Escp eap 2005 mathematiques iii classe prepa hec (ecs) mathematiques iii 2005 classe prepa hec (ecs)

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6CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIAnnØe 2005La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.EXERCICEDans tout l’exercice, E dØsigne un espace vectoriel rØel de dimension n, avec n> 2. Si v est un endomorphismek 0de E, pour tout entier naturel k, on note v el ndomorphisme dØ ni par rØcurrence par v = Id, oø Id reprØsentek+1 kel ndomorphisme identitØ, et v = v v.Les parties A et B de cet exercice sont indØpendantes.Partie A.2Dans cette partie, on suppose que l’entier n est Øgal à 2, et on considŁre un endomorphisme f vØri ant f = 0 etf = 0.1. Montrer qu’il existe un vecteur x de E tel que (x;f(x)) soit une base de E. 0 02. En dØduire que la matrice associØe à f dans, cette base est .1 0Partie B.2Dans cette partie, on suppose quen = 4 et on cherche à rØsoudre l’Øquationu = Id, oøu est un ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2005
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
EXERCICE Dans tout lexercice,Edésigne un espace vectoriel réel de dimensionn, avecn>2. Sivest un endomorphisme k0 deE, pour tout entier naturelk, on notevlendomorphisme déni par récurrence parv= Id, oùIdreprésente k+1k lendomorphisme identité, etv=vv. Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Partie A. 2 Dans cette partie, on suppose que lentiernest égal à 2, et on considère un endomorphismefvériantf= 0et f6= 0.
1. Montrerquil existe un vecteurxdeEtel que(x; f(x))soit une base deE.   0 0 2. Endéduire que la matrice associée àf.dans, cette base est 1 0
Partie B. 2 Dans cette partie, on suppose quen= 4et on cherche à résoudre léquationu=Id, oùuest un endomorphisme deE. Soitfune solution de cette équation. 1. Montrerquil nexiste pas de scalairetel que léquationf(x) =xdinconnuex2E, admette une solution non nulle. 2. Soitxun vecteur non nul deEque la famille. Montrer(x; f(x))est libre. On noteFQuelle est la dimension dele sous-espace vectoriel engendré par cette famille.F?
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3. (a)Montrer quil existe une base deEde la forme(x; f(x); z1; z2). (b) SoitGle sous-espace vectoriel deEengendré par la famille(z1; z2); soityun vecteur non nul deG. Montrer que la famille(x; f(x); y; f(y))est libre. 0 1 001 0 1 0 0 0 B C 4. Montrerque dans une base bien choisie, la matrice associée àfsécrit : @ A 0 0 01 0 0 1 0
Partie C. On suppose dans cette partie, queEdésigne lespace vectorielR3[X]des polynômes à coe¢ cients réels, de degré inférieur ou égal à 3. On dénit surElapplicationfqui, à tout polynômePdeE, associéf(P)déni par 200 0 f(P)(X) = (1 +X)P(X)2XP(X) 0 00 PetPsont respectivement les dérivées première et seconde deP. 1. Montrerquefest un endomorphisme deE. 2 3 2. (a)Écrire la matrice associée àfdans la base canonique(1; X; X; X)deE. (b) Endéduire que lensemble des valeurs propres defestf0;2g. On noteE0etE2les sous-espaces propres associés respectivement aux valeurs propres0et2. (c) Déterminerune base deE0et une base deE2. (d) Lendomorphismefest-il diagonalisable ? 2 3. Onveut résoudre dans cette question, léquationu=fdans laquelle linconnueudésigne un endomorphisme deE. Soitgune solution de cette équation. 0 1 0 00 0 0 00 0 2 B C (a) Montrerquil existe une base deEdans laquelle la matrice associée àgsécrit : @ A 0 02 0 0 002 (b) Montrerquefetgcommutent, cest-à-dire que pour toutxdeE, on a(gf)(x) = (fg)(x). (c) Onsintéresse à la restriction degàE0. Montrerque lon dénit ainsi un endomorphisme deE0quon noterag0. Montrer de même que la restriction degàE2dénit un endomorphisme deE2quon noterag2. 4. Enutilisant les résultats des parties précédentes, donner la forme dune matrice associée àg.
PROBLÈME Partie I Dans cette partie,(an)n2Nest une suite de réels strictement positifs, décroissante et de limite nulle. 2n2n+1n X X X k kk Pour tout entier natureln, on pose :un= (1)ak,vn= (1)ak,sn= (1)ak. k=0k=0k=0 1. (a)Montrer que la suite(un)n2Nest décroissante, et que la suite(vn)n2Nest croissante. (b) Montrerque, pour toutndeN,vn6un. Endéduire que la suite(un)n2Nadmet une limites, et que la suite(vn)n2Nadmet la même limites. (c) Endéduire que la suite(sn)n2Nconverge verss.
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n 2. Montrerque la série de terme général(1)an, est convergente. +1 k k X (1) (1) 3. Montrerque la série de terme généralest convergente.On notesa somme. k+ 1k+ 1 k=0 n1 X n 1t k kn 4. (a)Établir, pour tout réeltpositif et pour toutndeN, légalité :(1)t=(1): 1 +t1 +t k=0 1 nZ X k n (1)t n (b) Endéduire que pour toutndeN:= ln(2)(1)dt k+ 11 +t k=0 0 +1 X k (1) (c) Endéduire la valeur de la somme. k+ 1 k=0 Partie II Deux amis, Pierre et Paul jouent au jeu suivant :ils possèdent une machine qui, à chaque sollicitation, leur donne aléatoirement un entier natureln; chaque sollicitation constitue une manche de ce jeu et :
si cet entiernest impair, Paul donnenon considère que Pierre gagne et que son gain estEuros à Pierre : égal à +n;
si cet entiernest pair, Pierre donnenEuros à Paul :on considère que Pierre perd et que son gain est égal à -n;
sin= 0, on considère que Pierre perd, et que son gain est égal à 0.
On considère un espace probabilisé(;A;P)qui modélise le jeu. SoitXla variable aléatoire correspondant au nombre obtenu lors dune sollicitation. 1. Onsuppose, jusquà la n de la question 5, que la loi de probabilité deXest dénie par P(X= 0) = 0;et pour toutn >1 :P(X=n) = n(n+ 1) est un réel strictement positif. 1a b (a) Déterminerdeux réelsaetbtels que, pour toutndeN: =+. n(n+ 1)n n+ 1 (b) Endéduire la valeur de.
2. (a)Calculer la probabilité que Pierre gagne une manche quelconque. (b) Calculerlespérance du gain de Pierre pour une manche. 3. Pierreet Paul e¤ectuent deux manches consécutives.On suppose que les résultats de ces deux manches sont indépendants. OnnoteYle gain cumulé de Pierre à lissue de ces deux manches. CalculerP(Y= 0),P(Y= 2)etP(Y=2). 1 Z ln(x) 4. (a)Montrer que lintégraledxest convergente. 2 1x 0 (b) Établir,pour tout réelxde]0; 1[et pour toutndeN, légalité : n 2n+2 X ln(x)xln(x) 2k =xln(x) + 2 2 1x1x k=0
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1 Z 2k (c) Montrerque pour tout entier naturelk, lintégralexln(x)dxconverge. 0 Exprimer en fonction dekla valeur de cette intégrale. 2 xln(x) (d) Montrerque la fonctionx7!, dénie sur]0; 1[, est prolongeable par continuité en 0 et en 1. 2 1x 1 Z 2n+2 xln(x) En déduire quelle est bornée sur [0; 1].Calculerlimdx: 2 1x n!+1 0 1 Z+1 X 2 xln(x) 1 (e) Endéduire légalité :dx=: 2 2 1x(2k+ 1) k=0 0 1 +1Z 2 X 1ln(x) On admet que :=la valeur de. Calculerdx. 2 2 k6 1x k=1 0 5. (a)Déterminer trois réelsa,betctels que pour toutndeN, on ait légalité suivante : 1a bc = ++ 2 2 n(n(+ 1)n+ 2)n(n+ 1)n+ 2 (b) CalculerP(Y= 1). 6. Onsuppose dans cette question queXsuit une loi de Poisson de paramètre, ( >0).
(a) Calculer,en fonction de, la probabilité que Pierre gagne une manche. (b) Comparerla probabilité que Pierre gagne une manche à celle quil perde une manche. (c) Calculerlespérance du gain de Pierre pour une manche.
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chloebra

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vendredi 27 avril 2012 - 19:53