Escp eap 1999 mathematiques i classe prepa hec (ecs) mathematiques i 1999 classe prepa hec (ecs)

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLEDES HAUTESETUDESCOMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLESUPERIEURE DECOMMERCE DELYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION SCIENTIFIQUEMATHEMATIQUESILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document: l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Dans tout le probl`eme l’esp´erance d’une variable al´eatoire Y sera not´ee E(Y). Tous les polynˆomes de ce probl`emesont `a coefficients r´eels.Pour tout entier naturelk, on noteE l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e au plusk. A tout entier naturelnknon nul et `a toute suite (s ,s ,...,s ) de 2n+1 r´eels, on associe les applications Φ et S d´efinies de la mani`ere0 1 2n n nsuivante:n nP Pi jpour tout ´el´ement (A,B) de E ×E avec A = a X et B = b X , on posen n i ji=0 j=0n nXX XΦ (A,B) = a b s = a b sn i j i+j i j i+ji=0 j=0 0≤i,j≤n2n 2nP Piet, pour tout polynˆome C ´el´ement de E , avec C = c X , on pose S (C) = c s .2n i n i ii=0 i=01.(a) V´erifier que, pour tout entier naturel n, Φ est une forme bilin´eaire ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION SCIENTIFIQUE MATHEMATIQUES I
Lapre´sentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument:lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationduner`eglegradu´eeestautoris´ee.
Danstoutleproble`melespe´rancedunevariableale´atoireYsreanot´eeE(Yemoˆcedspselnylomeroep`ebl).Tous sont`acoecientsre´els. Pour tout entier naturelk, on noteEkapeclseroeievtcrgeduae´sulpesldlypoomnˆdeesk. A tout entier natureln nonnulet`atoutesuite(s0,s1, . . . ,s2n) de 2nsΦtionlicaasppeielsscoo,anlseer´+1netSndeermale`inane´dsei suivante : n n P P i j pourtoute´le´ment(A,B) deEn×EnavecA=aiXetB=bjX, on pose i=0j=0 n n X XX Φn(A,B) =aibjsi+j=aibjsi+j i=0j=0 0i,jn 2n2n P P i et,pourtoutpolynoˆmeCe´´letdenemE2n, avecC=ciX, on poseSn(C) =cisi. i=0i=0 1. (a)V´erierque,pourtoutentiernatureln, Φnroemnufe´naeibilym´eiresuesutriqrsteEn×En. (b)Ve´rierque,pourtoutentiernatureln,Snilemae´nnutsrofeeiresurE2nmene(tottue´´let,pourA,B) i deEn×EnΦ:e´tilage´lrveoupr,n(A,B) =Sn(ABre´delreosacu`noisapcrecarmmneonco)(A=Xet j B=Xavec 0i,jn.) 2. Deuxcas particuliers (a) Danscette sous-question on suppose quen= 1 ets0= 1,s1ets2´teqmueete´tealnqruteousl.cPoonu´tn 2 (a,b) deR´eitaleg´rlee´irv 2 22 Φ (aX+b, aX+b) = (b+as) +a( ) 1 1s2s1 Ende´duireuneconditionn´ecessaireetsusante,portantsurlesr´eelss1ets2, pour que l’application Φ1soit un produit scalaire surE1×E1.
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(b) Danscette sous-question on suppose quen= 2,s0= 1 ets1=s3= 0,s2ets4´etanqteuclnouqse. Prouver que l’application Φ2ed(ohxietcla`nueei´ocss,as0,s1,s2,s3,s4), est un produit scalaire sur 2 > E2×E2iselrse´ueelemtnstsieelss2ets4:iuavtnsedivt´ieornissentlescons2>0 ets4s20. 3. Deuxexemples Danscettequestiononconside`reunentiernaturelnnon nul. (a) Dans cette sous-question, on se donne un entier natureldnontee´ealoiatdirer`scelunenutiravelba Y, prenantdvaleurs distinctesα12, . . . ,αdtpenitosristemcttcepseviseviser,abobpress,´eitillceva, p1,p2, . . . ,pd, et on pose, pour tout entier naturelk d X k k (Y) =α sk=Eipi i=1 Onconside`relesapplicationsΦnetSnossae´ica`sehcecxdoie(s0,s1, . . . ,s2n) d P i.PourtoutpolynˆomeQdeE2nlreire´tilage´e:,v´Sn(Q) =Q(αi)pi. i=1 ii.Ende´duireuneconditionn´ecessaireetsusante,portantsurnetd, pour que l’application Φnsoit un produit scalaire surEn×En. (b) i.Danscettesous-question,onconsid`ereunevariableale´atoireYdone´tidenstunefest continue sur le segment [0,1] et nulle en dehors de [0,1]. On pose, pour tout entier naturelk, 1 Z k k sk=E(Y) =t f(t)dt 0 Ve´rierquelapplicationΦnee`aoci´,ass(eiodxechcs0,s1, . . . ,s2n) est un produit scalaire sur En×En. 1 1 ii.Montrerque,danslecaso`u(s0,s1, . . . ,s2n) = (1, ,. . . ,), l’application Φnci´eassoe,e`ac 2 2n+ 1 choix, est un produit scalaire surEn×En. 4.Danscettequestiononrevientaucasge´n´eralo`uonconsid`ereunentiernaturelnnon nul, une suite (s0,s1, . . . ,s2n) de 2nΦsnoir1e´+tleselseicatapplnetSn.icossace`aes´eteuiestt Onadmetler´esultatsuivant:toutpolynˆomePeup´tsealsumrofirceoser r ` Y Y mi2 P=λ(Xζ) (X+b X+c) i jj i=1j=1 o`uret`sont des entiers naturels (avec la convention que sirou`est nul, le produit correspondant vaut 1),o`uλie´rnutses,u`o,lerest non nul,ζ ,ζ ,. . . ,ζesr´acinesdieellelrsostndeinstesctPse´tpitlicil,mude 1 2r 2 non nul,. . . ,cb ,b ,. . . ,b,c ,c ,tnirasv´e´eeldesrsontb4c respectivesm1,m2, . . . ,mr,uis,te`o`est1 2`1 2` jj<0 pour tout entierjtel que 1j`. Unpolynoˆmenon nulPsedttiopisitsf,ipourtoutr´eelca`,ntiecoes,el´esrx,P(x)0. (a)Montrerquelamultiplicit´eduneraciner´eelledunpolynˆomepositifestpaire. (b)MontrerquetoutpolynoˆmePd-a`-tseeriposi´r2esestitdfdegecaux´errmeomdedeemoˆc,spedsnylo 2 2 qu’il existe un couple (A,Buetelqpelod)em,snyoˆP=A+B. (c) Enremarquant que, siA,B,C,Dna:soqunttaeropylˆnmoseo, 2 22 22 2 (A+B)(C+D) = (AC+BD() +ADBC) montrerquetoutpolynˆomepositifestsommededeuxcarr´esdepolynoˆmes.
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(d) Montrerque Φnest un produit scalaire surEn×Enlynˆutpoometneesetsluimseruot,iopPpositif, e´l´ementdeE2n, on a:Sn(P)>0.   1 1 1 1 5. Danscette question on suppose quen= 2 et (s0,s1,s2,s3,s41) =, , , ,. 2 3 4 5 2 ` (a)Alaideduproc´ede´dorthonormalisationdeSchmidt,construire,`apartirdelabase(1,X,X) une base orthonormale deE2pour le produit scalaire Φ2. 3 (b) Pourtous (a0,a1,a2) et (b0,b1,b2tsdeemene´´l,)Rlrege´tila:e´´eri,v 2 2t Φ2(a2X+a1X+a0,b2X+b1X+b0) =AM B   1 1 1    2 3 a0b0 1 1 1    o`uA=a1,B=b1, etM= . 2 3 4a2b2  1 1 1 3 4 5 t (c)De´terminerunematriceTtriangulaire telle que:T M T=I3(I3d´esignarcdiieeedtnttinea´ladmrrot 3). 6.Jusqu`alanduprobl`eme,onconsid`ereunentiernaturelnnon nul, une suite (s0, . . . ,s2n) de premier terme s0= 1, telle que Φnsoit un produit scalaire surEn×En, et on note (P0,P1, . . . ,Pn) la base orthonormale n deEnpour le produit scalaire ΦnhcSede´dpa`,tdimar,pueen´eocprlesaba1(eiotrtabledr,X, . . . ,X), le polynˆomePitenadtdeegr´e´ipour tout entiericompris entre 0 etn. (a)Enconsid´erantlenombreΦn(Pn,leuelypoomnˆeverqprou1),Pnne peut pas garder un signe fixe sur Re´udriqeeu.EndPnicittiplpair´eim.eopssmoaude`eranesuinee´reniclumedell (b) Onnoteα12, . . . ,αksdeellesr´eicensearlPndemuerqrentMoe.irapmie´ticilpitluPnossualse´rcti k Q formePn=εQ(Xαi,)u`oε´tsee´lentmede{−1,1}etQedtiefipolystuneposnˆomEn. i=1 k Q Enconside´rantlenombreΦn(Pn(Xαi)), montrer quek=n. i=1 7. On noteα12, . . . ,αnlesnopudˆnylemoacresinPntcnitsidteselleeloseuxde`auxdeesoineutsl´nrq,a pr´ec´edente. QXαi Pourtoute´l´ementkde{1,2, . . . ,n}, on noteLkmoeelopylˆnLk= . 1inαkαi i6=k (a) Montrerque (L1,L2, . . . ,Ln) est une base deEn1me,ettruop,uonyoˆptloRdeEn1ju,istlreage´´til:e n n P P R=R(αi)Lie´udrie.EndLi. i=1i=1 (b) SoitAuolnpˆoyn´,eme´letnemedE2n1. i. Justifierl’existence d’un couple (Q,R)edteneml´´eEn1×En1tel queA=PnQ+R. n P ii.V´erierqueSn(A) =Sn(R), puis queSn(A) =A(αi)Sn(Li). i=1 (c)Pourtout´el´ementkde{1,2, . . . ,n}, on posepk=Sn(Lk). n P 2 V´erierquepkneoce1,t=nt´eransidSn(L), montrer quepk>0. k k=1 (d)D´eduiredecequipre´c`edequilexisteunevariableal´eatoirediscr`eteY´vtna,treiuttourpoeneml´´ek k de{0,1, . . . ,2n1}, sk=E(Y). (e)D´eterminerlaloidunetellevariableal´eatoire,danslecasou`:   1 1 1 1 n= 2 et (s0,s1,s2,s3,s41) =, , , , 2 3 4 5
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