Esc 2005 mathematiques classe prepa hec (eco) mathematiques 2005 classe prepa hec (eco)

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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D INDUSTRIEEPREUVES ESCCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESMATHEMATIQUESOPTION ECONOMIQUEAnnØe 2005La prØsentation, la lisibilitØ, orthol graphe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans apprl Øciation des copies. Les candidats sont invitØs à encadrer, dans lamesure du possible, les rØsultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d aucun document ;L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmatØrielØlectroniqueestinterditpendantcetteØpreuve.Seule ul tilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.1/46EXERCICE 13SoitB = (e ;e ;e ) la base canonique de l espace vectoriel R . On considŁre les matrices :1 2 3 0 1 0 1 0 13 1 0 1 0 0 0 0 0@ A @ A @ AA = 1 6 1 ; I = 0 1 0 ; O = 0 0 03 8 0 0 0 1 0 0 0On note :3f el ndomorphisme de R dont la matrice relativement à la baseB est A.3Id el ndomorphisme de R dont la matrice relativement à la baseB est I.3h el ndomorphisme de R dØ…ni par : h =f 3Id.N la matrice de l endomorphisme h relativement à la base B.0 10 1 02 3@ A1. (a) VØri…er que N = 1 3 1 . En dØduire N =O ; N =O.3 8 3(b) Montrer que si est valeur propre de N alors = 0.Etablir alors que 0 est la seule valeur propre de h.(c) En dØduire que f admet 3 pour unique valeur propre.(d) DØterminer une base et la dimension du sous-espace propre de f associØ à la valeur propre 3.(e) L endomorphisme f est-il diagonalisable ? est il ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION ECONOMIQUE Année 2005
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
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EXERCICE 1 3 SoitB= (e1; e2; e3)la base canonique de lespace vectorielR. Onconsidère les matrices : 0 10 10 1 31 01 0 00 0 0 @ A@ A@ A A= 1;6 1I= 0;1 0O0 0= 0 30 0 08 00 0 1 On note : 3 flendomorphisme deRdont la matrice relativement à la baseBestA. 3 Idlendomorphisme deRdont la matrice relativement à la baseBestI. 3 hlendomorphisme deRdéni par :h=f3 Id. Nla matrice de lendomorphismehrelativement à la base B. 0 1 01 0 @ A 2 3 1. (a)Vérier queN3 1= 1déduire. EnN6=O;N=O. 383 (b) Montrerque siest valeur propre deNalors= 0. Etablir alors que 0 est la seule valeur propre deh. (c) Endéduire quefadmet 3 pour unique valeur propre. (d) Déterminerune base et la dimension du sous-espace propre defassocié à la valeur propre 3. (e) Lendomorphismefest-il diagonalisable ?est il bijectif ? 3 2. (a)On considère les vecteurs deR: u1= (1;1;1) ;u2=h(u1) ;u3=h(u2): Calculeru2etu3que. Vérierh(u3) = (0;0;0). 30 (b) Montrerque la famille(u1; u2; u3)est une base deR, quon noteraB: 0 0 (c) Déterminerla matriceNdehrelativement à la baseB: 0 0 (d) Montrerque la matrice defrelativement à la baseBest3I+N : 0 1 1 1 1 @ A On considère la matriceP=11 0. 1 21 0 1 3. (a)A laide des questions précédentes, montrer quePest inversible et queA=P(3I+N)P. (b) Soitnun entier naturel supérieur ou égal à deux. n0n1 b1. MontrerqueA=P(3I+N)P. 03 b2. Justierque(N) =O. 0n0 02 En déduire trois réelsan; bn; cntels que(3I+N) =anI+bnN+cn(N). n2 b3. MontrerqueA=anI+bnN+cnN.
EXERCICE 2 On considère la fonction de deux variablesfdénie sur louvertU=]0; +1[]0; +1[par : 2 f((x; y)) =xlnyylnx
2 1. Onnotegla fonction dénie sur]0; +1[parg(t) = 4t2tlnt1.
20 00 (a) MontrerquegestCsur son domaine et calculerg(t)etg(t)pourt >0. 0 (b) Etudierles variations degsur]0; +1[puis celle degsur]0; +1[. (On précisera à chaque fois les limites aux bornes)
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(c) Endéduire que léquationg(t) = 0admet une unique solution notée. 1 (d) Vérierque :ln= 22
2 2. (a)Montrer quefestCsurU. (b) Calculerles dérivées partielles dordre 1 def. 2 (x0) (c) Endéduire que si(x0; y0)est un point critique def, alorsx0>1ety0=. lnx0 (d) Etabliralors queg(lnx0) = 0.   2e En déduire quefpossède un unique point critique notéM, de coordonnéese ;est le réel déni au 1.(c).
3. (a)Calculer les dérivées partielles dordre 2 def. y02 (b) Enutilisant la relation de la question 1.(d) , montrer que2 lny0+ =. 2 (x0)En déduire que la fonctionfne présente pas dextremum. ( 36 h(t) =f(t; t)lorsquet2]0; 1] 4. Ondénit surRlapplicationhtelle que 5 h(t) = 0lorsquet60out >1
(a) Montrerquehest continue surR. 1 Z k (b) Soitkun entier naturel non nul etaun réel de]0; 1]. Calculertlnt dt. a 1 Z 1 k En déduire que lintégraletlnt dtexiste et vaut. 2 (k+ 1) 0 (c) Montrerque pour tout réeltde]0; 1],(t1) lnt>0. En déduire quehest positive surR. (d) Montrerquehest une densité de probabilité.
EXERCICE 3 Une urne contient initialement deux boules rouges et une boule bleue indiscernables au toucher. On appelle " épreuve " la séquence suivante : On tire une boule de lurne, puis : Si la boule tirée est bleue , on la remet dans lurne.
boule tirée est rouge , on ne la remet pas dans lurne mais on remet une boule bleue dans lurne à saSi la place.
Lexpérience aléatoire consiste à e¤ectuer une succession illimitée dépreuves. Pour tout entier naturelnnon nul , on noteYnla variable aléatoire discrète égale au nombre de boules rouges présentes dans lurne à lissue de lan- ième épreuve. On notera pour chaque entier naturelknon nul les événements suivants : Rk:" Lors de lak"-ième épreuve on a extrait une boule rouge de lurne. Bk:" Lors de lak-ième épreuve on a extrait une boule bleue de lurne."
1. Donnerla loi de probabilité deY1.
2. Quellessont les valeurs possibles deYndans le cas oùnest supérieur ou égal à 2 ?
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3. Calculerpour tout entier naturel non nuln,P(Yn= 2). 4. Onpose pour tout entier naturel non nuln,un=P(Yn= 1). 2 (a) Rappelerla valeur deu1et montrer queu2=. 3 (b) Enutilisant un système complet dévénements lié à la variableYn, montrer que pour tout entier naturel n>2, 2 2 un+1=un+: n+1 3 3 Cette relation reste-t-elle valable lorsquen= 1? 2 (c) Onpose pour tout entier naturelnnon nulvn=un+. n 3 Montrer que la suite(v)est géométrique. n n2N En déduirevnen fonction denet dev1, 2 2 n Etablir enn que pour tout entier naturel non nuln,un= 2( ). n 3 3 (d) Déduiredes résultats précédentsP(Yn= 0)pour tout entier naturel non nuln. 5. Calculerlespérance deYn. 6. OnnoteZla variable aléatoire égale au numéro de lépreuve amenant la dernière boule rouge.
(a) DonnerZ(). (b) Soitkun entier supérieur ou égal à 2. Exprimer lévénement(Z=k)en fonction des variablesYketYk1. (c) Endéduire la loi deZ.
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