Escp eap 2003 mathematiques i classe prepa hec (ecs) mathematiques i 2003 classe prepa hec (ecs)

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ESCP-EAP 2003. math 1, option SDans tout le probl`eme, on consid`ere un entier naturel p sup´erieur ou ´egal a` 2. Pour tout entiernaturel q, on note R [X] (resp. C [X] l’espace vectoriel r´eel (resp. complexe) des polynˆomes a`q qcoefficients r´eels (resp. complexes) de degr´e au plus ´egal `a q. On pourra confondre polynˆome etfonction polynomiale associ´ee.On note S (resp. S ) l’espace vectoriel r´eel (resp. complexe) des suites r´eelles (resp. complexes).R CPr´eliminairep p−1On consid`ere la fonction r´eelle f qui `a tout r´eel x positif ou nul associe f(x) =x −x −1.1)a)Donner le tableau de variation de la fonction f .b)En d´eduire les r´esultats suivants :• la fonction f s’annule une seule fois en un r´eel not´e C qui est strictement sup´erieur a` 1.• pour tout r´eel x positif ou nul, le r´eel f(x) est strictement positif si et seulement si x eststrictement sup´erieur `a C.32) Dans le cas particulier ou` l’entier p est ´egal `a 4, comparer C et .2Partie IOn rappelle que sia est un nombre complexe etQ(X) un polynˆome a` coefficients complexes alorsle polynˆome Q(X) est divisible par X −a si et seulement si le complexe Q(a) est nul.1) Soit a un nombre complexe, n un entier naturel au moins ´egal a` 2 et P(X) un polynˆome `anXkcoefficients complexes de degr´e n s’´ecrivant P(X) = α X .kk=0n k−1 X Xk−i−1 i´a) Etablir l’´egalit´e : P(X)−P(a) = (X −a)Q(X) ou` Q(X) = α a X .kk=1 i=02b) En d´eduire que le polynˆome P(X)−P(a) est divisible par (X −a) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESCP-EAP 2003. math 1, option S
Danstoutleprobl`eme,onconsid`ereunentiernaturelpup´esor´uiruea`.2gelauttourPoertien naturelq, on noteRq[X] (resp.Cq[Xl]eatorielr´spacevecmoc.xelp(leepserˆoyns`medee)olsp coecientsre´els(resp.complexes)dedegre´auplus´egal`aqteemrnfaucrodprooOnnol.epˆoyn fonctionpolynomialeassoci´ee. On noteSR(resp.SC.elpm)sexlee´rleioc.pser(paesl)orctvecellse´ree.pocr(sexe)dmpleitesessu Pr´eliminaire p p1 Onconsid`erelafonctionr´eellefatoutr´equi`lexpositif ou nul associef(x) =xx1. 1)a)Donner le tableau de variation de la fonctionf. b)taulesr´anivsuts:stdne´Eleseudri la fonctionfesannuleuneseulefioesunrne´leon´tCqustieristemctstnee´puueir1a`r. eeltu´rruotopxlee´,lerunultifoposif(x) est strictement positif si et seulement sixest strictementsup´erieura`C. 3 2)Dlsnaulicroieasecrtpatienl`uerpc,4a`lagrerapmo´esteCet . 2 Partie I On rappelle que siaest un nombre complexe etQ(Xelexasolsr`acoecientscomppnu)nyloemoˆ lepolynoˆmeQ(X) est divisible parXasi et seulement si le complexeQ(a) est nul. 1)Soitaun nombre complexe,nenunertigal`a2etmuiosne´anuteralP(Xa)unpolynˆome` n X k coecientscomplexesdedegr´enriecntva´sP(X) =αkX. k=0 n k1   X X ki1i ´ a)egalrl´abliEt:tie´P(X)P(a) = (Xa)Q(Xuo`)Q(X) =αka X. k=1i=0 2 b)emoEdne´duirequelepolynˆP(X)P(a) est divisible par (Xa) siet seulement si le n X k1 nombre complexekaest nul. k=1 ` c)Aqonecllueletnmonesteeasuesecirsatidin´onexebrecomplaest-il racine au moins double dupolynˆomeP(X) ? p p1 2)uqrertnoMˆomeolynelepXX1 apracines simples dansCet qu’elles sont toutes nonnulles.Cesracinesserontnot´eesZ1, Z2, . . . , Zpavec la convention queZpgelase´ta`C. ´ 3)a)Etablir, pour tout couple (x, y:´eitalegn´ideno)sel,lpxecsmobmer|x| − |y|6|xy|. Quand a-t-onl´egalit´e? ´ b)Etablir, pour tout entierktel que 16k6p:eil´tnilage´,|Zk|6C. c)Montrer que sikest un entier tel que 16k6peg´,l´eital|Zk|=Cn’a lieu que sikest´egal `ap. p 4)Soitθl’application deCp1[X] dansCexelpmocemˆoynoltpouati`quP(Xed)´eaudegr   p plus´egal`aple´osic1sa´eelntmeZ1P(Z1), Z2P(Z2), . . . , ZpP(Zp) deC. a)Montrer que l’applicationθest un isomorphisme. p b)ent(l´emuiedd´En,eoperuqtue´ruotu1, u2, . . . , up) deCunteiqun´eueeml´netli,sixe p (λ1, λ2, . . . , λp) deCv´eriant λ1Z1+λ2Z2+∙ ∙ ∙+λpZp=u1 2 22 λ Z+λ Z+∙ ∙ ∙+ 1 12 2λpZp=u2 . .. . pp p λ Z+λ Z+u 1 12 2∙ ∙ ∙+λpZp=p
5)On noteFl’espace vectoriel complexe des suites complexesu= (un)nNruo´evairp,tn tout entiernrictemenstue`rastpue´irptilage´l,e´un=un1+unp. Autrement dit, on a :
F={(un)nN∈ SC;un > pn=un1+unp} a)quere´VireFest un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel complexe des suites complexes. b)Montrer que, pour tout entierkis´ntneltie´gelas1´evari6k6pirte´moeeuq,lteg´asui n (Z)nNdet´esntme´eelF. k c)Soitu= (un)nNenemetdiuete´´lnuseFet soit (λ1, λ2, . . . , λpdusytionsoluique)nulemtse` λ1Z1+λ2Z2+∙ ∙ ∙+λpZp=u1 2 22 λ Z+λ 1 12Z+∙ ∙ ∙+λpZp=u2 2
. .. . p p p λ1Z+λ2Z+∙ ∙ ∙+λpZ=up 1 2p p X n lasuitecomplexedetermege´n´eλ On notev= (vn)nNralvn=kZk. k=1 Montrer que les suitesuetvntsoga´e.sel   n nn d)(Montrer queZ) )est une base deF. 1nN,(Z2nN, . . . ,(Z)nN ∗ ∗p Partie II 1)Pour tout entier naturelqecritladpiael`pocsno,iΦnnoqdeRq[Xota`iuqetudans]mˆemlui-  polynˆomeA(X) deRq[Xosiclepelonyoˆem:Φas]qA(X) =A(X)A(X1)A(Xp). Montrer que l’application Φqest un automorphisme deRq[X]. 2)SoitQ(XOnnotesr´eels.lypoun)tneiceoca`emoˆnEQl’ensemble des suites complexes u= (un)nNtuiorter,utnoaprei´tvnenmeteictrerp´sunta`eirusp,t´e:agille´ un=un1+unp+Q(n). Autrement dit, on a : EQ={(un)nN∈ SC;un > pn=un1+unp+Q(n)} a)oˆnylopeuqinunuestxileiquertrone´n,toeesltsr´ciencoeme`aMA0(X), tel que la suite   A0(n)´tsee´lementdeEQ. nN b)Prouver qu’une suite complexeu= (un)nNentdeest´el´emEQsi et seulement si la suite   unA0(n)`tlaitneppraarielectoacevespFeuqalsnadine´dniostI-5). nN c)eduirequepourtouedt´uEsnti(eun)nN´eelntmede´EQ(le,itsix´nuee´letnemα1, α2, . . . , αp) p deCtel que, pour tout entier naturelnnno,lunnoel´atgie´l:a n nn n u=α Z+α Z+∙ ∙ ∙+α Zα C+A n2 21 1p1p1+p0(n). d)Soit (un)nNune suiteellee´rme´le´etdenEQ,soisqueentec´edrpe´oisneutsedqsreuiedD´.t n ilexisteunr´eelαnon nul tel queunαC, soit la suite (un)nNets´ngeildeleabgelantva n n suite (C)nNdire-`a-tsecun= o(C). 3)SoitQ(Xicneocepenmal`onyuo)ˆote.Onneelstsr´IQussedelbmesneleslleer´esit u= (un)nNreina,t´ventierpourtoutnustnre´pcirtemetsurie`ape:lit´inlga´e, un6un1+unp+Q(n). Autrement dit, on a : IQ={(un)nN∈ SR;un > pn6un1+unp+Q(n)} a)Soit (wn)nNitsu´eerleell´´enemeedtuenFa`temrseetstrictement positifs. Pour tout r´eelaet tout entier naturelnnon nul, on poseva,n=awn+A0(n) et on notevala suite (va,n)nN. 2
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