Esc 2004 mathematiques classe prepa hec (s) mathematiques 2004 classe prepa hec (s)

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EXERCICE 1 On munit (IR) du produit scalaire canonique. On donne les matrices suivantes : 3,1Ø- 2 - 2 2 ø Ø 1 0 - 2ø Ø2ø Ø- 2øŒ œ Œ œ Œ œ Œ œ A = - 2 1 - 4 B = - 1 1 0 V = 2 V = 11 2Œ œ Œ œ Œ œ Œ œŒ 2 - 4 1 œ Œ 0 - 2 4 œ Œ1œ Œ 2 œº ß º ß º ß º ßO désigne la matrice colonne nulle d'ordre 3. I désigne la matrice identité ( matrice unité ) d'ordre 3. Lorsque l est une valeur propre d'une matrice carrée C , on notera E (l) le sous-espace propre associé. CSoit l'application f de (IR ) définie pour toute matrice M de (IR ) par f(M) = BM - MA. 3 31. (a) Montrer que les valeurs propres de A sont -3 et 6. Déterminer E (-3) et E (6) . A A(b) Montrer que 0 est valeur propre de B et déterminer E (0) . Montrer que E (0) Ì E (-3) . B B A(c) Montrer que 3 est valeur propre de B et déterminer E (3) . Montrer que E (3) Ì E (-3) . B B A(d) Montrer que (V ,V ) est une base orthogonale de E (-3) formée de vecteurs propres de B. 1 2 AVEn déduire une matrice colonne d'ordre 3 notée et de première coordonnée égale à 1 3telle que (V V V ) soit une base orthogonale de IR formée de vecteurs propres de A . , , ( )1 2 3 3,1(e) Exprimer BV en fonction de V et V . 3 2 30 0 0Ø øŒ œEn déduire que la matrice B est semblable à la matrice 0 3 3 . Œ œŒ œ0 0 3º ß2. (a) Montrer que f est un endomorphisme de (IR) . 3(b) Soit H une matrice carrée d'ordre 3 élément de Ker ( f ). Montrer que (B + 3I )HV = O , (B + 3I )HV = O et (B - ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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EXERCICE 1
On munit
)
(
1
,
3
R
I
du produit scalaire canonique. On donne les matrices suivantes :
-
-
-
-
-
=
1
4
2
4
1
2
2
2
2
A
-
-
-
=
4
2
0
0
1
1
2
0
1
B
=
1
2
2
1
V
-
=
2
1
2
2
V
O
désigne la matrice colonne nulle d'ordre 3.
I
désigne la matrice identité ( matrice unité ) d'ordre 3.
Lorsque
λ
est une valeur propre d'une matrice carrée
C
, on notera
)
(
λ
C
E
le sous-espace propre associé.
Soit l'application
φ
de
)
(
3
R
I
définie pour toute matrice
M
de
)
(
3
R
I
par
MA
BM
M
-
=
φ
)
(
.
1.
(a)
Montrer que les valeurs propres de
A
sont
-3
et
6. Déterminer
)
3
(
-
A
E
et
)
6
(
A
E
.
(b)
Montrer que
0
est valeur propre de
B
et déterminer
)
0
(
B
E
. Montrer que
)
3
(
)
0
(
-
A
B
E
E
.
(c)
Montrer que
3
est valeur propre de
B
et déterminer
)
3
(
B
E
. Montrer que
)
3
(
)
3
(
-
A
B
E
E
.
(d)
Montrer que
(
)
2
1
,
V
V
est une base orthogonale de
)
3
(
-
A
E
formée de vecteurs propres de
B
.
En déduire une matrice colonne d'ordre
3
notée
3
V
et de première coordonnée égale à
1
telle que
(
)
3
2
1
,
,
V
V
V
soit une base orthogonale de
)
(
1
,
3
R
I
formée de vecteurs propres de
A
.
(e)
Exprimer
3
BV
en fonction de
2
V
et
3
V
.
En déduire que la matrice
B
est semblable à la matrice
3
0
0
3
3
0
0
0
0
.
2.
(a)
Montrer que
φ
est un endomorphisme de
)
(
3
R
I
.
(b)
Soit
H
une matrice carrée d'ordre 3
élément de
Ker (
φ
).
Montrer que
O
HV
I
B
=
+
1
)
3
(
,
O
HV
I
B
=
+
2
)
3
(
et
O
HV
I
B
=
-
3
)
6
(
.
En déduire
O
HV
=
1
,
O
HV
=
2
et
O
HV
=
3
et que
φ
est un isomorphisme de
)
(
3
R
I
.
3. Soient
a
et
b
deux valeurs propres respectives de
A
et de
B
.
Soit
X
un vecteur propre de
A
associé à
a
et
Y
un vecteur propre de
B
associé à
b
.
Montrer que
X
Y
t
est non nulle et calculer
)
(
X
Y
t
φ
. En déduire que
b
-
a
est valeur propre de
φ
.
4. Soit
λ
une valeur propre de
φ
. Soit
M
une matrice carrée vecteur propre de
φ
associée à la valeur propre
λ
.
(a)
Montrer que :
O
MV
I
B
=
-
λ
-
1
)
)
3
(
(
,
O
MV
I
B
=
-
λ
-
2
)
)
3
(
(
et
O
MV
I
B
=
+
λ
-
3
)
)
6
(
(
.
(b)
Montrer que :
si
O
MV
1
alors
3
-
λ
est valeur propre de
B
.
si
O
MV
2
alors
3
-
λ
est valeur propre de
B
.
si
O
MV
3
alors
6
+
λ
est valeur propre de
B
.
(c)
En remarquant que
O
M
, montrer que
3
2
1
,
,
MV
MV
MV
ne peuvent pas être tous nuls.
En déduire que
λ
est la différence d'une valeur propre de
B
et d'une v
aleur propre de
A
.
Donner finalement l'ensemble des valeurs propres de
φ
.
EXERCICE 2
Lorsque
A
et
B
sont deux événements d'un même espace probabilisé , on désignera par
)
(
A
P
B
la probabilité
conditionnelle de
A
sachant
B , où
B
est un événement de probabilité non nulle :
)
/
(
)
(
B
A
P
A
P
B
=
.
On considère un réel strictement positif
α
et la fonction
α
f
définie sur
R
I
par :
Pour tout
]
]
)
1
(
)
(
,
1
;
0
-
α
α
α
=
t
t
f
t
et
pour tout
]
]
]
[
0
)
(
,
;
1
0
;
=
+
-
α
t
f
t
.
1.
(a)
Montrer que
α
f
est une densité de probabilité. Soit
α
X
une variable aléatoire de densité
α
f
.
(b)
Déterminer la fonction de répartition de la variable
α
X
.
(c)
Montrer que pour tous réels
a
et
b
tels que
)
(
)
(
,
1
0
b
a
X
P
a
X
P
b
a
b
X
=
<
α
α
α
.
(
C' est
-à-dire
)
(
)
/
(
b
a
X
P
b
X
a
X
P
=
α
α
α
).
2.
Ce paragraphe étudie une fonction
H
vérifiant la propriété
(R)
:
(R)
:
H
est dérivable sur
]
]
1
;
0
et pour tous réels
x
et
y
de
]
]
1
;
0
,
)
(
)
(
)
(
y
H
x
H
xy
H
=
.
(a)
Montrer que pour tout réel
t
de
]
]
1
;
0
,
(
)
)
(
)
(
2
t
H
t
H
=
. En déduire le signe de
H
sur
]
]
1
;
0
.
(b)
On suppose ici qu'il existe un réel
β
de
]
]
1
;
0
tel que
0
)
(
=
β
H
.
Montrer grâce au 2(a) et par récurrence que pour tout entier naturel
n
,
0
)
(
2
1
=
β
n
H
.
En déduire par continuité de
H
que
0
)
1
(
=
H
, puis , que
H
est
nulle sur
]
]
1
;
0
.
(c)
On suppose ici que pour tout réel
β
de
]
]
1
;
0
,
0
)
(
β
H
.
c1. Montrer que
H
est strictement positive sur
]
]
1
;
0
. Montrer que
1
)
1
(
=
H
.
c2. Montrer que pour tous réels
x
et
y
de
]
]
1
;
0
,
)
(
)
('
)
('
y
H
x
H
xy
yH
=
.
c3. On considère la fonction
V
dérivable sur
]
]
1
;
0
définie par :
]
]
))
(
ln(
)
(
,
1
;
0
réel
tout
Pour
t
H
t
V
t
=
.
Montrer que pour tout réel
]
]
t
H
t
V
t
)
1
('
)
('
,
1
;
0
=
.
c4. Montrer que pour tout réel
]
]
)
ln(
)
1
('
)
(
,
1
;
0
t
H
t
V
t
=
.
En déduire que pour tout réel
]
]
)
1
('
)
(
,
1
;
0
H
t
t
H
t
=
.
3.
On suppose dans ce paragraphe que
Y
est une variable à densité vérifiant les propriétés suivantes :
Y
(
Ω
) =
]
]
1
;
0
.
La fonction de répartition
Y
F
de
Y
est dérivable sur
]
]
1
;
0
.
Pour tous réels
a
et
b
tels que
)
(
)
(
,
1
0
b
a
Y
P
a
Y
P
b
a
b
Y
=
<
.
(a)
Montrer que
Y
F
vérifie la propriété
(R)
.
(b)
En déduire qu'il existe un réel strictement positif
α
tel que
Y
et
α
X
suivent la même loi.
EXERCICE 3
On considère la fonction
f
définie sur
N
I
par
:
=
=
=
impair
est
k
si
k
f
k
comprend
ceci
pair
est
k
si
k
f
1
)
(
)
0
(
0
)
(
.
On considère un entier naturel non nul
N
, et on définit les suites
N
I
k
k
N
)
(
et
N
I
k
k
u
)
(
de la manière suivante :
=
-
=
=
=
+
+
+
)
(
et
2
,
tout
Pour
)
(
;
1
1
1
0
0
0
k
k
k
k
k
N
f
u
u
N
N
N
I
k
N
f
u
N
N
1.
Deux exemples.
(a)
Déterminer les suites
N
I
k
k
N
)
(
et
N
I
k
k
u
)
(
lorsque
27
=
N
.
(b)
Déterminer les suites
N
I
k
k
N
)
(
et
N
I
k
k
u
)
(
lorsque
10
2
=
N
.
2.
Dans cette question on étudie les suites
N
I
k
k
N
)
(
et
N
I
k
k
u
)
(
dans le cas général
.
(a)
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel
k
:
{
}
N
I
N
u
k
k
à
appartient
et
existe
et
1
,
0
à
appartient
et
existe
.
(b)
Montrer que pour tout entier naturel
k
,
k
k
N
N
2
1
1
+
.
En déduire que la suite
N
I
k
k
N
)
(
est de limite nulle.
Montrer qu'il existe un rang
0
n
à partir duquel
k
N
est inférieur à
2
1
.
En déduire que pour tout entier naturel
k
supérieur ou égal à
0
n
,
0
=
=
k
k
u
N
.
(c)
Montrer que pour tout entier naturel
k
,
k
k
k
k
k
k
u
N
N
2
2
2
1
1
-
=
-
+
+
.
En déduire en sommant de
k
= 0
à
0
n
que :
0
0
2
2
2
1
1
0
0
n
n
u
u
u
N
+
+
+
=
.
(d)
Montrer que la suite
N
I
k
k
u
)
(
ne peut pas être la suite identiquement nulle.
Il existe donc un entier
s
inférieur à
n
0
tel que
=
et pour tout
k
strictement supérieur à
s ,
=
.
3.
Informatique.
On dispose de la fonction Turbo-Pascal définie de la manière suivante :
function
g ( n : integer ) : integer ;
begin
g : = n - 2
*
int ( n / 2 ) ;
end;
int (x)
représente la fonction mathématique " partie entière de
x
" , aussi notée [
x
] .
( On rappelle que [
x
]
est l'unique entier tel que
1
]
[
]
[
+
<
x
x
x
).
(a)
En distinguant deux cas selon que
n
est pair ou impair , montrer
que la fonction
g
n'est autre que la fonction
f
.
(b)
Soit
d
l'entier égal à la partie entière de
)
2
ln(
)
ln(
N
.
Montrer que
d
est l'unique entier tel que
1
2
2
+
<
d
d
N
.
En déduire que l'entier
s
évoqué dans le 2.(d) est égal à
d
.
(c)
Ecrire finalement un programme utilisant la fonction
g
qui demande un entier naturel
non nul
N
, calcule
d
et affiche successivement les valeurs
d
u
u
u
,
,
,
1
0
.
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