Esc 2006 mathematiques classe prepa hec (s) mathematiques 2006 classe prepa hec (s)

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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D INDUSTRIEEPREUVES ESCCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESMATHEMATIQUESOPTION SCIENTIFIQUEAnnØe 2006La prØsentation, la lisibilitØ, orthol graphe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies. Les candidats sont invitØs à encadrer, dans lamesure du possible, les rØsultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d aucun document ;L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmatØrielØlectroniqueestinterditpendantcetteØpreuve.Seule ul tilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.1/4EXERCICE 1Les questions 2 , 3 et 4 sont indØpendantes de la question 1.0 10 0 13@ AOn considŁre la matrice H = 0 2 0 et l endomorphisme h deR reprØsentØ par la matrice H relativement1 0 2 p p3à la base canonique deR . On note Øgalement = 1 2 et = 1+ 2.1 2 0 1a 0 bn nn n@ A1. (a) Montrerquepourtoutentiernatureln,ilexistedeuxrØelsa etb telsqueH = 0 ( 2) 0n nb 0 a +2bn n net exprimer a et b en fonction de a et b .n+1 n+1 n n(b) Pour tout entier naturel n , exprimer b en fonction de b et b , puis en dØduire b en fonction den+2 n+1 n nn, et .1 2(c) Pour tout entier naturel non nul n, exprimer a en fonction de n, et .n 1 22. (a) Montrer que H est diagonalisable.(b) Montrer par la mØthode du pivot que les valeurs propres de H sont 2, et .1 23(c) DØterminer une base deR formØe de vecteurs propres de h.3Justi er que ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION SCIENTIFIQUE Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
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EXERCICE 1 Les questions 2 , 3 et 4 sont indépendantes de la question 1. 0 1 0 0 1 3 @ A On considère la matriceH= 02 0et lendomorphismehdeRreprésenté par la matriceHrelativement 1 0 2 p p 3 à la base canonique deR. Onnote également1= 12et2= 1 +2. 0 1 an0bn @ A n n 1. (a)Montrer que pour tout entier natureln, il existe deux réelsanetbntels queH= 0(2) 0 b0a+ 2b n nn et exprimeran+1etbn+1en fonction deanetbn. (b) Pourtout entier natureln, exprimerbn+2en fonction debn+1etbn, puis en déduirebnen fonction de n,1et2. (c) Pourtout entier naturel non nuln, exprimeranen fonction den,1et2. 2. (a)Montrer queHest diagonalisable. (b) Montrerpar la méthode du pivot que les valeurs propres deHsont2,1et2. 3 (c) Déterminerune base deRformée de vecteurs propres deh. 3 Justier que cette base est orthogonale pour le produit scalaire canonique deR. 0 1 x @ A 3t 3. Onconsidère ici lapplicationq:R!R;(x; y; z)7!XHXX=y z (a) Justierqueqest une forme quadratique et exprimerq((x; y; z))en fonction dex,y,z. (b) Quepeut-on dire du signe deqsa réponse.? Justier
3 4. Onconsidère le sous-ensembleDdeRdéni parD=RR]1; +1[, ainsi que la fonctionfdénie sur 2 Dpar :f(x; y; z) =xln(1 +z) + (y1) (z1) + 2z.
2 (a) Montrerquefest de classeCsurD. (b) Calculerles dérivées partielles dordre1defque. Montrerfne présente quun point critiqueM0. (c) Calculerles dérivées partielles dordre2defdéduire la Hessienne de. Enfau pointM0. (d) LepointM0est-il un maximum, un minimum, ou un point col pourf?
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EXERCICE 2 1 On considère un réel >0et la suite(un)n>2dénie par :un=. +1 nln (n) n X On note , pour tout entiernsupérieur ou égal à2,Sn=uk. k=2 1 1. Soitla fonctionfdénie surI=]1; +1[parf(x) =. ln (x) 20 (a) Montrerquefest de classeCsurIet calculer sa dérivéefque. Montrerfest concave surI. +1 Z 1 (b) Etudierla nature et la valeur éventuelle de lintégrale impropredt. +1 tln (t) 2 En déduire la nature de la série de terme généralun. 0 (c) Soitun entierk>2. Montrerque pour tout réelt2[k;k+ 1],uk+16f(t). 1 1 (d) Endéduire que pour tout entierksupérieur ou égal à2,uk+16.   ln (k)ln (k+ 1) +1+1 X X Dans toute la suite , on noteL=uket pour tout entiernsupérieur ou égal à2:Rn=uk. k=2k=n+1 2. (a)Justier lexistence deRn. ExprimerRnà laide deLetSn. (b) Soitpetndeux entiers tels que26n < p. p X 1 1 Montrer grâce au1.d.que :uk6.   ln (n)ln (p) k=n+1 1 (c) Endéduire que pour tout entiernsupérieur ou égal à2:06LSn6. ln (n) 2 3 1 1 4 5 3. (a)Montrer que :6"()n>exp ("). ln (n) (b) Compléter les parties pointillées du programme Turbo-Pascal suivant an quil demande deux réels strictement positifset"et a¢ che un entier naturelnet une somme partielleSntels que lécart entre SnetLsoit inférieur à"rappelle que: (ontruncest la fonction partie entière). program esc2006; var S , epsilon , alpha :real ; k , n :integer ; begin writeln (....................................) ; readln (...............) ; readln (...............) ; n:=trunc(exp(exp(..............................)))+1 ; S :=O ; for k := 2 to n do ..............................; writeln (..............................) ; end . 6 (c) Onsuppose que les valeurs= 10et"= 10ont été entrées. Y aura-t-il une erreur due à un débordement à lexécution de ce programme ? 15 (on prendra2comme plus grand entier possible pour le type integer et on donneln(2)'0;69)
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EXERCICE 3 Le préliminaire nest utilisé quen2.eet2.f. Toutes les variables aléatoires sont dénies sur le même espace probabilisé(;F; P). 1.Préliminaires Soit(Y)varianceune suite de variables aléatoireV(Y). On n n2Ns admettant une espéranceE(Yn)et unen suppose en outre quelimE(Yn) =met quelimV(Yn) = 0. n!+1n!+1 (métant une constante réelle ).   2 2 (a) MontrerqueE(Ynm) =V(Yn) + (E(Yn)m). (b) Endéduire par inégalité de Markov que pour tout" >0, 2 V(Yn) + (E(Yn)m) P(jYnmj>")6 2 " (c) Montreralors que(Yn)converge en probabilité vers la variable certaine égale àm. n2N
Dans la suite de cet exercice on considère une suite(Xi)de variables indépendantes et de même loi. i2N Pour tout entier naturel non nuln, on noteMnla variable aléatoire dénie surparMn(!) =maxXi(!). ( 16i6n Mnprend donc pour valeur la plus grande des valeurs prises parX1; X2; :::; Xnet on remarque queM1=X1).
2. Onsuppose ici que les variables(Xi)suivent la loi de Bernoulli de paramètrep2]0;1[. Onnoteq= 1p. i2N
(a) Montrerque(M2= 0) = ((X1= 0)\(X2= 0))et en déduire la loi deM2. n (b) Montrerplus généralement queMnsuit une loi de Bernoulli de paramètre1q. (c) Soientretsdeux entiers tels que16r6sque si. Montrer(Mr= 1)alors(Ms= 1)déduire. En r E(MrMs) = 1q, puis calculer la covariancecov(Mr; Ms). (d) Donnerla matrice de variance-covariance des variables(M1; M2; :::; Mn). (e) naireque Déduire du prélimi(Mn)n2Nconverge en probabilite vers la variable certaine égale à1. (f) Montrerque(n(1Mn))converge en probabilité vers la variable certaine égale à0. n2N
3. Onsuppose ici que les variables(Xi)sont des variables à densité indépendantes, de loi uniforme sur i2N [0;1].
(a) Rappelerla fonction de répartition dune loi uniforme sur[0;1]. n (b) Endéduire que pour tout réelxde[0;1],P(Mn6x) =x. Montrer queMnest une variable à densité. (c) Soit"un réel de]0;1]. CalculerP(jMn1j6"). (d) Endéd clité vers la variable certaine égale à uire que(Mn)n2Nonverge en probabi1. (e) Soitun réel positif. i. Soitnun entier strictement supérieur à.   n Montrer que :P(n(1Mn)6) = 11. n   n ii. Montrerque :lim 1=e. n!+1 n iii. Endéduire que(n(1Mn))converge en loi vers une variable qui suit une loi exponentielle de n2N paramètre1.
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