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Concours ESCP 2001 option
´
economique
Mathematiques III
Exercice 1
A.
On consid`ere la matrice
d´efinie par:
et on note
l’endomorphisme de
repr´esent´
e
p
a
r
dans la base canonique.
1. a)
Montrer que
admet les valeurs propres 1 et 2 et n’en admet pas d’autre.
D´eterminer les sous-espaces propres
et
associ´es `a ces valeurs propres
b)
La matrice
est-elle diagonalisable?
2.
Soit
un vecteur propre de
associ´
e
`a la valeur propre 1. Trouver un vecteur
de
tel
que
.
3.
Soit
un vecteur propre de
associ´
e
`a la valeur propre 2. Montrer que la famille
est une base de
.
4.
D´eterminer la matrice
repr´esentant l’endomorphisme
dans la base
ainsi qu’une
matrice inversible
telle qu’on ait l’´egalit´e
.
B.
´
Etant donn´ees les matrices
on associe `a tout ´el´ement
de
la matrice
d´efinie par:
On note
l’ensemble des matrices
o`u
d´ecrit
.
1.
Montrer que
est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel
des matrices carr´ees
d’ordre 3 et d´eterminer sa dimension.
2.
V´erifier que la matrice
d´efinie en A.4 appartient `a
.
3.
Pr´eciser les conditions que doivent v´erifier
pour que
soit inversible. D´eterminer,
quand elle existe, sa matrice inverse.
4.
D´eterminer les valeurs propres de
.
Montrer que cette matrice est diagonalisable si et seulement si
est nul.
1
Exercice 2
A.
On consid`ere la fonction
de deux variables r´eelles d´efinie, pour tout
et
strictement positifs,
par:
1.
Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 et 2 de la fonction
.
2.
Rechercher les extrema ´eventuels de la fonction
dans le domaine
.
B.
On consid`ere maintenant la fonction
d´efinie, pour tout
strictement positif, par:
1.
´
Etudier les variations de
. Montrer que c’est une fonction convexe. Donner sa repr´esentation
graphique.
2. a)
Calculer une primitive de la fonction
sur l’intervalle
.
b)
En d´eduire que l’int´egrale
d
existe et calculer sa valeur.
3.
Soit
un entier sup´erieur ou ´egal `a 2. On pose
.
a)
´
Etablir, pour tout entier
v´erifiant
,
l
e
s
i
n
´egalit´es:
d
b)
En d´eduire l’encadrement:
d
d
c)
Montrer les in´egalit´es:
d
4.
On consid`ere la suite
d´efinie pr´ec´edemment. Montrer que cette suite converge et
d´eterminer sa limite.
5.
On rappelle que, pour tout entier naturel non nul, on a l’´egalit´e
.
a)
Exprimer, pour tout entier naturel non nul, la somme
en fonction de
.
b)
En d´eduire la limite:
.
2
Exercice 3
A. Pr
´
eliminaire
Montrer, pour tout entier naturel non nul
,
l
´egalit´e:
.
B.
Soit
un entier sup´erieur ou ´egal `
a
2
.
Une urne contioent
boules dont
sont blanches et 2 sont noires. On tire au hasard, suc-
cessivement et
sans remise
,
l
e
s
boules de cette urne.
Les tirages ´etant num´erot´es de 1 `a
, on note
la variable al´eatoire ´egale au num´ero du tirage
qui a fourni, pour la premi`ere fois, une boule noire et
la variable al´eatoire ´egale au num´ero du
tirage qui a fourni, pour la deuxi`eme fois, une boule noire.
1.
Pr´eciser l’espace probabilis´e
que l’on peut utiliser pour mod´eliser cette exp´erience
al´eaoire.
2.
Soit
et
deux entiers de l’intervale
. Montrer que l’on a:
si
si
3.
D´eterminer les lois de probabilit´e des variables
et
. Ces variables sont-elles ind´ependantes?
4. a)
D´emontrer que la variable
a
m
ˆeme loi que
.
b)
D´eterminer la loi de la variable
et la comparer `a celle de
.
5.
`
A
l
a
i
d
e
d
e
s
r
´esultats de la question
4
:
a)
Calculer les esp´erances
et
.
b)
Montrer l’´egalit´e des variances
et
.
c)
´
Etablir la relation:
o`u
d´esigne la covariance des vari-
ables
et
.
6.
Calculer
;
e
n
d
´eduire
et
.
C.
Dans cette partie,
d´esigne encore un entier sup´erieur ou ´egal `a deux.
1.
On consid`ere le programme Turbo-Pascal suivant, o`u
RANDOM(10)
d´esigne un nombre en-
tier tir´e au hasard par l’ordinateur dans l’intervalle
(la proc´edure
RANDOMIZE
sert `a
initialiser la fonction
RANDOM
):
PROGRAM Tirage;
VAR
a,b,c:INTEGER;
BEGIN
RANDOMIZE;
a:= RANDOM(10)+1;
b:= RANDOM(10)+1;
IF a>b THEN
BEGIN
3