Escp eap 2005 mathematiques i classe prepa hec (ecs) mathematiques i 2005 classe prepa hec (ecs)

Publié par

ESCP 2005, math I, option scientifiqueCe probl`eme se compose de trois parties largement ind´ependantes, mˆeme si certains objetsintroduits dans la partie II se retrouvent dans la partie III. La partie I ´etudie un exemple decouple al´eatoire suivant une loi trinomiale. La partie II ´etudie les lois marginales d’un tel couple.La partie III propose une caract´erisation de la loi de Poisson.Partie IOn consid`ere, dans cette partie des entiers naturels non nuls n, u, d, t et b, v´erifiant u+d+t =b.Une urne U contient b boules, parmi lesquelles u boules portent le num´ero 1, d le num´ero 2 et tle num´ero 3.Une exp´erience consiste en n tirages successifs d’une boule de l’urne U avec remise.`A chaque tirage, toutes les boules de l’urne U ont mˆeme probabilit´e d’ˆetre tir´ees.Le mod`ele choisi pour cette exp´erience est l’espace probabilis´e (Ω,T,P) dans lequel l’univers Ωnestl’ensemble{1,2,3} desn-upletsd’´el´ementsdel’ensemble{1,2,3},etlatribuT estl’ensembleP(Ω) des parties de Ω, la probabilit´e P se d´eduisant naturellement des hypoth`eses qui ont ´et´e ouseront formul´ees.Aucun tirage n’influe sur les autres en cela que, si une suite quelconque (V ) de variablesk 16k6nal´eatoires d´efinies sur l’espace probabilis´e (Ω,T,P) est telle que, pour toutk∈ [[1,n]], la valeur deV ned´ependquedur´esultatduk-i`emetirage,alorslesvariablesV ,V ,...,V sontmutuellementk 1 2 nind´ependantes.On note U (respectivement D, T) la variable al´eatoire d´efinie sur l’espace ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 873
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins
ESCP 2005, math I, option scientifique
Ceprobl`emesecomposedetroispartieslargementind´ependantes,meˆmesi introduitsdanslapartieIIseretrouventdanslapartieIII.LapartieIe´tudie coupleale´atoiresuivantuneloitrinomiale.LapartieIIe´tudielesloismarginales LapartieIIIproposeunecaracte´risationdelaloidePoisson.
certains objets un exemple de d’un tel couple.
Partie I Onconside`re,danscettepartiedesentiersnaturelsnonnulsn,u,d,tetbanit,erv´u+d+t=b. Une urneUcontientbboules, parmi lesquellesum´nulentteorspleuob,re1odre2oun´melett lenum´ero3. Uneexp´erienceconsisteenntirages successifs d’une boule de l’urneUavec remise. ` A chaque tirage, toutes les boules de l’urneUee.sit´rteerdnetˆomeˆmorpeibab´til Lemod`elechoisipourcetteexpe´rienceestlespaceprobabilise´(Ω,T, P) dans lequel l’univers Ω n est l’ensemble{1,2,3}desnsneledselbme´sd-eutplntme´eel{1,2,3}, et la tribuTest l’ensemble P()Ωborplibae´tispdetiardeeslaΩ,Puoe´te´tnoiuqseseelemtnedhspyto`h´eduisantnatureldes serontformule´es. Aucun tirage n’influe sur les autres en cela que, si une suite quelconque (Vk)16k6nde variables al´eatoiresd´eniessurlespaceprobabilise´(Ω,T, P) est telle que, pour toutk[1, n]], la valeur de Vknedduatlte´usderudnuqe´epkbaelsiretemi`-iravselsrola,egaV1, V2, . . . , Vnsont mutuellement inde´pendantes. On noteU(respectivementD,Tavir)alal´eablered´atoiruseineecapselilabobpr(Ω´eis,T, P) dontlavaleurestlenombredeboulesnum´erot´ees1(respectivement2,3)tire´esaucoursde lexpe´rience. 1)ioere´taellairbalavarquentreMoU(`ler´apisec),eriusenutuiolleusnceodnnreosenpse´ar etsavariance.Donner,demeˆme,lesloisdesvariablesale´atoiresDetT, respectivement. 2)lesariabesvaLseotri´laeUetDenepd´inesll-entos?setnadonse.otrer´epvzeitsuJ 3)idloavelcuallal,ae´lriotairaaelbeDres,nacse´etmrniU+Ds,norenase´psavaceetce.rian nud 4)ude´dnEaleuqerianrivacoupcoduceel(U, D`ae)tse´agel. 2 b 5)Simulation informatique. En Pascal, siiest un entier naturel non nul, l’instructionrandom(i)rimeaeotae´luonrretten unentierchoisie´quiprobablementparmilesentiers0,1, . . . , i1O.cneuredre`disno´corpale Pascalnomme´esimulationeecolar´uit:mmes´dce procedure simulation(var x,y,z : integer; n : integer); var k, r : integer; begin x:=0 ;y:=x ;z:=x ; for k:=1 to n do begin r := random(6); if r=0 then x:=x+1 else if r<=2 then y:=y+1 else z:=z+1 end end ; Quere´aliselinstructionsimulation (a,b,c,12), les variables Pascala,betce´tnatuttoes trois de type integer?enmmteenrponser´edeunmenaOdnde´eecr´epncieer´pxelcevatroppa e´tudi´eeet,enparticulier,quesoientpr´ecis´eeslesvaleursdesparame`tresu,d,tetndans la simulationpropos´ee. Dans toute la suite,m,ietjedtntnesto:eate´lsrenn,orsietuna (   m! msii+j6m = i!j!(mij)! i, j 0 sii+j > m
6)nOsnoc`eiddereenuxertinstarulesket`riantve´k+`6n. hh iihh ii Soitω= (x1, x2, . . . , xn)eml´´eunn´ontdenocpmdeΩetnxeroatmentactek1 et`2 .   Quelleestlaprobabilite´P{ω}eriatneme´le´tneemenv´´elde{ω}? hh ii D´enombrerlesnnatraxetcteΩopmoseenlembntnal`aasppraetu-lptenettcmek1 et` 2 . hh ii End´eduirequelaprobabilite´dele´v´enement[U=k][D=`gale`a:e]tse´   k `nk` n ud t n k, `b Cere´sultatreste-t-ilvraisik+` > n?
PartieII:Loismarginalesduncoupleal´eatoiredeloitrinomiale.
Onconside`re,danscettepartie,unentiernaturelnet l’ensembleInapine´dr In={(k, `)/ k[0, n]] et`[0, n]] etk+`6n} Unespaceprobabilise´(Ω,T, Porsi´reesltsirtcementpositifse´)tnatnndo,a´esiinetqup,qetr ve´riantp+q+rocnuelpue´laiota(re=1,onconsid`ereXn, YnruΩ(´e)disn,T, Pursavel,)a` dansIn, et tel que, pour tout couple (k, `)In:     nk ` nk` P(Xn, Yn) = (k, `) =p q r k, `   X n k ` nk` 1):Ve´eriuerqp q r= 1. k, ` (k,`)In 2)esirtoeaerquontrMas´lbaelavirleseXnetYnsuivent toutes deux une loi binomiale (en pr´eciserlesparame`tresrespectifs). 3)On se propose de calculer la covariance du couple (Xn, Yn). a)On suppose quen>2. Prouver que, pour tout couple (k, `)In´vireantk>1 et`>1, on a :    n n2 k`=n(n1) k, `k1, `1 End´eduirequeE(XnYn) =n(n1)pq. b)Cette relation est-elle encore vraie sin= 0 ? sin= 1 ? c)´eduEndlavalericaledruenciaarov(oveCXn, Yn) du couple (Xn, Yn). 4)´lasotaeseriLesvariableXnetYnes?dantepenso-enteslld´in
PartieIII:Unecaracte´risationdelaloidePoisson. Dans cette partie, la lettrentiusselesegienlpsuen´dsetunalreenunertiisnore`dee´xcnot (Xn)nNet (Yn)nNarsvdeniesd´enslas,daselaailbioere´ta,ptercouquhaetraprpei´ce´nede entier natureln(Ω´eespaceprobabilissrul,T, P). On rappelle que, pour tout entier natureln´laeelasirbaseav,lirtoesXnetYnsuivent des lois binomialesdontlesparame`tresont´ete´calcule´senII.2. Onconsid`ereparailleurs,unevariableal´eatoireNnectrumeeuˆserqsnpnoanteonstnied´esurlemeˆmeespaceprobabilise´(Ω,T, P),`avaleursdanslneesbmelNdes entiers naturels et 3 inde´pendantedetouslescouples(Xn, Yn), ce qui signifie que, pour toutnNet tout (i, j, k)N,    P[(Xn, Yn) = (i, j)][N=k] =P(Xn, Yn) = (i, j)P(N=k) Ond´enitlesfonctionsX: Ω7NetY: Ω7→Neseri`anameldistn:eiuavNprend la valeur n, alorsX(respectivementYerp)aldnmeˆmlaveeurqueXn(respectivementYn). 2
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.