Escp eap 2001 mathematiques i classe prepa hec (ecs) mathematiques i 2001 classe prepa hec (ecs)

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E.S.C.P. - E.A.P. 2001, math 1, option scientifique.L’objetduprobl`emeestl’´etude,danscertainscas,dessous-espacesstablesparunendomorphismed’un espace vectoriel.Dans tout le probl`eme, on consid`ere un entier natureln non nul et on noteE leR-espace vectorielnR . On note 0 le vecteur nul de E et Id l’endomorphisme identit´e de E. On dira qu’un sous-E Eespace vectoriel F de E est stable par un endomorphisme f de E (ou que f laisse stable F) sil’inclusion f(F)⊂F est v´erifi´ee.On observera que le sous-espace vectoriel r´eduit a` {0 } et E lui-mˆeme sont stables par toutEendomorphisme de E.On noteR[X] l’espace vectoriel des polynomeˆ s a` coefficients r´eels et, pour tout entier naturel k,on noteR [X] le sous-espace vectoriel form´e par les ´el´ements deR[X] qui sont de degr´e inf´erieurkou ´egal `a k.0 1 2 3Si f est un endomorphisme de E on pose f =Id , f =f, f =f ◦f, f =f ◦f ◦f, etc.EnXkSi f est un endomorphisme de E et si P = a X est un ´el´ement deR[X], on rappelle qu’onkk=0nXknote P(f) l’endomorphisme de E ´egal a` P(f) = a f .kk=0Partie I : Pr´eliminairesSoit f un endomorphisme de E.1) Soit P un ´el´ement deR[X]. Montrer que le sous-espace vectoriel KerP(f) est stable par f.2)a)Montrer que les droites de E stables par f sont exactement celles qui sont engendr´ees parun vecteur propre de l’endomorphisme f.3 3b)On note B = (e ,e ,e ) la base canonique deR et on consid`ere l’endomorphisme g deR1 2 3dont la matrice dans la base B est 1 1 0 B = ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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E.S.C.P. - E.A.P. 2001, math 1, option scientifique.
Lobjetduprobl`emeestl´etude,danscertainscas,dessous-espacesstablesparunendomorphisme d’un espace vectoriel. Danstoutleproble`me,onconsid`ereunentiernaturelnnon nul et on noteEleR-espace vectoriel n R. On note 0Ele vecteur nul deEetIdEihpriemstnede´tideenlmodoE. On dira qu’un sous-espace vectorielFdeEest stable par un endomorphismefdeE(ou queflaisse stableF) si l’inclusionf(F)F.eese´etv´ri Onobserveraquelesous-espacevectorielre´duita`{0E}etEabstntsomeˆe-muilturaotelps endomorphisme deE. On noteR[Xoeacs`mesrntiec,teslee´tuotruop]leevecspacleedotirnyoˆpsloentiernaturelk, on noteRk[Xsp-eevactoecelrimrofape´selr´le´stedmene]elossuR[Xuqsi]rueirnf´er´eiedegontd oue´gala`k. 0 12 3 Sifest un endomorphisme deEon posef=IdE,f=f,f=ff,f=fff, etc. n X k Sifest un endomorphisme deEet siP=akXtseme´le´nueentdR[X], on rappelle qu’on k=0 n X k noteP(f´Eedlagea`e)lomndphormeisP(f) =akf. k=0
PartieI:Pr´eliminaires
Soitfun endomorphisme deE. 1)SoitPundtemenee´´lR[X]. Montrer que le sous-espace vectoriel KerP(f) est stable parf. 2)a)Montrer que les droites deEstables parfsontectleelqsaxtcmenendgeeer´souienntraps un vecteur propre de l’endomorphismef. 3 3 b)On noteB= (e1, e2, e3) la base canonique deRcnnois`dreleednoomtoerphismegdeR dont la matrice dans la baseBest   1 1 0   B1 0= 0 0 0 2 3 De´terminer(enendonnantunebase)lesdroitesdeRstables parg. 3)Soitpun entier naturel non nul. a)SiF1, . . . , Fpsontpsous-espaces vectoriels deEstables parf, montrer qu’alors la somme p X Fkest un sous-espace vectoriel stable parf. k=1 b)Siλ1, . . . , λpsontpvaleurs propres defet sin1, . . . , npsontpentiers naturels montrer p X nk qu’alors la sommeKer(fλkIdE) eststable parf. k=1 4)a)Soitaleuerqeri´e.Velcevsecapse-suossetorielsdrne´uEstables par un endomorphisme fsont exactement ceux qui sont stables par l’endomorphismefλIdE. b)Quel lien y-a-t-il entre les sous-espaces vectoriels stables par un endomorphismefet ceux 2 qui sont stables par l’endomorphismef? c)Quel lien y-a-t-il entre les sous-espaces vectoriels stables par un automorphismefet ceux 1 qui sont stables par l’endomorphismef? d)Que dire d’un endomorphisme deElaissant stable tout sous-espace vectoriel deE? 2 e)Donner un exemple d’endomorphisme deRne laissant stable que le sous-espace vectoriel 2 r´eduitauvecteurnuletlespaceR. 5)a)e´ialenireruslequppelformunearnOEeriae´niseedplapnetunlioaticEdansRet qu’un hyperplan deEest un sous-espace vectoriel deEde dimensionn1.
Montrer que les hyperplans deEllunsereaionsnslme´einuadxferotnelnsyoexactemesont surE.Ouopnabenunenedesdunbaserplahypemolprrcaurene´etE. b)Soitϕneuinelrmfore´iaeronnnluelusEetH= Kerϕ. i.Montrer que l’hyperplanHest stable parfntiitsenemulseetsieme´le´nuetsixelλde Rantleriv´e´:lati´geϕf=λϕ. ii.On noteAla matrice defbasecanoment`alaalerevitinuqdeeEetLla matrice (ligne) deϕrelativement aux bases canoniques deEetR. Montrer que l’hyperplanHest stable parfnestiielixtsuern´eelsiseetemulλv´eriant t tt le´galit´eA L=λ L. 3 c)nenennodutnaaben)lseplessdaneD´eterminer(Rstables par l’endomorphismegnid´e a`laquestion2).
PartieII:Lecasou`lendomorphismeestdiagonalisable
Danscettepartie,onconside`reunendomorphismefdeEdiagonalisable et on noteλ1, . . . , λp ses valeurs propres distinctes etE1, . . . , Eples sous-espaces propres correspondants. 1)Que dire des sous-espaces vectoriels deEstables parfsip= 1 ? 2)On suppose l’entierpirleacevectosous-espe`dinuernO.2snocegs´`aalauinmoFdeEstable parfteneml´´eunetxdeF. p Y a)(emtnlee´uq´enuniedutencexislreitsuJx1, x2, . . . , xp) deEk:e´tilag´erivl´eant k=1 p X x=xk. k=1 p X b)Montrer que le vecteur(λkλ1)xkedtest´el´emenF. k=1 c)Montrer que les vecteursx1, . . . , xpsont tous dansF. 3)deleudriDe´´eecr´npiostueaq-suosseleuqetnedectorielespacesvdseEstables parfsont p X exactement les sous-espaces vectoriels de la formeFko`tourpou,itretuneksntleirave´ k=1 in´egalit´es1kp,Fkest un sous-espace vectoriel deEk. 4)Montrer que l’endomorphisme induit parfsur l’un de ses sous-espaces vectoriels stablesF est un endomorphisme diagonalisable deF. 5)nnoDetensutslrusaesctenspeearsoraitrdoiptrieosndne´vearluenuercsopnfpour que Esopde`sniesodenneubromtcroseevpscasue-arlespstabielsf. Quel est alors ce nombre ?
PartieIII:Lecaso`ulendomorphismeestnilpotentdordren
1)On noteDl’endomorphisme deRn1[Xui`a]qopylottueˆnmoPonescisoomnˆlypo´vire´desae 0 P. n n1 a)e´iVreuqreDest l’endomorphisme nul et queDne l’est pas. b)erierquV´delsieorctvesecapse-suosseleRn1[X] stables parDsont, en dehors du sous-espacevectorielre´duitaupolynoˆmenul,lesnsous-espaces vectoriels suivants : R0[X],R1[X], . . . ,Rn1[X]. 2)On note0l’endomorphisme nul deEernudie`ocsntenoehismmorpendofdeEnilpotent n n1 d’ordrenltseocdn´vreinaitions:redia--`ste,cf=0etf6=0. 2
´ a)Etablir qu’il existe une baseB= (e1, e2, . . . , en) deEdans laquelle la matriceAdefest   0 10. . .0 . . 0 01 .. . . . . . . A=.. . .0   . ... 0 1 0. . .. . .0 0 Aest donc la matrice dont le coefficient de la ligneiet de la colonnej(1in,1jn) vaut 1 sij=iet 0 sinon.+ 1 b)Montrer que la matriceAsembestecirtamala`elbalBsuivante   0 10. . .0 . . 0 02 .. . . . . . . B= .. . . 0   . ... 0n1 0. . .. . .0 0 Best donc la matrice dont le coefficient de la ligneiet de la colonnej(1in,1jn) vautisij=iet 0 sinon.+ 1 c)antnnubee(endnnoous-espaase)lessedsleirotcevsecrmteerin´eDEstables parf.
PartieIV:Lecasou`lendomorphismeestnilpotentdordre2 Danscettepartieonconsid`ereunendomorphismefdeEintdenotlp2crerdoida`tsenuer endomorphisme non nul deEtel queffest l’endomorphisme nul. 1)ereusid`nconOlieortcevecapse-suosnF2deEierv´natF2Kerf={0E}. a)Justifier l’inclusion :f(F2)Kerf. b)tcroeceveilsunsepluespaous-d`siederOonncF1de Kerfcontenantf(F2). Montrer que la sommeF1+F2est directe et que c’est un sous-espace vectoriel deEstable parf. ´ c)e´nnodtnatEA,B,Ctrois sous-espaces vectoriels deEoisu:ninclirltabl,´e (AC) + (BC)(A+B)C A-t-onne´cessairementl´egalite´? d)rlnemierseernti(noDi´tectF1+F2)Kerf. 2)ounsess-cepactveeirolR´ecquemiprocnnoneotreueis`dFdeEstable parf. On pose F1=FKerfnseus-oupaesvecerotcleieotcnnois`dreF2mentairedepuse´lpF1dans F. V´erierlinclusionf(F)Kerfet prouver que l’intersectionF2Kerfdeiuts´reetua vecteur nul. 4 3) Danscette question, on suppose que l’entiern`a4(i.e.est´egalE=R`disnocnote)eer 4 l’endomorphismehdeEdont la matrice dans la base canoniqueB= (e1, e2, e3, e4) deR est la matriceMsuivante   1 1 0 0 0 1 0 0M=  0 0 2 1 0 0 0 2 2 2 a)seosuqlepscasue-ierV´erorctveeslsieG1= Ker(hId) etG2= Ker(h2Id) sont suppl´ementaires. b)Montrer que les sous-espaces vectoriels stables parhsont exactement les sommesH1+H2 ou`H1(resp.H2) est un sous-espace vectoriel deG1(resp.G2) stable parh. c)elsde´eteDree(mrninoanendnunntaseblee)oussse-secapcevsirotEstables parh. 3
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