Esc 2002 mathematiques classe prepa hec (s) mathematiques 2002 classe prepa hec (s)

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ESC 2002. math. Option scientifique.EXERCICE 1On rappelle que lorsque Y est une variable al´eatoire admettant une esp´erance E(Y) et un ´ecart-Y −E(Y)??type non nulσ , on noteY la variable centr´ee r´eduite associ´ee `aY, d´efinie parY = .YσYSoit n un entier naturel non nul.On consid`ere n variables al´eatoires ind´ependantes X ,X ,...,X , suivant la mˆeme loi, et1 2 nadmettant une esp´erance not´ee m et un ´ecart-type strictement positif not´e σ.On pose ´egalement S =X +X +···+X .n 1 2 nEnfin on note Φ la fonction de r´epartition d’une variable suivant la loi normale centr´ee r´eduite.1)a)Montrer que S admet une esp´erance et une variance et les exprimer en fonction de n , mnet σ.?b)En d´eduire l’expression de S en fonction de S .nnDans la suite de l’exercice, on pose pour tout entier naturel n non nul et pour tout r´eel β :? βp =P(|S | 0. 1β+2a) Montrer que p =P |S −nm|<σ.n .n,β n1b)Montrer en utilisant l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev que p ≥ 1− .n,β 2βnc) En d´eduire la limite de la suite (p ) ∗ .n,β n∈N4) On suppose ici que β < 0, et que X ,X ,...,X suivent la loi normale centr´ee r´eduite.1 2 n?a) Quelle est la loi de la variable S ? de la variable S ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESC 2002.math. Option scientifique. EXERCICE 1 On rappelle que lorsqueYvarituneal´eableerdataionautemtterp´esneceanseE(Yace´nute)-tr YE(Y) ? ? type non nulσY, on noteYlecentr´lavariabsaeticos´reeiudee`´eaYn´epaie,rdY= . σY Soitnun entier naturel non nul. Onconsid`erennadnsetaatle´esrbeloiianadrsivpe´eX1, X2, . . . , Xnemol,ite,suivantlamˆe admettantuneesp´erancenote´emute-trace´nfionsoti´testritypeentpctemσ. Onpose´egalementSn=X1+X2+∙ ∙ ∙+Xn. EnnonnoteΦlafonctionder´epartitiondunevariablesuivantlaloinormalecentr´eer´eduite. 1)a)Montrer queSnxpseleetnfremeridnoitcnoeetunadm´eraeesputencneenaecavirn,m etσ. ? n f b)End´eduirelexrpseisnoedSndee onctionSn. Dans la suite de l’exercice, on pose pour tout entier naturelntuotruoptelunnonleer´β: ? β |< n) pn,β=P(|Sn Oncherche`a´etudierlalimitedelasuite(pn,β)nNdieassdsrce´ntee.uarngd 2)On supposeβ= 0. a)medeoe`rmitilelaergrontruth´aceaMenec´etrueeqmlipn,0= Φ(1)Φ(1). n+b)elruparpco´heeedDonneruneva)(1eΦnnodnO(etimilettec'0.8413 ). 3)On supposeβ >0.   1 β+ 2 a)Montrer quepn,β=P|Snnm|< σ.n. 1 b)eevnqauyem´e-iTtc´heedbyecBhii´ngelalisinaltertrutenonMpn,β12β. n c)itimeledirdualelEdne´iusa(etpn,β)nN. 4)On suppose ici queβ <0, et queX1, X2, . . . , Xnee´rdeiuet.lantveuis´rtnecelamroniol ? ? a)Quelle est la loi de la variableSn? de la variableSn   β b)Montrer que pour tout entier naturelnnon nul,pn,β= 2Φ(n)Φ(0) . c)neΦeeuq0iunide´tlantntcotinusali:rleirmentMopn,β= 0. n+r 2 β d):euq,0neΦede´tlibivari´eadtlannetulisiMnortrepn,β.n. n+π EXERCICE 2 2 SoitEl’ensemble des suites (an)nNdeeer´telsetermeg´en´eralllseuqlesae´irdeaconverge. n Danscet´enonc´eonemploielanotationaesigurd´nesuinteeruop(an)nNr´eedesl. 1)a)Montrer queEest un espace vectoriel surR. b)elnonnulrtoutr´euoPαitsuedie`eral,noocsnu(α´e)dien:rap n α nN, un(α) =n! V´erierquelessuitesu(αe´le´sededstnemsont)E. 2)a)Montrer que siaetbsno´tlee´emntsdeEeireetedgemr´ne´aler,alorslas´anbnest absolument convergente. b)cilppalΦtioSsurniend´eatioE×Enasrudsavela`Rpar : +X (a, b)E×E,Φ((a, b)) =anbn n=0 Montrer que Φ est un produit scalaire surE. On notera alorsha, bi= Φ(a, b), et||.||2i´eessoc`aΦ.mraealon
v v +++XuXuX t2t2 c)Montrer que pour toutes suitesaetbde E,anbna b. n n n=0n=0n=0 d)lee´rtuotrourpnemieretD´αla norme||u(α)||2eeslruotsu´r,etpoαetβdistincts, le produit scalairehu(α), u(β)i. e)toecevacdeelriudelanogpse-suosunebinerrthoaseoetmrDe´Eilleegnnerde´aplrfama   u(1), u(1), u(2) . 3)Pour tout entier naturelk:itn´end,ounlonn Fkllesr´eeitesussedelbmesnelatelles que : pour tout entiernk,an= 0 Gkeslesr´eellsedetiussnelbmeadeEtelles que : pour tout entiernk1, an= 0. a)Montrer queFkE, et queFkest un sous-espace vectoriel deE. b)te´DimrerunebanedeseFket donner la dimension deFk. c)Montrer queGkest un sous-espace vectoriel deE. d)Soitaune suite deE. Montrer qu’il existe deux suitesretstelles que : rFk, sGket pour tout entier natureln,an=rn+sn End´eduirequeFketGkupss´eplesescepatrosogohtnemeriaoduileprpournauxsnodtt scalaire Φ.   1 e)teuiaselquertr´le´nutsenMemneoedtE. n+1nN De´terminersonprojete´orthogonalsurFkpour le produit scalaire Φ. EXERCICE 3
Partie 1 t Soitgncfola´deitnoruinseR+par :g(t) =telouprotu´etertpositif. 1)a)Etudier la fonctiongsurR+. 4 b)uqpeuotrMnortrefitisoptneemctristel´etrout,g(t). 2 te 1 2)Montrer que pour tout entierne´irspu´ugeueor3,lal`aatio´equng(t) =admet exactement n 0 0 < ρ. deuxsolutionsnot´eesρnetρn et telles que : 0< ρn<1n 3)a)Montrer que la suite (ρn)n3converge et que sa limite est 0. 1 b)Montrer queρn. n +0 c)Montrer que la suite (ρ)n3diverge. n Partie 2 2 Soitfontied´lancfoseinruRavas`rnuaedlsR´d:rapeine 1 2 2 x+4y e f((x, ysi ()) =x, y)6= (0,0) etf(0,0) = 0. 2 2 x+ 4y 1 2 1)a)Montrer quefest de classeCsurR\ {(0,0)}. b)Montrer en utilisant la question 1.b de la partie 1 quefest continue en (0,0). 2 c)dselearspeltiri´eeev´eldsnireetmrDe´fsurR\ {(0,0)}. 1 2 d)Montrer quefest de classeCsurR. 2)Montrer que (x, y) est un point critique pourfec(sureepsc-`stdia-nuxeteerdeˆitlbumtrem 2 2 pourf) si et seulement si :x+ 4y= 1 ou (x, y) = (0,0). 3)En utilisant la fonctionged´eslanreap`emiapereitre´utid a)Trouver le minimum global defainsi que l’ensemblePdeslntoispsilae´re.tna b)Trouver le maximum global defainsi que l’ensembleEalisant.ntsler´eedpsio 2
2 4)On note pour tout entiernl`a3:urou´ega´puseireEnl’ensemble des points (x, y)Rtels   1 quef(x, y) =. n   1 2 Onnote´egalementDla demi-droite deR:rdeiape´nD= (x, y)/x0 ety=x. 2 ( s s!)  rr  1 21 21 21 2 0 Montrer queED=, ,,ont l nou`ρnetρnvaleurss es 0 0 2ρn4ρn2ρ4ρ n n d´eniesdanslaquestion2delapartie1.
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