP[T= 1]etP[T= 2]. (c) Soit n un entier.Calculer pourn3la probabilité de lévénementEn2: "lesn - 2 premières réalisations deEdonnent chacune pile et une boule noire".   n1 3 1 En déduire que pourn2,P[T=n] = 2 4 (d) Calculerlespérance de T .
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