Escp eap 2000 mathematiques ii classe prepa hec (ecs) mathematiques ii 2000 classe prepa hec (ecs)

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIAnnØe 2000La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.EXERCICE I 0 11 2 @ A 1 Dans tout l exercice, dØsigne un paramŁtre rØel. On considŁre la matrice A = et on2 2 +13 3:note l endomorphisme de R reprØsentØ par A dans la base canonique deR1. (a) Montrer que, quel que soit , el ndomorphisme admet la valeur propre 1.(b) On note E () le sous-espace propre de associØ à la valeur propre 1.1 DØterminer, suivant les valeurs de a, une base de E ().132. On considŁre les vecteurs f = (1;1; 1) et f = (1;1; 2) et on note F le sous-espace deR engendrØ par1 2 1f et f .1 2(a) Montrer que (f;f ) est une base de F .l 2 l(b) Montrer que l image par de tout vecteur de F appartient à F .1 1^(c) Soit l endomorphisme de F induit par , c est- -dire vØri ant, ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
EXERCICE I 0 1 1 2@ A Dans tout lexercice,désigne un paramètre réel.On considère la matriceA=1et on 22+ 1 3 3: notelendomorphisme deRreprésenté parAdans la base canonique deR 1. (a)Montrer que, quel que soit, lendomorphismeadmet la valeur propre1. (b) OnnoteE1()le sous-espace propre deassocié à la valeur propre1. Déterminer, suivant les valeurs de a, une base deE1(). 3 2. Onconsidère les vecteursf1= (1;1;1)etf2= (1;1;2)et on noteF1le sous-espace deRengendré par f1etf2. (a) Montrerque(fl; f2)est une base deFl. (b) Montrerque limage parde tout vecteur deF1appartient àF1. ^ endomorphisme deFinduit p (c) Soitl1ar, cest-à-dire vériant,.pour tout vecteurVdeF1, ^ (V) =(V)   ^ er la matre)deF1. Donn iceddans la base(fl; f2 3. Montrerque, pour tout réel, lendomorphismeadmet la valeur propre1et quon peut trouver un 3 vecteurf3deRne dépendant pas de, qui soit, pour tout réel, vecteur propre deassocié à la valeur propre1. 3 e dean (a) Montrerque(fl;f2; f3)est une base deR. Donnerla matriccette base.d s (b) Pourquelles valeurs du paramètrelendomorphismeest-il diagonalisable ?
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EXERCICE II I. Étude dune suite vériant une relation de récurrence linéaire Étant donné un paramètre réel >0, on noteElespace vectoriel des suitesU= (un)n>0de réels qui vérient, pour tout n positif, la relation
u=(u+u) n+2n+1n n n 1. Montrerquon peut trouver deux réelsrets, avecr < s, tels que les suitesR= (r)n>0etS= (s)n>0 forment une base de lespace vectorielE:Exprimerretsen fonction deet comparerjrjetjsj: 2 2. Étantdonné un élémentU= (un)n>0deEsécrivantU=aR+bSavec(a; b)2R, donner lexpression de aetben fonction deu0etu1: 1 3. Onsuppose, dans cette question, que lon a0< a <: 2 SoitU= (un)n>0un élément deE. (a) Montrerque la suiteUconverge vers0. (b) Siu1u0rnest pas nul, montrer quil existe un indicen0tel que, pourn > n0,unne sannule pas et garde un signe constant et que lon a : lnjuj n lim =ln(s) n n!+1 (c) Montrerque si, au contraire,u1u0rest nul et si la suite(un)n>0nest pas identiquement nulle, alors, pour tout entiernpositif,unetun+lsont de signes contraires.Quel équivalent peut-on donner, dans ce cas, delnjunj? 1 4. Onsuppose, dans cette question, que lon a< a: 2 À quelle condition suruetulélémentU= (u)deEMontrer que les élémentsest-il une suite bornée ? 0 1n n>0 de E qui sont des suites bornées forment un sous-espace vectoriel de E dont on précisera la dimension.
II. Étude dune récurrence non linéaire Soitun réel strictement positif.On notem= min(l; )le plus petit des nombres1etetM= max(l; )le plus grand de ces nombres. On considère la suiteV= (vn)n>0vériantv0= 0,v1=et, pour toutnpositif, la relation p p v=v+v n+2n+1n 1. Montrer,pour toutnstrictement positif, linégalitém6vn64M: 2. Montrerque si la suiteV= (vn)n>0admet une limite, cette limite est nécessairement égale à4. On se propose de montrer que, pour toutstrictement positif, la suiteVadmet e¤ectivement pour limite 4. 3. Montrer,pour toutnpositif, linégalité jv4j jv4j n+1n jvn+24j6p+p vn+1+ 2vn+ 2 1 4. Onpose=pet on considère la suite U = (un)n>0vériant la relation de récurrence linéaire m+ 2 un+2=(un+1+un) et les conditions initiales,u0=jv14jetu1=jv24j. Montrer que, pour tout n strictement positifjvn4j6un1.
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5. Enconclusion, montrer à laide des résultats de la première partie que la suiteVconverge vers4. 6. Écrireun programme Turbo-Pascal qui lise un entierNet un réelet qui a¢ che, en sortie, lesNpremiers termes de la suiteV.
EXERCICE III Sachant quun appareil a fonctionné correctement pendant une certaine durée x, on sintéresse à la probabilité pour quil continue à bien fonctionner pendant encore au moins une durée y.Pour cela on convient de représenter la durée de vie de ce type dappareil par une variable aléatoire réelleXdénie sur un espace probabilisé dont on notera la probabilité P. Lexercice a pour objet létude de quelques fonctions liées à cette durée de vie.
I.   On suppose dabord queXprend ses valeurs dansNet que, pour toutndeN,P(X=n)Onnest pas nul. pose; pour toutndeN, 1 X p n pn=P(X=n); Gn=P(X>n) =pketZn= G n k=n 1. Justierles inégalités0< pn< Gn61et0< Zn<1. 2. SoitnÉtablir légalitéun entier naturel.P(X>n+ 1=X>n) = 1Zn. (a) Montrerque la suite(P(X>n+ 1=X>n)).est constante si et seulement si la s n2Nuite(Zn)n2N   est constante. (b) Vérierque les conditions précédentes sont réalisées dans le cas où la loi deXest une loi géométrique. (c) Réciproquement,on suppose quil existe une constante p appartenant à]0;1[telle que la suite(Z) n n2N soit la suite constante égale àp. Montrerpar récurrence queXsuit une loi géométrique.   pn+m lors la suite( ) 3. Montrerque si, pour tout entiermdeN, la suiteest décroissante, aZn n2N pnn2N est croissante et la suite(P(X>n+ 1=X>n))est décroissante.(On dit alors quil y a vieillissement n2N de lappareil dontXest la durée de vie.)
II. On suppose maintenant que la variable aléatoireXprend ses valeurs dansR*+et admet une densité f continue et strictement positive surR, On pose, pour tout réel strictement positifx, + +1 Z f(x) G(x) =f(t)dtetZ(x) = G(x) x G(x+y) 1. (a)Si x et y sont des réels strictement positifs, on poseH(x; y) =. G(x) Montrer que lon a alors, pour tout couple(x; y)deR, légalité : + @H G(x+y) (x; y) =(Z(x)Z(x+y)) @x G(x) (b) Montrerque la fonctionx!Z(x)est une fonction croissante surRsi et seulement si, pour tout réel + ystrictement positif xé, la fonctionx!P(X>x+y=X>x)est une fonction décroissante. 2. (a)Montrer que si la loi deXest une loi exponentielle, alors la fonctionZest constante. (b) Réciproquement,montrer que siZest la fonction constante égale au réel strictement positif, alors la x fonctionx!e G(x)Quelle est alors la loi deest constante.X?
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