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EXERCICE 1 On considère les matrices carrées d'ordre 3 suivantes : 0 1 1 - 4 3 3 1 0 1 1 0 0Ø ø Ø ø Ø ø Ø øŒ œ Œ œ Œ œ Œ œG = 0 2 0 , H = - 3 2 3 , P = 1 1 0 , I = 0 1 0 Œ œ Œ œ Œ œ Œ œŒ œ Œ œ Œ œ Œ œ- 2 1 3 - 3 3 2 1 - 1 1 0 0 1º ß º ß º ß º ßØ1ø Ø 0 ø Ø1ø Ø0øŒ œ Œ œ Œ œ Œ œainsi que les matrices colonne d'ordre 3 : , , , . X = 1 X = 1 X = 0 O = 01 2 3Œ œ Œ œ Œ œ Œ œŒ1œ Œ- 1œ Œ1œ Œ0œº ß º ß º ß º ß1. Déterminer les valeurs propres de G et vérifier que X , X , X sont des vecteurs propres de G. 1 2 32. (a) Calculer les produits HX , HX , HX . 1 2 3-1 -1 (b) Montrer que la matrice P est inversible , et que les produits P GP et P HP fournissent deux matrices diagonales ( que l'on déterminera ). (c) Montrer que 0 est valeur propre de H - G , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X . 1Montrer que 0 est valeur propre de 2H + G , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X . 2Montrer que 0 est valeur propre de H + G , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X . 3On note dans toute la suite f l'application définie sur (IR) par f ( M ) = HMG - GMH . 33. (a) Montrer que f est un endomorphisme de (IR ) . 3 (b) On suppose que M est une matrice appartenant au noyau Ker( f ) . b1. Montrer que pour toute matrice colonne X d'ordre 3 , HMGX - GMHX = O . En déduire les relations : (H - G)MX = O . 1 (2H + G)MX = O . 2 (H + G)MX = O . 3b2. Montrer ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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  EXERCICE 1 On considère les matrices carrées d'ordre 3 suivantes : 0 1 1 - 4 3 3 1 0 1 1 0 0Ø ø Ø ø Ø ø Ø ø Œ œ Œ œ Œ œ Œ œG = 0 2 0 , H = - 3 2 3 , P = 1 1 0 , I = 0 1 0 Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ- 2 1 3 - 3 3 2 1 - 1 1 0 0 1º ß º ß º ß º ß Ø1ø Ø 0 ø Ø1ø Ø0ø Œ œ Œ œ Œ œ Œ œainsi que les matrices colonne d'ordre 3 : , , , . X = 1 X = 1 X = 0 O = 01 2 3Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ Œ1œ Œ- 1œ Œ1œ Œ0œº ß º ß º ß º ß 1. Déterminer les valeurs propres de G et vérifier que X , X , X sont des vecteurs propres de G. 1 2 3 2. (a) Calculer les produits HX , HX , HX . 1 2 3 -1 -1 (b) Montrer que la matrice P est inversible , et que les produits P GP et P HP fournissent deux matrices diagonales ( que l'on déterminera ). (c) Montrer que 0 est valeur propre de H - G , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X . 1 Montrer que 0 est valeur propre de 2H + G , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X . 2 Montrer que 0 est valeur propre de H + G , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X . 3 On note dans toute la suite f l'application définie sur (IR) par f ( M ) = HMG - GMH . 3 3. (a) Montrer que f est un endomorphisme de (IR ) . 3 (b) On suppose que M est une matrice appartenant au noyau Ker( f ) . b1. Montrer que pour toute matrice colonne X d'ordre 3 , HMGX - GMHX = O . En déduire les relations : (H - G)MX = O . 1 (2H + G)MX = O . 2 (H + G)MX = O . 3 b2. Montrer alors en utilisant la question 2(c) qu'il existe trois réels a , b , g tels que MX = aX , MX = bX , MX = gX . 1 1 2 2 3 3 a 0 0Ø ø -1 Œ œ b3. En déduire la relation P MP = 0 b 0 . Œ œ Œ 0 0 gœº ß a 0 0Ø ø -1 3Œ œ(c) Soit E l'ensemble de toutes les matrices P 0 b 0 P , où (a , b , c ) ˛ IR . Œ œ Œ œ0 0 cº ß Montrer que E est un sous-espace vectoriel de (IR ) de dimension inférieure ou égale à 3 . 3 Déduire de la question 3.(b) que Ker( f ) Ì E . 2 2 2 2 (d) Montrer que HG = GH , HG = G H et H G = GH . En déduire que les matrices et sont éléments de . I , G H Ker( f ) (e) Montrer que la famille ( I, G, H ) est libre. Par une argumentation liée aux dimensions , montrer enfin que la famille ( I, G, H ) est une base de Ker( f ) . EXERCICE 2 +On considère pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 la fonction f définie sur IR par : n -tef (t) = . n n1 + t +1. (a) Justifier la dérivabilité de la fonction f sur IR . n f (b) Etudier les variations de la fonction , préciser sa limite en + ¥ et sa valeur en 0. n 2. Etude d'une suite d'intégrales impropres. +¥ On pose pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 : n I = f (t)dtn nò0 ( Il est démontré dans le (a) que chacune de ces intégrales est convergente ). 1 (a) Montrer que pour tout réel t strictement positif , f (t) £ . n nt +¥ En déduire la convergence de l'intégrale f (t)dt , puis de l'intégrale I . n nò1 +¥ (b) Montrer que lim f (t)dt = 0 . nònfi+¥ 1 -t n (c) Montrer que pour tout réel t positif , 0 £ e - f (t) £ t . n 1 1 (d) En déduire . lim f (t)dt = 1 -nò enfi+¥ 0 (e) Déterminer lim I . nnfi+¥ 3. Etude d'une fonction définie par des limites. (a) Pour tout réel t positif , déterminer lim f (t) . ( On distinguera t < 1 , t = 1 , t > 1 ). nnfi+¥ + (b) Dès lors , on définit sur une fonction par . IR h h(t) = lim f (t)nnfi+¥ -1 Donner la courbe représentative de h dans un repère orthonormé. ( On donne e @ 0,37 ) h est-elle continue ? +¥ +¥ +¥ (c) Etudier l'intégrale h(t)dt . A-t-on ici lim f (t)dt = lim f (t)dt ? n nò ò ònfi+¥ nfi+¥0 0 0  EXERCICE 3 Lorsque A et B sont deux événements d'un même espace probabilisé , on désignera par P (A) la probabilité B conditionnelle de A sachant B , où B est un événement de probabilité non nulle : P (A) = P(A / B) . B Dans cet exercice N désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. XUn joueur lance une pièce équilibrée indéfiniment. On note la variable aléatoire réelle discrète N égale au nombre de fois où , au cours des N premiers lancers , deux résultats successifs ont été différents. ( On peut appeler X le " nombre de changements " au cours des N premiers lancers ). N Par exemple , si les 9 premiers lancers ont donné successivement : Pile , Pile , Face , Pile , Face , Face , Face , Pile , Pile alors la variable X aura pris la valeur 4 ( quatre changements, aux 3° , 4° , 5° et 8° lancers ). 9 1. Justifier que X (W) = {0, , N - 1 }. N 2. Déterminer la loi de X ainsi que son espérance. Déterminer la loi de X . 2 3 N -1 N1 13. Montrer que P(X = 0) = ( ) et P(X = 1) = 2(N - 1) ( ) . N N2 2 4. (a) Justifier que pour tout entier k de {0 ,..., N - 1 } : 1 1 P (X = k) = ( C'est à dire P(X = k / X = k) = ) X =k N +1 N +1 N2 2N (b) En déduire que pour tout entier k de {0 ,..., N - 1 } : 1P( X - X = 0 ˙ X = k ) = P( X = k ) . N +1 N N N2 1 (c) En sommant cette relation de k = 0 à N - 1 , montrer que P( X - X = 0 ) = . N +1 N 2 1 (d) Montrer que la variable X - X suit une loi de Bernoulli de paramètre . N +1 N 2 1 En déduire la relation E( X ) = + E( X ) , puis donner E( X ) en fonction de N. N +1 N N2 5. (a) Montrer grâce aux résultats 4(b) et 4(c) que les variables X - X et X sont indépendantes. N +1 N N 1 (b) En déduire par récurrence sur N que X suit une loi binômiale %( N - 1, ) . N 2 En déduire la variance V( X ) . N
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