Escp eap 1999 mathematiques iii classe prepa hec (ecs) mathematiques iii 1999 classe prepa hec (ecs)

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6E.S.C.Paris 1999Option EconomiqueMATHEMATIQUES IIIEXERCICE ISoitM (R) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre 2 muni de sa structure d’espace vectoriel et soit2J la matrice 0 1J =1 0On consid`ere l’application S de M (R) dans lui-mˆeme qui associe a` tout ´el´ement M de M (R)2 2l’´el´ement S(M) =JMJ.1. a) Montrer que l’application S ainsi d´efinie est un automorphisme de l’espace vectorielM (R). Quel est l’automorphisme r´eciproque de S?2b) Montrer que si M et N sont deux ´el´ements quelconques de M (R), on a S(MN) =2S(M)S(N)2. On consid`ere les ´el´ements 1 0 0 1 1 0 0 1I = J = K = L =0 1 1 0 0 −1 −1 0Montrer que (I,J,K,L) forme une base de l’espace vectorielM (R).23. Montrer que I, J, K, L sont des vecteurs propres de S. D´eterminer la matrice repr´esentantl’automorphisme S dans la base (I,J,K,L).4. Soit F l’ensemble des ´el´ements M de M (R) v´erifiant S(M) = M et soit G l’ensemble des2´el´ements M deM (R)(R) V´erifiant S(M) =−M. Montrer queF etG sont des sous-espaces2vectoriels deM (R) et que tout ´el´ement M deM (R) peut s’´ecrire d’une mani`ere et d’une2 2seule sous la forme M =M +M avec M ∈F et M ∈G .+ − + − 3 −1A titre d’exemple, d´eterminer les matrices A et A lorsque A = .+ − 1 −25. a) Montrer que le produit de deux matrices appartenant `a F appartient aussi `a F. Quepeut-on dire du produit de deux ´el´ements deG ?b) Plus pr´ecis´ement, pour deux matrices M et N deM (R), exprimer (MN) et (MN)2 + −en fonction ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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E.S.C.Paris 1999 Option Economique MATHEMATIQUES III EXERCICE I SoitM2(Relstiotevtcroeiense)ldesmmbleeccstaireedsra´r2mrerdoasesidunerutcurtecapsed Jla matrice   0 1 J= 1 0 Onconside`relapplicationSdeM2(Rmeqe-iˆmsnul)adout´e`atsociuiastneme´leMdeM2(R) l´ele´mentS(M) =J M J. 1. a)Montrer que l’applicationSlcepaeslieorctveantumorohpsiemedainsid´enieestu M2(R).Qltseleuqoeuicrpedmorpautoer´ehismS? b)Montrer que siMetNeml´tsendent´euxoseudseuqleocqnM2(R), on aS(M N) = S(M)S(N) 2.sntme´eels´leree`disnocnO     1 00 11 00 1 I=J=K=L= 0 11 0011 0 Montrer que (I, J, K, L) forme une base de l’espace vectorielM2(R). 3.Montrer queI, J, K, Lsont des vecteurs propres deSD´.eretnemimalrirtaerece´rpnatestn l’automorphismeSdans la base (I, J, K, L). 4.SoitFslee´emtns´delembseenlMdeM2(Rnt)v´eriaS(M) =Met soitGl’ensemble des ´ele´mentsMdeM2(R(R)tnari´e)VS(M) =Mque. MontrerFetGsont des sous-espaces vectoriels deM2(Ruotele´teme´tn)quetMdeM2(Rrideuenamine`er)peuts´ecrenudte seule sous la formeM=M++MavecM+∈ FetM∈ G.   31 Atitredexemple,d´eterminerlesmatricesA+etAlorsqueA= . 12 5. a)mealterpircoedsuointtdreedrequxuna`taMpaaptrneFssauai`rtpantiepaF. Que peut-ondireduproduitdedeux´el´ementsdeG? b)lPt,enems´ci´eprussecirtamxuedruopMetNdeM2(R), exprimer (M N)+et (M N)en fonction deM+,M,N+etN. EXERCICE II Pour tout entierks,2a`lagtiop´ersuou´eieurfkfalndiocton0suri]en´e,+[ par : k ln (x) fk(x) =six >0 etx6et= 1fk(1) = 0 x1 1.Etude des fonctionsfk. a)Soitk´uorueire´pusreintneu`a2.egal Justierlade´rivabilite´delafonctionfksur ]0,1[]1,+delatp[e´rcesirealavelru 0 d´eriv´eef(x), pour toutxntnatearppa]0`a,1[]1,+[. k 0 en 1 et donner, selon les valeurs dek, la valeur def Montrer quefkstd´eableerivk(1) ESCP 1999 Eco IIIPage 1/ 4
b)lesfonctionsauxiiliaersocnOdisnere`ϕktuotruop,sde´neix >0, par
ϕk(x) =k(x1)xln(x). Etudier, pour tout entierknoalofcnitsup´age´2a`leireuoruioatdenses,lrivaϕk. Montrer quel´equationϕk(x) = 0 admet une racine unique dans l’intervalle ]1,+[. Dansla suite, on noteraakcette racine. c)En distinguant les cask= 2,kuorueire´pusriape´ag`l4a,ksup´erieurou´ega3a`l,miapri donner le tableau de variation de la fonctionfkcisepr´eslimrale(nobxuaseti.)senro 2.Etude asymptotique de la suite (ak) . k2 k1k a)Montrer que, pour tout entierks2,`aor´ugelapue´irueeake k b)Pour tout entierkegalrou´rieuup´esesnoopa`,2ak=e(1 +δkoM.)ertneuqrr´leleeδk v´eriele´quation k ke= (1 +δk) ln (1 +δk) 1k Justierline´galit´e:|ln (1 +δk)| ≤ke.nEiuer´ddeasuiquelte(δkune limite) a k2 k nulleet,pluspr´ecise´ment,queδkeqt´esa`tnelaviukequandktend vers l’infini. c)Justifier, en conclusion, la relation k ak=ek+o(k) quandk+3.apprlculedesoch´serbmonaCak. 4 EcrireunprogrammeenTurbo-Pascaldonnantunevaleurapproche´e`amoinsde10pr`esdu nombrea4. EXERCICE III Unechaıˆnedefabricationproduitdesobjetsdontcertainspeuventeˆtred´efectueux.Pourmode´liser ceprocessusonconside`reunesuite(XnnruoedeBdne´lliiantepends,de)iravedl´saleabesirtoea n1 i`eme parame`trep,(0< p <ioer.)1vaLaabrialleat´eXnprend la valeur 1 si lenobjet produit est de´fectueuxetprendlavaleur0silestdebonnequalit´e. Pourcontroˆlerlaqualit´edesobjetsproduits,oneectuedespr´el`evementsal´eatoiresetonconside`re 0 0 une suite (Yndarev)tae´eriolbailaseetr`eamind´ulliernosdeBperased,adtnpenep, (0< p<1), n1 ie`me telle queYnprend la valeur 1 si len0silnelestpas.ettsoctnˆrloe´tebjopretuiod Touteslesvariablesal´eatoiresXnetYnmˆemurunacepeespnodtseisse´nudieneΩs´un,mbarolibi probabilit´enot´eeptsuoetispuop´seeetsonts.selleerntseteanndpe´end Laprobabilit´econditionnelledune´ve´nementAashc´nvenautment´eneBeenot´estPB(A) Pour tout entiern1, on poseZn=XnYnL.varaailbeal´eatoireZn´disineuavenodtsic1leain i`eme nd´effois`alatestrtoˆctnoueexceutn.nosit0eel´jeob Lobjetdelexerciceestd´etudierlenombredobjetsd´efectueuxproduitsparlachaıˆneavantquun objetde´fectueuxnait´ete´de´tecte´. 1.er,prminouteourteitnre´etDnvalaabrialleat´eioer1lal,edioZnet la covariance des variablesXnetZnselbairavseleuqeirdu´end.EXnetZn.snaetepdndne´pasisontne Parcontre,ilr´esultedeshypoth`eses(etonnedemandepasdelejustier)que,pourtoutentier niotaerableal´e,lavariZnitsee´dnlbsesvdeiaarndpetean(Xi, i6=n)et des variables(Yi, i6=n), demeˆmequedesvariables(Zi, i6=n).
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