Esc 2000 mathematiques classe prepa hec (s) mathematiques 2000 classe prepa hec (s)

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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIEEPREUVES ESCCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESMATHEMATIQUESOPTIONSCIENTIFIQUELa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. Les candidats sont invit´es `a encadrer, dans lamesure du possible, les r´esultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document;L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmat´eriel´electroniqueestinterditpendantcette´epreuve.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.16Exercice 1Partie A×1. Soit Φ la fonction d´efinie surR par: Φ(x) = lnx.+V´erifier que:k−1(−1) .(k−1)!× × (k)∀k∈N , ∀x∈R , Φ (x) = .+ kx2. Montrer alors que: n k n+1X (−1) t × k∀t∈ [0,1],∀n∈N , ln(1+t)+ t ≤ . k n+1k=1n(−1)3. En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral (avec n≥ 1) converge et donner sa somme.nPartie BOn d´efinit surR la fonction num´erique r´eelle f par:f est p´eriodique de p´eriode 2pour tout x∈]−1,1[,f(x) =x.(1−|x|1. Montrer que f est continue surR et d´erivable sur [−1,1].2. Donner les variations de f sur [−1,1].n3. V´erifier que: ∀n∈N,∀x∈ [0,1],f(x+n) = (−1) f(x).4. On d´esigne par C la courbe repr´esentative de f dans un rep`ere orthonorm´e d’unit´e 2 cm. Repr´esenter lespoints de C d’abscisse comprise entre −2 et 3.Partie CSoit g la fonction d´efinie surR par: f(x)g(x) = si x = ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION SCIENTIFIQUE
Lapre´sentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelar´edaction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies.Lescandidatssontinvit´esa`encadrer,dansla mesuredupossible,lesre´sultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument; Lusagedetoutecalculatriceoudetoutmat´eriel´electroniqueestinterditpendantcette´epreuve.
Seulelutilisationduner`eglegradu´eeestautorise´e.
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Exercice 1 Partie A × 1.SoitΦlafonctionde´niesurRpar: Φ(x) = lnx. + V´erierque: k1 (1).(k1)! × ×(k) kN,xR,Φ (x) =. + k x 2. Montreralors que: n k n+1 X (1)t ×k t[0,1],nN,ln(1 +t) +t. kn+ 1 k=1 n (1) 3.Ende´duirequelas´eriedetermeg´ene´ral(avecn1) converge et donner sa somme. n Partie B Onde´nitsurRtionfonclae´reullee´munqirefpar : ftpesri´e2´preoieddoqieued pour toutx]1,1[, f(x) =x.(1− |x| 1. Montrerquefest continue surRe´etd[ruavirselb1,1]. 2. Donnerles variations defsur [1,1]. n 3.V´erierque:nN,x[0,1], f(x+n) = (1)f(x). 4.Ond´esigneparCocalebrurperese´atntedivefreoeer`ponmrtrohunit´edm.Re´e2ctnese´rpselredaunns points deCd’abscisse comprise entre2 et 3.
Partie C Soitglusrnd´enieafonctioRpar : f(x) g(xsi) =x6= 0 x g(0) = 1 1. Montrerquegest continue surR. n+1 R 2. PournN, on pose:un=g(x)dx. n En utilisant le changement de variablet=xnet la question 3. de la partie B, montrer que, pour tout nN: 1 Z f(t) n un= (1). dt. t+n 0 3.End´eduireque: 1 1 × nN,≤ |un| ≤. 6(n6+ 1)n Lase´riedetermege´ne´ralun?est-elle absolument convergente 4. (a)V´erierque: 2 x(1x)n+n +× xR,nN,=x+ (n+ 1). x+n x+n (b)End´eduirelexpressiondeunen fonction den. 1 5.Enutilisantund´eveloppementlimite´deunneod,rennnalaretuladeers´laern´´eegrmtedeieun. n
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Exercice 2 PournN,Rn[Xluseaupeeslst´rge´rd,ded´esignelespace]omnˆ`aesecoencitceveirosedlylopn. Soitf lapplicationqui,a`toutpolynˆomePdeRn[Xocsseli´,a]emlopeoˆnyQdne´ipar: 0 Q(X) =P(X+ 1) +XP(X)
Partie A 1. Montrerquefest un endomorphisme deRn[X]. 2. Donnerla matriceMdefdans la base canonique deRn[X]. 3.fest-il un automorphisme deRn[X]? Partie B 1. Quellessont les valeurs propres def? L’endomorphismefest-il diagonalisable? 2. (a)MontrerquilexisteunpolynoˆmePnnon nul deRn[X] tel que:f(Pn) = (n+ 1)Pn. (b)V´erierquePnetseded´egrn. 3. (k) (k) (a) Montrerque:k[0,n]], f(Pn) = (n+ 1k)Pn.   (k) (b)End´eduirequePnest une base deRn[Xedevecteurspropres]ocsnitute´def. 0kn (c) Donnerla matriceDdefdans cette base. Partie C Dans cette partie,nlespnitnd´e=2.OsoˆemlonyE0, E1etE2par E0= 1 0 E=E0etE1(1) = 2E1(0) 1 0 =Eet (0) E2 1E2(1) = 3E2 1.ExpliciterlespolynoˆmesE1etE2. 2. Montrerque (E0,E1,E2) est une baseBdeR2[Xdee´ceveruetorpsesprdeform]f. 2 3.Calculerlescoordonn´eesdupolynˆomeQ(X) =X+X+ 1dans la baseB. 02 4.D´eterminerlepolynˆomePdeR2[X] tel que:P(X+ 1) +XP(X) =X+X+ 1.
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Exercice 3 petqxreuel´evesacde´isngnedtp]0,1[ etq= 1p. Onconsid`ereunevariableal´eatoirere´elleXayant pour loi: X(Ω) =N k P(X=k) =pq,kN. 1. CalculerE(X) etV(X). 1 2. OnposeY= . X+ 1 (a)D´eterminerlaloideY. (b)Justierle´galit´e: n n+1 X 1x i x[0,1[,nN, x=. 1x1x i=0 Ende´duireque: t n+1Z X k n+1 t x × t[0,1[,nN,+ ln(1t) =dx. k x1 k=1 0
(c) Montrerque :
Prouver alors que:
(d) CalculerE(Y).
t Z n+1n+2 x1t × t[0,1[,nN, dx. . x1 1t n+ 2 0
+k X t t[0,1[,=ln(1t). k k=1
3. SoitZbaellae´uenavireelle`avatoirer´snuelaadsrNtelle que, pour toutkN, la loi conditionnelle deZ sachant (X=k) est uniforme sur[0,k]].
(a) PourzNetkN, donner la valeur deP(Z=z/X=k). (b)D´eterminerlaloideZrmfoussoees´islaarese´tilibaborpmm)eehnco(sdeeuuqa. (c) CalculerE(Z).
4. SoitTbseaumoleal´irtoairaaelbvenueursdansun`evalanectnoitR+telle que, pour toutkN, la loi conditionnelle deTsachant (X=kxeope)tseillentnepedamartr`eek+ 1.
(a) PourtR+etkN, exprimerP(Tt/X=k). (b)End´eduirelafonctiondere´partitiondeT. (c)Donneralorsunedensite´deT. (d)Alaideduneint´egrationparparties,calculerE(T).
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