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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION ECONOMIQUE Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
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Exercice 1 x 1. Soitf la fonction dénie surRparf(x) =. 2 x+x+ 1 On désigne parCsa courbe représentative dans un repère orthonormé.
(a) Etudierles variations de f ainsi que ses limites en1et+1. (b) Calculerune équation de la tangenteTàCà labscisse 0. (c) Etudierla position relative deCet deTles points dintersection.. Préciser (d) ConstruireCetT. ( u= 1 0 u 2. Onconsidère la suite(un)n2Ndénie par : n pour toutn2N; un+1=f(un) = 2 u+u+ 1 n n 1 1 (a) Soitpun entier naturel non nul.Montrer que :f( )6. p p+ 1 1 (b) Endéduire par récurrence que pour toutn2N,0< unn+ 1 (c) Calculerlimun. n!+1 1 1 (d) Vérierque :=un+ 1 + u u n+1n n 1P1 (e) Endéduire, par récurrence et à laide du 2.(b) que pour toutn>1;6n+ 1 +. unk k=1 k R 1dx (f) Justierlinégalité pour tout entierk>2;6. k x k1 n P1 1 (g) Endéduire que :pourn>2;6ln(n)pour, puis que :n>2;6n+ 2 + ln(n). k un k=2 (h) Alaide des résultats, précédents, calculerlimnun. n!+1
Exercice 2 Partie A 0 1 0 01 @ A Soit la matriceA= 101. 0 11 On considère lensembleEdes matricesMdeM3(R)telles que 2 33 M=xA+yA+zAavec(x; y; z)2R
2 3 1. (a)CalculerAetA. 2 3 (b) EtablirqueA,AetAsont linéairement indépendantes. (c) JustierqueEest un sous-espace vectoriel deM3(R). Endonner une base et la dimension.
2. (a)Calculer les valeurs propres deA. (b) LamatriceAest-elle diagonalisable ?
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Partie B 3 3 SoientB=(e1; e2; e3)la base canonique deRetu= (a; b; c)un élément deR. 3 On considère lendomorphisme g deRdéni par :g(e1) =e2; g(e2) =e3etg(e3) =u. 1. (a)Ecrire la matrice degdans la baseB. 8 <ac= 1 (b) Endéduire que :g(u) =e1()a+bc= 0 : 2 b+c= 0 3 2. Déterminerpar leur matrice dans la baseB, quand ils existent, les endomorphismes g deRtels que : g(e1) =e2; g(e2) =e3; g(e3) =uetg(u) =e1
Exercice 3 On dispose dune urne contenant une boule blanche et une boule noire ainsi que dune pièce non truquée.On considère lexpérienceEsuivante : on jette une fois la pièce
si lon obtient pile, on tire avec remise une boule de lurne
si lon obtient face, on tire sans remise une boule de lurne.
1. Onrépète deux foisE. SoitXla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
(a) Donnerles valeurs deX. 1 (b) Dénirlévénement(X= 2), en déduireP[X= 2] =et donnerP[X= 0]. 8 (c) Calculerlespérance et la variance deX.
2. OnrépèteEet on sarrête dès que lurne est vide ou dès que lon a e¤ectuéEtrois fois. SoientYla variable aléatoire égale au nombre de réalisations deEe¤ectuées etZla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
(a) CalculerP[Y= 2]. Endéduire la loi de Y . 11 (b) MontrerqueP[Y= 3\Z= 1] =. Déterminerla loi du couple(Y; Z). 32 (c) Calculerla covariance de ce couple.
3. OnrépèteEjusquà ce que lon obtienne la première boule blanche. Soit T la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de E ainsi e¤ectuées.
(a) Quelest lensemble des valeurs de T ? (b) CalculerP[T= 1]etP[T= 2]. (c) Soit n un entier.Calculer pourn3la probabilité de lévénementEn2: "lesn - 2 premières réalisations deEdonnent chacune pile et une boule noire".   n1 3 1 En déduire que pourn2,P[T=n] = 2 4 (d) Calculerlespérance de T .
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