Esc 2001 mathematiques classe prepa hec (stg) mathematiques 2001 classe prepa hec (stg)

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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIEEPREUVES ESCCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESMATHEMATIQUESOPTIONTECHNOLOGIQUELa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. Les candidats sont invit´es `a encadrer, dans lamesure du possible, les r´esultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document;L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmat´eriel´electroniqueestinterditpendantcette´epreuve.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.1Exercice 1Partie 12x −xSoit f la fonction d´efinie pour tout x r´eel par: f(x) = (1+x+ )e2On d´esigne par C sa courbe repr´esentative dans un rep`ere du plan.f1.(a) D´eterminer les limites de f en−∞ et en +∞.(b) Etudier les branches infinies deC .f2.0(a) D´eterminer la fonction d´eriv´ee f de f et dresser le tableau de variations de f.(b) D´eterminer une ´equation de la tangente a` C au point d’abscisse 0.fTracer cette tangente dans un rep`ere orthogonal d’unit´es: 2 cm sur l’axe des abscisses et 10 cm surl’axe des ordonn´ees.(c) Donner l’allure de C et ses asymptotes ´eventuelles dans ce mˆeme rep`ere.fOn donne les valeurs suivantes: f(−1)≈ 1,36; f(1)≈ 0,92; f(2)≈ 0,68; f(5)≈ 0,12Partie 2M d´esigne un nombre r´eel positif, n un entier naturel.M M MR R Rn −x 0 −x −xOn d´efinit l’int´egrale:I (M) = x e dx,en convenant que I ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION TECHNOLOGIQUE
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies.Lescandidatssontinvit´es`aencadrer,dansla mesuredupossible,lesre´sultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument; Lusagedetoutecalculatriceoudetoutmate´riele´lectroniqueestinterditpendantcette´epreuve.
Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautorise´e.
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Exercice 1 Partie 1 2 x x Soitftruoteinpeuod´ontincfolax´reelpar:f(x) = (1 +x+ )e 2 Ond´esigneparCfouacne.rrbs`pernusnalpudereenesr´epdavetita 1. (a)D´eterminerleslimitesdefen−∞et en +. (b) Etudierles branches infinies deCf. 2. 0 (a)D´eterminerlafonctionde´rive´efdefet dresser le tableau de variations def. (b)D´eterminerunee´quationdelatangente`aCfau point d’abscisse 0. Tracercettetangentedansunrep`ereorthogonaldunit´es:2cmsurlaxedesabscisseset10cmsur laxedesordonne´es. (c) Donnerl’allure deCfneutleeldsnacsmeˆemerep`ere.etve´setotpmysases On donne les valeurs suivantes:f(1)1,36 ;f(1)0,92 ;f(2)0,68 ;f(5)0,12 Partie 2 Mf,tiduengise´erbromnnsipoel´enun entier naturel. M MM R RR nx0xx Onde´nitlint´egrale:In(M) =x edx,en convenant queI0(M) =dxx e=e dx 0 00 1. (a) CalculerI0(M) +R x (b)Ende´duirequelinte´graleimpropree dxest convergente. On noteI0sa valeur. 0 2. (a)Alaideduneint´egrationparparties,trouverunerelationentreIn+1(M) etIn(M). +R nx (b)Ende´duire,a`laideduner´ecurrence,quepourtoutentiernaturelnprroerglaiepml,itne´dxx e 0 est convergente , de valeurIn=n!. (c)ae´rerte`.lesignd´earameunp g(x) =a.f(x) six>0 Soit la fonctiongserunied´Rpar g(x) = 0 six <0 De´terminerapour quegoire´ietastoleedaulnbairavenude´tilbibaroepedt´sienZ. Calculeralorslesp´eranceE(Z) et la varianceV(Z).
Exercice 2 Partie 1 Onconside`redansM3(R) les 4 matrices suivantes:   1     0 0 1 0 01 0 01 0 0 4 1      M= 33 1;P=2 11 ;D;= 01 0I= 01 0   4 1 0 1 31 1 10 0 1 0 0 2
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1. 1 (a) MontrerquePest inversible et calculerP (lesde´tailsdescalculsgurerontsurlacopie). 11 (b)V´erierque:PP M=Dpuis exprimerMen fonction deP,DetP. 2. n (a) Pourtout entier naturelnnon nul, exprimer les coefficients de la matriceD. n n1 (b) Pourtout entier naturelnnon nul, exprimerMen fonction deP,DetP. n Ende´duirelescoecientsdeMen fonction den. 3. 1 (a) MontrerqueDest inversible et calculerD. 111 (b)Ende´duirequeMest inversible et exprimerMen fonction deP,DetP. Partie 2 On effectue des tirages dans trois urnes: – Uneurne blanche contient 1 boule blanche et 3 boules noires. – Uneurne noire contient 3 boules noires et 1 boule verte. – Uneurne verte contient 1 boule noire et 3 boules vertes. Pour le premier tirage, on choisit une urne au hasard, on y prend une boule, on note sa couleur puis on remet la boule dans l’urne dont elle provient. Lesecondtiragealieudanslurneayantlamˆemecouleurquelapremie`rebouleobtenueaupremiertirage:ony prend une boule, on note sa couleur puis on remet la boule dans l’urne dont elle provient. Oncontinueainsiensuivantlemˆemeprotocole: `eme`eme le (neluouqrubaleeluoteob+e1a)nuutirageseceutdenalsurneayantlamˆemecntirage, et une boule tir´eeesttoujoursremisedanslurnedontelleprovient. Pournneigr:patiernatuen,lno´dseernlnoun Bnlv´´eelmene:tnene`ieunedonnragemeti.cnehbealoblu Nnlt:enemenv´´elenodegariteme`i-.uennobenneluerio Vn´elenv´enem:tlengedonneuneboulevi-e`emitar.etre 1. (a) CalculerP(B1),P(N1) etP(V1). 1 7 (b) EtablirqueP(B2) =etP(N2) = 48 12 2. 1 (a) Montrerque pour tout entier naturel non nuln:P(Bn+1) =P(Bn) 4 De quel type est la suite (P(Bn))n>1ire´edu?EndP(Bn)en fonction den.   P(Bn)   (b)Msegi´damrtenal´enicedlapaie`anO.1eitresopXn=P(Nn) P(Vn) Enutilisantlaformuledesprobabilit´estotalesaveclesyst`emecompletd´eve´nements{Bn,Nn,Vn}, e´tablirque:Xn+1=M Xn. n1 (c)Montrerparre´currencequepourtoutentiernaturelnnon nul,Xn=M X1. 3.Ende´duireP(Nn) etP(Vn)en fonction dendequanrmte´etdelruniretiselsmintend vers +.
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Exercice 3 (Ontrouveraa`landelexercicedesextraitsdetabledeloisusuelles)
nulplargsuqdn.2eneunentiernature´dsegi 2 On dispose d’une urne contenant 2nboules noires etn2nboules blanches. Unjeuconsistea`eectuernledeuobarcevsimeurte,aneanedetscuenobluecssfidsragessuctiesapr`r´eeleti chaque tirage. Unjoueurestde´clare´gagnanta`lissuedujeusilatire´auplus2boulesnoiresaucoursdesntirages. Unjoueurparticipea`cejeusuivantlesdeuxsituationsdistinctessuivantes:
I. Situation 1: Dans cette situation, n=20 Onde´signeparplaprobardboetinbalitie´loreoienulbonerupte,egaritnudsrXeal´iablavarlaeugelari´eaeot nombredeboulesnoirestir´eesparlejoueura`lissuedujeu. 1. (a)D´ecrirelecontenudelurnepuiscalculerlaprobabilite´p. (b) Reconnaˆıtrela loi deX. (Onjustieraclairementlar´eponseetonpr´eciseraX(Ω) etP(X=k)tnt´el´eme,pourtoukdeX(Ω)) (c)Donnerlesp´eranceE(X) et la varianceV(X). 2.Calculerlaprobabilit´equelejoueursoitgagnantdanscettesituation. II.Situation2:Danscettesituation,nestunentierx´esup´erieurou´egala`30. 0 Ond´esigneparpagirete,sdorntuorpalrapbtenedolit´babirileelonbeuorinuY´egaleau´eatoirebairlaelaval nombredeboulesnoirestire´esparlejoueur`alissuedujeu. 1. 2 0 (a)V´erierquep= . n (b) Reconnaˆıtrela loi deY. (Onjustieraclairementlare´ponseetonpre´ciseraY(Ω) etP(Y=kruottue´´lmenet),pokdeY(Ω)) (c)Donnerlespe´ranceE(Y) et la varianceV(Y). 2. (a)Justierquelaloideprobabilite´deYperteˆtueesarelnorpe´icapeeenurrppa´hcoonssntdoidlooieP param`etreetdontonrappelleralescaracte´ristiques:ensembledesvaleurs,loideprobabilite´,esp´erance, variance. (b)Alaidedecetteapproximation,calculer,`alaidedelatablefournieci-dessous,laprobabilit´equele joueur soit gagnant dans cette situation. Retrouvercettevaleursanslatablea`laidedelapartie1delexercice1. Extrait de la table (k,P(n,p,k)). Extrait de la table (k,P(λ,k)) de la loi binomiale de taillene`marapeerttd0e=2 p= 0,edapar`mteerdelaloidePoisson1λ= 2 k0 1 2 3k0 1 2 3 P(n,p,k) 0,1216 0,2702 0,2852 0,1901P(λ,k) 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804
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