Esc 2004 mathematiques classe prepa hec (stg) mathematiques 2004 classe prepa hec (stg)

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EXERCICE 1 2 0 0æ öæ - 5 6 3ö æ 1 0 0ö æ1 1 1 öç ÷1 ç ÷ ç ÷ ç ÷On donne les matrices : A = - 3 4 3 , I = 0 1 0 , D = 0 -1 0 et P = 1 0 1 . ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷- 3 6 1 0 0 1 1 1 -1Ł ł Ł ł 0 0 -1 Ł łŁ łPartie A -1æ öæ 1 ö ç 2 ÷ç ÷-1 ç ÷1. Montrer que la matrice P est inversible et calculer sa matrice inverse. Vérifier que P 0 = 1 . ç ÷ç ÷ç ÷ 1ç ÷0Ł ł Ł 2 łn2. (a) Donner D en fonction de n pour tout entier naturel n. 1æ öç ÷n -1 (b) En déduire l'expression de D P 0 en fonction de n. ç ÷ç ÷0Ł ł-1 n n -13. (a) Vérifier que A = PDP puis montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : A = PD P . 1æ öç ÷n(b) En déduire l’expression de A 0 en fonction de n pour tout entier naturel n. ç ÷ç ÷0Ł ł Partie B Les suites ( x ), ( y ) et ( z ) sont définies par les conditions initiales x = 1, y = 1 et z = 0 n n n 0 005 3ì x = - x + 3y + z - 3n +1 n n nï 2 2ï 3 3et par les égalités : pour tout entier naturel n. y = - x + 2y + z - 1í n +1 n n n2 2ï3 1ï z = - x + 3y + z - 3n +1 n n nî 2 2æ öæ - 3ö xnç ÷ç ÷On pose B = -1 et pour tout entier naturel n : X = ç y ÷ . ç ÷ n nç ÷ç ÷- 3 zŁ ł Ł n ł 1. Justifier pour tout entier naturel n l’égalité : X = AX + B relation (1) n +1 n 2. On se propose de trouver la matrice colonne U ˛ (IR) telle que : U = AU + B relation (2) 3,1 (a) Montrer que la relation (2) équivaut à (I - A)U = B . 0æ öç ÷ (b) Calculer la matrice A(I - A) . En déduire ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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EXERCICE 1
On donne les matrices :
-
-
-
=
1
6
3
3
4
3
3
6
5
2
1
A
,
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
I
,
-
-
=
1
0
0
0
1
0
0
0
2
D
et
-
=
1
1
1
1
0
1
1
1
1
P
.
Partie A
1. Montrer que la matrice
P
est inversible et calculer sa matrice inverse. Vérifier que
=
-
-
2
1
2
1
1
1
0
0
1
P
.
2.
(a) Donner
n
D
en fonction de
n
pour tout entier naturel
n
.
(b) En déduire l'expression de
-
0
0
1
1
P
D
n
en fonction de
n
.
3.
(a) Vérifier que
1
-
=
PDP
A
puis montrer par récurrence que pour tout entier naturel
n
:
1
-
=
P
PD
A
n
n
.
(b) En déduire l’expression de
0
0
1
n
A
en fonction de
n
pour tout entier naturel
n
.
Partie B
Les suites (
n
x
), (
n
y
) et (
n
z
) sont définies par les conditions initiales
1
0
=
x
,
1
0
=
y
et
0
0
=
z
et
par les égalités :
-
+
+
-
=
-
+
+
-
=
-
+
+
-
=
+
+
+
3
2
1
3
2
3
1
2
3
2
2
3
3
2
3
3
2
5
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
z
y
x
z
z
y
x
y
z
y
x
x
pour tout entier naturel
n
.
On pose
-
-
-
=
3
1
3
B
et pour tout entier naturel
n
:
=
n
n
n
n
z
y
x
X
.
1.
Justifier pour tout entier naturel
n
l’égalité :
B
AX
X
n
n
+
=
+
1
relation (1)
2.
On se propose de trouver la matrice colonne
)
(
1
,
3
R
I
U
telle que :
B
AU
U
+
=
relation (2)
(a)
Montrer que la relation
(2)
équivaut à
B
U
A
I
=
-
)
(
.
(b)
Calculer la matrice
)
(
A
I
A
-
. En déduire que :
AB
U
=
-
2
puis , que
=
0
1
0
U
.
3.
(a)
A l’aide de s relations
(1)
et
(2)
, montrer que :
)
(
1
U
X
A
U
X
n
n
-
=
-
+
.
(b)
En déduire, par récurrence, que pour tout entier naturel
n
on a
:
)
(
0
U
X
A
U
X
n
n
-
=
-
.
4. En utilisant l’expression obtenue dans la
partie A
, question 3(b) , calculer
n
x
,
n
y
et
n
z
, en fonction de
n
.
EXERCICE 2
On considère la fonction
f
définie sur
R
I
par
>
=
=
<
=
4
si
2
)
(
4
0
si
8
1
)
(
0
si
0
)
(
2
t
t
t
f
t
t
f
t
t
f
1.
(a)
Vérifier que
f
est positive.
(b)
Montrer que
f
est continue au point
t
= 4.
(c)
Déterminer la limite de
f
lorsque
t
tend vers
+
.
(d)
Calculer la dérivée
)
('
t
f
pour
4
>
t
et donner son signe.
(e)
Donner l'allure de la courbe repr
ésentative de
f
dans un repère orthogonal d'unités
1cm
en abscisse et 16cm
en ordonnée.
Placer sur cette courbe les points d'abscisse
8
,
2
,
2
=
=
-
=
t
t
t
.
2.
(a)
Soit
x
un réel supérieur ou égal à
4. Calculer
x
dt
t
f
4
)
(
.
En déduire que l'intégrale impropre
+
4
)
(
dt
t
f
converge et vaut
2
1
.
(b)
Calculer
+
0
)
(
dt
t
f
3. La fonction
f
étant nulle sur
]
[
0
;
-
, on définit sur
R
I
la fonction
F
par :
Pour tout réel
x
,
-
=
x
dt
t
f
x
F
)
(
)
(
.
(a)
Montrer que
1
)
(
lim
=
+∞
x
F
x
.
(b)
On considère une variable aléatoire à densité
X
dont la fonction de répartition est
F
.
Montrer que la variable aléatoire
X
n'admet pas d'espérance
.
(c)
Déterminer
)
4
5
(
,
)
4
3
(
,
)
4
(
/
>
<
>
X
X
P
X
P
X
P
( probabilité conditionnelle ).
(d)
Résoudre l'équation d'inconnue réelle
x
:
4
3
)
(
=
x
F
.
EXERCICE 3
Les parties A et B sont , dans une large mesure , indépendantes.
On suppose que
N
est un entier naturel non nul fixé et on lance une pièce équilibrée
N
fois de suite.
On note
X
la variable aléatoire réelle égale au rang où apparait
PILE
pour la première fois , et on
convient que si
PILE
n'est pas apparu au cours des
N
lancers , la variable
X
prend la valeur 0.
Ainsi :
=
=
k
X
k
X
N
,
rang
au
fois
première
la
pour
apparu
est
PILE
si
0
,
lancers
des
cours
au
apparu
pas
est
n'
PILE
si
Partie A : Etude de la loi de
X
.
1. Montrer que l'univers image
)
(
Ω
X
est
{
}
N
,
,
1
,
0
.
2. Déterminer
)
0
(
=
X
P
.
3. Montrer que pour tout entier naturel
k
de
{
}
N
,
,
1
,
k
k
X
P
2
1
)
(
=
=
.
Partie B : Calcul de l'espérance mathématique de la variable
X
.
O
n considère la suite numérique
N
I
n
n
u
)
(
définie par les relations suivantes :
-
+
=
=
+
1
2
,
naturel
entier
tout
Pour
1
1
0
n
u
u
n
u
n
n
1.
(a)
Montrer que
2
et
1
2
1
=
=
u
u
. Calculer
3
u
.
(b)
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel
n
,
1
n
u
.
(c)
En déduire sans récurrence que pour tout entier naturel non nul
n
,
n
u
n
.
Déterminer la limite de la suite
N
I
n
n
u
)
(
lorsque
n
tend vers
+
.
(d)
Montrer que la suite
N
I
n
n
u
)
(
est croissante.
2. Dans cette question on examine une suite
N
I
n
n
v
)
(
définie à partir de
N
I
n
n
u
)
(
:
On pose pour tout entier naturel
n
,
n
n
u
n
v
+
=
.
(a)
Exprimer
1
+
n
v
en fonction de
n
et
n
u
.
(b)
En déduire que la suite
N
I
n
n
v
)
(
est géométrique et exprimer, pour tout entier naturel
n
,
n
v
en fonction de
n
uniquement.
(c)
Montrer enfin que pour tout entier naturel
n
,
n
u
n
n
-
=
2
.
3.
(a)
En reprenant la définition de
N
I
n
n
u
)
(
, montrer que pour tout entier naturel
n
:
n
n
n
n
n
n
u
u
2
2
1
2
1
1
1
+
-
=
-
-
+
.
(b)
En déduire par récurrence sur
n
que pour tout entier naturel
n
non nul
-
=
-
=
-
1
0
1
2
2
1
n
k
k
n
n
k
u
.
(c)
Montrer finalement sans récurrence que pour tout entier naturel non nul
n
:
1
1
0
2
1
2
2
-
-
=
+
-
=
n
n
k
k
n
k
.
(d)
En déduire en fonction de
N
l'espérance de la variable aléatoire
X
.
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