Escp eap 2004 mathematiques i classe prepa hec (ecs) mathematiques i 2004 classe prepa hec (ecs)

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ESCP 2004, math 1, option scientifiqueOn note E l’ensemble des fonctions f de R dans R pour lesquelles il existe une suite r´eelle∗s = (s ) , dite adapt´ee a` f, telle que :n n∈Nn−1X k∗∀n∈N , ∀x∈R, f(x+ ) =s f(nx) (1)nnk=0L’ensemble des fonctions deR dansR est not´e F(R,R).Les polynˆomes consid´er´es sont a` coefficients r´eels, et tout polynˆome P sera confondu avec lafonction polynomiale, ´el´ement de F(R,R), qui lui est naturellement associ´ee.Pour tout entier naturel p non nul, et toute fonction p fois d´erivable f, de R dans R, la d´eriv´ee(p) 0p-i`eme de la fonction f est not´ee f (la d´eriv´ee premi`ere de f est aussi not´ee f ).On rappelle que, T ´etant un r´eel non nul, une fonction f de R dans R est dite T-p´eriodiquelorsque :∀x∈R, f(x+T) =f(x)L’objet du probl`eme est de d´eterminer certaines des fonctions f satisfaisant l’´equation (1).Partie I : R´esultats g´en´eraux et exemples d’´el´ements de E1) Soit f une fonction appartenant `a E, autre que la fonction nulle. Montrer qu’il existe une∗unique suite s = (s ) adapt´ee `a f, et que s = 1.n n∈N 102) Montrer que si f est une fonction d´erivable appartenant `a E, alors la d´eriv´ee f de fappartient a` E.3) Montrer que les fonctions constantes appartiennent a` E.1´4) Soit A la fonction deR dansR qui a` x associe x− . Etablir que A est ´el´ement de E.25) E constitue-t-il un sous-espace vectoriel duR-espace vectoriel F(R,R)?6) Soit χ la fonction deR dansR d´efinie par :1 si x∈Z∀x∈R, χ(x) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESCP 2004, math 1, option scientifique
On noteEl’ensemble des fonctionsfdeRdansRpesquourliselleelueenixts´eeritsuleel s= (sn)nNe´`ead,tpadaetif, telle que : n1 X k nN,xR, f(x=+ )snf(nx) (1) n k=0 L’ensemble des fonctions deRdansR´etnotesF(R,R). Lespolynoˆmesconsid´ere´ssont`acoecientsr´eels,ettoutpolynoˆmePsera confondu avec la fonctionpolynomiale,´el´ementdeF(R,R)eiuliuq,´ieessco.turestnaentallem Pour tout entier naturelpnon nul, et toute fonctionpsi´dreviableoff, deRdansRe,el´vire´da (p)0 pnioctonafeledme`i-fese´enttof`eredreemi´eeperival´d(fstaueeot´essinf). On rappelle que,Tta´eeer´unnt,lunnonltcnofenuionfdeRdansRest diteTp-e´irdoqieu lorsque : xR, f(x+T) =f(x) Lobjetduproble`meestded´eterminercertainesdesfonctionsf)1.uqtaoi(n´elntsaaisftisa
PartieI:R´esultatsg´ene´rauxetexemplesd´el´ementsdeE
1)Soitftrappanoa`tnaneutincfoneE, autre que la fonction nulle. Montrer qu’il existe une uniquesuites= (sn)nNadapt´ee`af, et ques1= 1. 0 2)Montrer que sifana`ttrnepaapleabiverd´ontincofenutseE´eeerivlad´lorsa,fdef appartienta`E. 3)rtiennentn`taesappasnocsnatfsnotcoirqreleuentMoE. 1 ´ 4)SoitAla fonction deRdansRuqai`xassociex. Etablir queAdementel´e´tseE. 2 5) Econstitue-t-il un sous-espace vectoriel duR-espace vectorielF(R,R) ? 6)Soitχla fonction deRdansR:´dinerape 1 sixZ xR, χ(x) = 0 six6∈Z Pour tout entier naturel non nulnttelee´rtuoxstlancaesstdiguineretd´,enr,neminxZ n1 X k etnx6∈Z, la valeur de la sommeχ(x+ ). n k=0 End´eduirequeχarppaa`tneitEetiusal,.1ela`e´agtn,esnatntco´etat´eeadap n1 Xk 2ipπ(x+ ) n 7)a)leeoPotru´rtuxet tous entiers naturels non nulspetnedd´e,ncaetlculerreuie, k=0 que : n1 n X   k ncos(2pπx) sipest multiple den cos 2(x=+ ) n0 sinon k=0 b)Soitula fonction deRdansRa`iuqxassocie cos(2πx). Montrer queueitna`paaptrE, et pr´eciserlasuiteadapte´ea`u. 1 q+1 c)ireuJtstruop,uoeltr´exledecnegdeire´sag´meeretlra´eenoc(s2,nverlacoπx). q 2 +X 1 q+1 Soit alorsvla fonction deRdansRuqa`ixassocie cos(2πx). Montrer quev q 2 q=0 appartient`aEe´`eadtptiaealusiserr´ec,etpav.
PartieII:Recherchedespolynˆomese´l´ementsdeE
1)a)Montrer que siPdtneenˆompolystune´lme1ee´ge´rdedeEa,srolusaleaitptdaea´eu polynoˆmePetsocsnatnte,´egale`a1. b)nossleuQylopseltdeesomnˆ1a´egrdeetanppratna`E? 2)On suppose dans cette question quePetdeneml´´eulonnnoˆemlonyutpnesE, et on notep ledegre´deP. a)adtpe´`ealustiaentrerqueaMoPest la suites= (sn)nNiner:ape´d 1 nN, sn= p1 n Z 1 b)Montrer que, sip´alon1,´eitalegniomuatsa`lage´se:P(t) dt= 0. 0 0 ´ 3)Etablirque,pourtptuonyloemoˆQisexunteiqunpoueli,eomnˆlyPtel queP=Qet Z 1 P(t) dt= 0. 0 Onpeutdoncde´nirunesuite(Bp)pN:esomladepodenˆlyviusetnainamere` B0= 1 Z 1 ∗ 0 pBp1e pN, Bp= tBp(t) dt= 0 0 4)a)nrtatneirulemrete´Dou,perineequharcp,el´eetdegrecilecodtnenimodtnaeBp. 1 b)uorte´leV´ier,perrtouxlit´e:,le´agB1(x) =x, puis calculerB2(x)pourtoutr´eelx. 2 5)O´dana`jeaduvlansrtpaIqieueB0etB1ostnlee´ed´ssdementEeuqrrie.V´eB2est e´le´mentdeE. 6)Soitpun entier naturel non nul. On suppose queBp1eml´tdenee´estEet on veut montrer queBp´emet´elestnedE. Pour cela, on fixe un entier naturel non nulnet on pose, pour toutre´elx: n1 X k1 ϕ(x) =Bp(x+ ) etψ(x) =Bp(nx) p1 n n k=0 a)Montrer que la fonctionϕψest constante. Z Z 1/n1/n b)Calculerϕ(x) dxetψ(x) dx. 0 0 ´ c)Etablir queϕψ= 0 et conclure. 7)´cdeneetoisnrpe´desquestD´eduirelerutanreintteourtou,puesqppsel,eegr´sdedˆomeolynp quiappartiennenta`EsnotcmeetaxespoentlomeslynˆλBpobtenus lorsqueλriecd´tR.
´ PartieIII:Etudedesfonctionsind´enimentde´rivablesdeE 1)Soitδla fonction deF(R,Ransl)da`otuq,ieˆemium-nioctonefutϕdeRdansR, associe la fonctionδ(ϕ)d´enipera: xR, δ(ϕ)(x) =ϕ(x+ 1)ϕ(x) a)Montrer queδ´eeti´pr´ectracaQ.eriae´orpelleuonnosdesyau?esle´sinrielstemtnlee´ b)eV´ireuqreol,euqsrPesnetuncfoontiestdemˆemedeopylonimla,elineδ(Perisecr´spui,p) ledegre´etlecoecientdominantdeδ(P) lorsquePededets´egrp.1ge´ua`lari´eroeuups 2)Montrer que, sife´´lmeneodftcenitnoestuneEiuetdapat´eed,ses= (sn)nN, on a : nN,xR, snδ(f)(nx) =δ(f)(x) (2) 2
3)Soitgune fonction de classeCdeRdansRnuetsixeliuqesoppsuOn.r´eelαtel que : xR, αg(2x) =g(x) (3) x k a)Montrer que :xR,kN, αg(x) =g(4)( ) k 2 b)Montrer que siα= 0, alorsgest nulle. c)Montrer que si|α|>1, alorsgest nulle. d)On suppose 0<|α|61. Justifier l’existence d’un entier naturelpel´enrutdeβtels que : (p) (p) |β|>1 etxR, βg(2x) =g(x) e)ustosclee,qunsda,saiuer´ddenEgest polynomiale. 4)Dans cette question, on suppose quefest une fonction de classeC´el´nemeedtE, de suite adapte´es= (sn)nN, et queδ(f) n’est pas la fonction nulle. a)Montrer queδ(f; on note) est une fonction polynomiale non nulleqgrde.´esno 1 ` b)A l’aide de (2), montrer que pour tout entier naturel non nuln, on a :sn= q n q puismontrerquilexisteunre´elnonnulatel que :xR, δ(f)(x) =ax. c)Pour chaque entier naturel non nulplafaat`tselure´riononctane,rertnom,nieredtcanqulipp polynomialeBpintroduite dans la partie II, qu’on a : p1 xR, δ(Bp)(x) =px d)xileiqu´enreustleMnortreλnon nul et un entierpnon nul tels que la fonctionδ(fλBp) ´ soit nulle. Etablir alors que la fonctionh=fλBpse,eedlcsareoiiduqp´1-ontincfonetuse Cl´ementdeet´eE.apadeet´esunteuice´rresie,pnet ´ PartieIV:Etudedesfonctionsind´enimentde´rivableset1upe-sdeEqidoire´ 1)qeeutsoipn´rlemiDanscetteuqaiin,oreupnssepogest une fonction deRdansR, continue et1-p´eriodique,telleque,pourtoutr´eelx,g(nx) tend vers 0 lorsque l’entierntend vers +. a)Montrer que, pour tout entier naturelk,eg´alon:e´tilag(k) = 0. 1 b)Montrer quegntmeon,mertre,quruoptuotitneerrelatif)=(su´g.0lParelnee´pet tout 2 p entier naturel non nulqna,o´elligae:t´g( )= 0. q c)uirequenEde´dgest la fonction nulle. Dans toute la suite de cette partie, on suppose quefest une fonction de classeCuqid,e´p-t1eoire e´le´mentdeEeeetdapa´t,duiess= (sn)nN. Z x+1 2)a)noitacilppaleuqel´etrouati`quMontrerxassocief(t) dtest constante. x Z 1 sn b)Pourtoutr´eelx, montrer quef(nx) tend versf(t) dtlorsque l’entierntend vers +. n 0 |sn| 3)On suppose dans cette question quetend vers +lorsque l’entierntend vers +. n Montrer,`alaidedelaquestion1),quefest la fonction nulle. 4)ion,uesttteqnsceaDilutqenemalern´e´gsulpesoppusnounteisexnaertienlerutktel que k n|sn|tend vers +lorsque l’entierntend vers +. a)ned´eriv´eedorderussnadteonMertrcne,isnore´dutnaf, quefest polynomiale. b)Montrer quefest constante. ` 5)cealssecnitnodsitraIIIedlanpaleelqufoeson,mertrAltatesuldur´aideCappartenant `aEesdutypelopsnoitelaimonyenemctxancfoestldoqie´irnoeteussnesotquis1-pntpaλBp, ∗ ∗ obtenues lorsquepitde´rcNetλdcr´eitR.
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