Escp eap 2002 mathematiques ii classe prepa hec (ecs) mathematiques ii 2002 classe prepa hec (ecs)

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6CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIAnnØe 2002La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.On appelle durØe de vie d un composant Ølectronique la durØe de fonctionnement de ce composant jusqu’à sapremiŁre panne Øventuelle. On considŁre un composant Ølectronique dont la durØe de vie est modØlisØe par unevariable alØatoire T dØ…nie sur un espcae probabilisØ ( ;B;P); à valeurs dansR :+Si F est la fonction de rØpartition de cette variable alØatoire, on appelle loi de survie du composant la fonction DdØ…nie surR par :+8t2R ; D(t) = 1 F(t):+Le problŁme se compose de deux parties pouvant Œtre traitØes indØpendamment.Partie 1 : Cas discretOn suppose dans cette partie que T est une variable alØatoire à valeurs dans N qui vØri e, pour tout entiernaturel n;D(n) = 0:A. Coe¢ cient d’avarieLe composant est mis en ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 2002
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
On appelledurée de viedun composant électronique la durée de fonctionnement de ce composant jusquà sa première panne éventuelle.On considère un composant électronique dont la durée de vie est modélisée par une variable aléatoireTdénie sur un espcae probabilisé(;B; P);à valeurs dansR+: SiFest la fonction de répartition de cette variable aléatoire, on appelleloi de surviedu composant la fonctionD dénie surR+par : 8t2R+; D(t) = 1F(t): Le problème se compose de deux parties pouvant être traitées indépendamment.
Partie 1 :Cas discret
On suppose dans cette partie queTest une variable aléatoire à valeurs dansNqui vérie, pour tout entier natureln; D(n)6= 0:
A. Coe¢ cient davarie
Le composant est mis en service à linstantt= 0:Pour tout entier naturelnnon nul, on appellecoe¢ cient davarieà linstantndu composant, la probabilité quil tombe en panne à linstantn;sachant quil fonctionne encore à linstantn1;cest-à-dire le nombrendéni par légalité :
n=P([T=n]=[T >n1]):
1. Exprimer,pour tout entier naturel non nuln;la probabilitéP([T=n])à laide de la fonctionD: En déduire légalité : D(n1)D(n) n=: D(n1)
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2. Onsuppose quepest un réel de lintervalle]0; 1[et queTsuit la loi géométrique de paramètrep: (a) Quelleest lespérance de la variable aléatoireT? (b) Calculer,pour tout entier naturelnnon nul,D(n)en fonction den: (c) Endéduire, pour tout entier naturel non nul, légalité:n=p: 3. Réciproquement,on suppose dans cette question quil existe un réel strictement positiftel que lon a :8n2N; n=: (a) Etablir,pour tout entier naturel non nuln;légalité:D(n) = (1):D(n1): (b) Endéduire queTsuit une loi géométrique et préciser son paramètre. B. Nombres de pannes successives dans le cas dune loi géométrique Un premier composant est mis en service à linstant0et, quand il tombe en panne, est remplacé instanta-nément par un composant identique qui sera remplacé à son tour à linstant de sa première panne dans les mêmes conditions, et ainsi de suite. On suppose à nouveau, dans cette partie, quepest un réel de lintervalle]0; 1[et queTsuit la loi géométrique de paramètrepet que, pour tout entier strictement positifi;la durée de vie dui-ème composant est une variable aléatoireTidénie sur(;B; P);de même loi queT: Les variables aléatoiresTisont supposées mutuellement indépendantes et, pour tout entier naturelknon k P nul, on pose:Sk=Ti: i=1 (Skdésigne donc linstant où se produit lak-ème panne et lek-ème remplacement.) 1. SoitmDémontrer par récurrence surun entier naturel.n;pour tout entier naturelnvériantn>m; n P m m+1 légalité:C=C : j n+1 j=m (a) Déterminerla loi de la variable aléatoireS2égale àT1+T2: (b) Montrerpar récurrence que, pour tout entier naturel non nulk;la loi deSkest donnée par : k1k nk 8n>k; P([Sk=n]) =C p(1p): n1 2. Ondispose en PASCAL de la fonction "RANDOM" qui retourne un nombre de type "REAL" choisi au hasard dans lintervalle[0; 1[:Ainsi, sipest la probabilité de panne du composant à un instant donné, en faisant appel à la fonction "RANDOM", on obtient une simulation informatique de cette panne dans le cas où le nombre retourné par cette fonction est strictement inférieur àp: (a) Ecrireune fonction en PASCAL den-tête "FUNCTION NbP(p :REAL;n :INTEGER) : INTEGER;"
qui connaissant le nombre réelpet un nombre entier strictement positifn;simule lexpérience et retourne le nombre de pannes survenues jusquà linstantn: (b) Ecrireune procédure PASCAL den-tête
"PROCEDURE Arret(p :REAL; r :INTEGER);"
qui, connaissant le nombre réelpet un entier strictement positifr;simule lexpérience en larrêtant dès que le nombre de panne atteintret a¢ che la valeur de linstantnoù larrêt sest produit. 3. SoitnOn noteun entier strictement positif.Unla variable aléatoire désignant le nombre de pannes (et donc de remplacements) survenues jusquà linstantninclus. n (a) EtablirlégalitéP([Un= 0]) = (1p)et calculerP([Un=n]): (b) Exprimer,pour tout entier naturel non nulk;lévènement[Un>k]à laide dun évènement faisant intervenir la variable aléatoireSk:
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(c) Endéduire queUnloi la loi binomiale de paramètresnetp: 1 4. Danscette question, le nombrepest égal à: 200 On considère alors un appareillage électronique utilisant simultanément1000composants identiques fonctionnant indépendamment les uns des autres et dont la durée de vie suit la même loi queT:A chaque instant, les composants en panne sont remplacés par des composants identiques comme précédemment. (a) Préciserla loi de la variableUdésignant le nombre total de remplacements de composants e¤ectués jusquà linstantnégal à100inclus. (b) Ondésire quavec une probabilité de0;95;sant jusquàle stock de composants de rechange soit su¢ linstantnégal à100combien peut-on évaluer ce stock ?inclus. A r 995 On donne :'22;3;et, en désignant parla fonction de répartition de la variable aléatoire 2 normale centrée réduite,(1;65)'0;95:
Partie 2 :Cas continu
;continue su On suppose dans cette partie queTest une variable aléatoire de densitéfnulle surRrR+et strictement positive surR:
A. Loi de survie et coe¢ cient davarie
Pour tout réeltpositif, on appellecoe¢ cient davarieà linstanttle nombre(t)déni par :
f(t) (t) =: D(t)
1. Soittun réel positif. Pour tout réel strictement positifh;on noteq(t; h)la probabilité que le composant tombe en panne entre les instantstett+hsachant quil fonctionne encore à linstantt;cest-à-dire le nombreq(t; h) déni par : q(t; h) =P(T2]t; t+h]=[tT >]): D(t)D(t+h) (a) Etablirpour tout réelhstrictement positif, légalité :q(t; h) =: D(t) (b) Montrerque la fonctionDest dérivable surR+et préciser sa fonction dérivée. q(t; h) (c) Montrerque le rapporta pour limite(t)quandhtend vers0par valeurs supérieures. h 2. Onsuppose, dans cette question, queest un réel strictement positif et suit la loi exponentielle de paramètre: (a) Détermineralors la loi de survie du composant et donner lallure de sa courbe représentative. 1 (b) Etablir,pour tout réeltpositif, légalité(t) =;E(T)désigne lespérance de la variable E(T) aléatoiret: 3. Onsuppose dans cette question que la densitéfde la variable aléatoireTest dénie par : ( 2 t tesit>0 2 f(t) = 0sit <0:
(a) Vérierque la fonctionfainsi dénie possède les propriétés dune densité de probabilité. (b) Justierles égalités : +1+1 Z rZ 2 2 t t 2e dt= =dt:t e 2 2 2 0 0
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(c) Calculerlespérance de la variable aléatoireT: 2 (d) Montrerque la variable aléatoireTsuit une loi exponentielle et préciser son paramètre. En déduire la variance de la variable aléatoireT: (e) Déterminerla loi de survie du composant et donner lallure de sa courbe représentative en précisant 1 la tangente au point dabscisse0et le point dinexion.On donne :e2'0;607: (f) Calculer,pour tout réeltpositif, le coe¢ cient davarie(t): 4. On suppose dans cette question quil existe une constantestrictement positive telle que lon ait : 8t2R+; (t) =: t (a) Pourtout réeltpositif, on pose :g(t) =e D(t):Montrer que la fonctiongest constante surR+: (b) Endéduire queTsuit une loi exponentielle et préciser son paramètre. B. Entretien préventif On désire, dans cette partie, comparer le coût de deux méthodes dentretien. On suppose que la variable aléatoireTadmet une espérance (nécessairement strictement positive) notée E(T)et représentant donc la durée moyenne de fonctionnement dun composant. On considère que la panne dun composant provoque un préjudice de coûtC;et que son remplacement a un coûtK; CetKétant deux constantes strictement positives. Une premire méthode consiste à attendre la panne pour procéder au remplacement.On estime alors que K+C le coût de lentretien du composant par unité de temps est donné par :c1=: E(T) Une deuxième méthode dentretien consiste à se xer un réelstrictement positif et à remplacer le com-posant dès sa panne si elle survient au bout dune durée de fonctionnement inférieure à;sinon à le remplacer préventivement au bout dune duréede fonctionnement. On estime alors que le coût de lentretien du composant par unité de temps est donné en fonction depar : K+ (1D())C c2() =: R D(t)dt 0 1. Alaide dune intégration par partie, établir la formule :   Z Z f(t) D(t)dt=P([T >]):+P([T6]): tdt: F() 0 0 R LintégraleD(t)dtpeut donc sinterpréter comme la durée moyenne de fonctionnement du composant 0 dans la deuxième méthode. 2. Calculerc1et, pour tout réelstrictement,c2()dans le cas oùTsuit la loi exponentielle de paramètre : Montrer qualors la deuxième méthode ne présente pas davantage.Comment peut-on expliquer ce résultat ? 3. Onsuppose queTsuit la loi décrite dans la questionA.3 de laPartie 2. (a) Préciserla valeur dec1et montrer que lon a :limc2() =c1: !+1 2 2 Rt1   (b) Montrerque pout tout réel strictement positif;on pose :'() =dtC e(K+C(1e)): 2 2 0 Montrer que la fonction'est dérivable surRet que sa dérivée est strictement positive. + En déduire le tableau de variation de':
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(c) Etudierles variations de la fonctionc2et montrer quelle admet un minimum en0qui vérie : c()< c: 2 1 r 2K (d) Etablirlégalitéc2() =cC0puis linégalité0<)(1 +:  C (e) Onsuppose, dans cette question, queKetCsont tous deux égaux à1;et on donne : c2(1;5) = 1;5429etc2(1;45) = 1;5439: En déduire un encadrement de0damplitude0;1:
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