Escp eap 2003 mathematiques iii classe prepa hec (ecs) mathematiques iii 2003 classe prepa hec (ecs)

Publié par

ESCP-EAP´OPTION ECONOMIQUE´MATHEMATIQUES IIIJeudi 15 mai 2003, de 8h `a 12h.La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICESoit a, b deux entiers naturels non nuls et s leur somme.Une urne contient initialement a boules noires et b boules blanches indiscernables au toucher.On effectue dans cette urne une suite infinie de tirages au hasard d’une boule selon le protocole suivant :– si la boule tir´ee est blanche, elle est remise dans l’urne;– si la boule tir´ee est noire, elle est remplac´ee dans l’urne par une boule blanche prise dans une r´eserveannexe.Avant chaque tirage, l’urne contient donc toujours s boules.On d´esigne par (Ω,B,P) un espace probabilis´e qui mod´elise cette exp´erience et, pour tout entier naturel nnon nul, on note :– B l’´ev´enement « la n-i`eme boule tir´ee est blanche»;n– X la variable al´eatoire d´esignant le nombre de boules blanches tir´ees au cours des n premiers tirages;n– u l’esp´erance de la variable al´eatoire X , c’est-`a-dire u =E(X ).n n n n´1. Etude d’un ensemble de suitesSoit A ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 448
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins
ESCP-EAP
´ OPTION ECONOMIQUE
´ MATHEMATIQUES III
Jeudi15mai2003,de8ha`12h.
Lapr´esentation,lalisibilit´e,lorthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautoris´ee.
EXERCICE Soita, bdeux entiers naturels non nuls etsleur somme. Une urne contient initialementaboules noires etbboules blanches indiscernables au toucher. On effectue dans cette urne une suite infinie de tirages au hasard d’une boule selon le protocole suivant : silabouletire´eestblanche,elleestremisedanslurne; silabouletire´eestnoire,elleestremplace´edanslurneparunebouleblancheprisedansuner´eserve annexe. Avant chaque tirage, l’urne contient donc toujourssboules. Onde´signepar(Ω,B,Pecetelismod´equiil´sabibpeorpscane)uuterltiennaerurpouttocnei,teexeetre´pn non nul, on note : Bn´ev´enementl«lan-i`emeboecheetslbnaluterie´»; Xnredenombntleignaseitnahcselboblusdersouucsaeer´valaabrieriose´dlaeltae´npremiers tirages; unlepse´arcndeelavariableal´earioteXnir-d,eseca`-tun=E(Xn). ´ 1. Etuded’un ensemble de suites SoitAl’ensemble des suites (xn)n>1enit:euli´seqeerrv´d nNx, sn+1= (s1)xn+b+n a) Soitαetβes(tduerxe´levn)n>1:rapien´eeditsulanN, vn=α n+β. De´terminerenfonctiondebet desles valeurs deαetβpour que la suite (vn)n>1appartienne a`A. b) Soit(xn)n>1at`anetiusenunetrappaA, (vn)n>1laaqueeee`taldnepnrt´esct´ieodee´ustinie´etmr (yn)n>1r:paneidee´ustialnN, yn=xnvn. Montrer que la suite (yn)n>1cilir,teeequxpteitneanreruoptuotestunoe´mteirseiuet´glutern non nul,ynpuisxnen fonction dex1, b, setn.
1/4
2.Expressiondelaprobabilite´P(Bn+1)adi`laedeun a) Donner,en fonction debet dese´tilideesivctabobprlaavell,seseeprursP(B1) et du nombreu1. b+ 1u1 b)Calculerlaprobabilite´P(B2ge´tila:e´tv)eri´erleP(B2) =s c) Soitnrelvnatutierunen1tnaire´6n6a. Montrer que, pour tout entierkde l’intervalle[0, n]], b+nk laprobabilite´conditionnelleP(Bn+1/[Xn=k])a`ealegt´ess b+nun Ende´duirel´egalit´e:P(Bn+1) =s d) Soitnuntnernieruta´vleiretnan > a. Sikest un entier de l’intervalle[0, naeleuq,]]1t[enemenv´´elstXn=k] ? b+nk Sikest un entier de l’intervalle[na, n,]]tsujligae:t´eri´elP(Bn+1/[Xn=k]) =s b+nun Montrerennquel´egalit´eP(Bn+1se.)=ri´eee´ncteevor s 3. Calculdes nombresunet P(Bn) ´ a) Soitnun entier naturel non nul. Etablir, pour tout entierkde l’intervalle[n+ 1a, ntila:e´]],l´eg an+k b+nk+ 1 P([Xn+1=k]) =P([Xn=k]) +P([Xn=k1]) s s V´eriercettee´galite´pourk=n+ 1, k=naet pour tout entierkde l’intervalle[1, na1]] . b) Calculer,pour tout entier naturelnnon nul,un+1en fonction deunet denuired´ed.Enauqle suite (un)n>1ppaitra`tneelaemnseblAadsnaluqseitnotu´e´edi1. c) Donner,pour tout entier naturelnnon nul, les valeurs deunet deP(Bn+1) en fonction deb, s etn. d) Quellessont les limites des suites (un)n>1et (P(Bn))n>1? ` PROBLEME
Danstoutleprobl`eme,onde´signeparCl’espace vectoriel des applications continues deRdansR. ` A toute applicationfdeC, on associe l’applicationD(f) deRdansRniepar:´de xR, D(f)(x) =f(x+ 1)f(x) Les partiesA,BetCteanndpe´endtsion.s Questionpre´liminaire:Dest-il un endomorphisme deC?
Partie A : Image parDtitionder´eparcnofnoitdenu
1.SoitFune application deCptsodeiore´sdeR.lrelepparioppresquest´´eFee´rmmocpeetreourˆid´econs unefonctionder´epartition. 2.SoitFune application deCquiesutenofcnitnoed´repartitionetgl’applicationD(F). a) Montrerquegest positive. Z x+1 b)Prouver,pourtoutre´elxlbuodal,lage´nie:´eitF(x)6F(t) dt6F(x+ 1). x Z Z x+1x+1 Ende´duirequeleslimiteslimF(t) dtet limF(t) dtisteexrslrueicesrpe´tnte x→−∞x+x x valeurs. Z B c) SoitAetB´ivrsleeten´arxuedA <0< BetI(A, B)inlegt´lera:I(A, B) =g(t) dt. A Z Z B+1A+1 Justierl´egalite´:I(A, B) =F(t) dtF(t) dt. B A d) Prouveralors soigneusement queglibae´tiede´borpdeneitns.tues
2/4
3. Unexemple On suppose, dans cette question, queFbleal´eaunevariaustiotriqeiuncfoontielastititdno´redrape la loi uniforme sur l’intervalle [0,1] et on pose :g=D(F). D´eterminerg(xo´prerueot)tulx, en distinguant les casx <1,16x <0, 06x <1 et 16x. Repre´sentergraphiquementlapplicationg.
Partie B : Recherche des valeurs propres deD
Siλqteunoideel,unr´estλest unevaleur propredeDs’il existe une applicationfdeC, distincte de lapplicationnulle,v´eriant:D(f) =λ f. ax 1.Soitaee´rnuetonnO.lgal’application deCein´d:peraxR, ga(x) =e. D´eterminerlapplicationD(ga). 2.deiueruqteuorte´eld´Enλ`aurieerp´strictementsu1 est une valeur propre deD. ax 3.Soita´eelunrtoeO.nnhal’application deC´edien:rapxR, ha(x) = sin(πx)e. D´eterminerlapplicationD(ha). 4.outr´eeluirequetnE´ddeλieer`aurtnem´fnirtsetci1 est une valeur propre deD. 5.lr´eeLe1 est-il une valeur propre deD?
Partie C : Image parDd’une application polynomiale Pour tout entier naturelpeop,are´dnngisEple sous-espace deCoitacilpsnssntme´eapestlonod´sletnel polynomialesdedegre´auplusp. k k On noteXl’applicationx7→xet, pour tout entier naturel non nulk, on noteXl’applicationx7→x. Soit (Hi)iNappitedlasucaliontiolspomynelaie´dsein:rap i1 Y 1 H0= 1etiN, Hi= (Xk) i! k=0 1.seci´ePrrH1, H2, H3et montrer queU3= (H0, H1, H2, H3) est une base deE3. 2 3 2.SoitB3= (1, X, X, X) la base canonique deE3. ´ 1 a) Ecrirela matrice de passagePde la baseB3a`alabseU3et calculer la matriceP. 2 3 b) Soita0, a1, a2, a3set´seredleQl’application polynomialea0+a1X+a2X+a3X. Quellessontlescoordonn´eesdeQdans la baseU3? 3 Enparticulier,v´erierl´egalite´:X=H1+ 6H2+ 6H3. 3.Application:momentdordre3dunevariableal´eatoiredePoisson Soita´rnuisiteftmetepontlseeictrZlolantvassoiePidarapednoerte`mnuveraaitoiresuibleal´eaa. n X 3k k a a) Pourtout entier naturelnouurga´ea3l`np,o:esoreeius´pSn= . k! k=0 3 TransformerSnonti:a`liaededaleralkN, k=H1(k) + 6H2(k) + 6H3(k). X 3n3n n an a End´eduirequelas´eriedetermege´ne´ralestconvergenteetpre´cisern!n! n=0 b)Ende´duirequelavariableale´atoireZ3eodnne´tndrordunetmemopar:dma 3 23 E(Z) =a+ 3a+a 4.Dans cette question,punlnlnouterreantienunstex´e. a) Montrerque, siQappartient`aEp,D(Qa)ppraitneusta`asiEp. On note alorsDpl’endomorphisme deEpttauoui,`qQdeEp, associeD(Q). b) Montrerque la familleUp= (H0, H1, . . . , Hp) est une base deEp. c)D´eterminerDp(H0),Dp(H1) et prouver, pour tout entieriv0ant´eri< i6p,l:e´tilage´ Dp(Hi) =Hi1.
3/4
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.