Esg 2004 mathematiques classe prepa hec (ece) mathematiques 2004 classe prepa hec (ece)

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ESG 2004 CONCOURS FORMULE ÉCONOMIQUE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES 1 Lundi 26 avril 2004 de 14 h à 18 h Durée.4 heures Coefficient: 3 EXERCICE D'ALGÈBRE (sur 5 points) 3L’espace vectoriel E = R est rapporté à la base canonique C = (c ; c ; c ) avec 1 2 3c = (1 ; 0 ; 0) , c = (0 ; 1 ; 0) , c = (0 ; 0 ; 1) . 1 2 3 On noté I la matrice unité d'ordre 3 et O la matrice nulle d'ordre 3. On considère l’endomorphisme u de E défini par : u(c ) = 4 c + c + c ; u(c ) = c + 4 c + c ; u(c ) = c + c + 4c 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 1°) Déterminer la matrice A associée à u dans la base C . 2°) Calculer ( A - I )( A - 6 I ) . 3°) On considère les vecteurs b = c - c , b = c - c et b = c + c + c . 1 1 2 2 1 3 3 1 2 3a) Montrer que B = (b ; b ; b ) est une base de E . 1 2 3b) Soit P la matrice de passage de la base C à la base B .Déterminer par la méthode du pivot de Gauss la -1matrice P c) Déterminer la matrice M de u relativement à la base B . n n n -14°) Pour tout entier naturel non nul n , calculer M , et exprimer A en fonction de M , P et P . EXERCICE D'ANALYSE (sur 10 points) Pour tout entier naturel non nul n , on note la fonction f définie sur [ 0 ; +¥[ par : nnx- rrxe f (x) = . On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal O;;ij. n n n ( )n!A) Étudier les variations de f sur [ 0 ; +¥[ . ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESG2004CONCOURS FORMULEÉCONOMIQUE ÉPREUVE DEMATHÉMATIQUES1Lundi 26 avril 2004 de 14 h à 18 hDurée.4 heuresCoefficient: 3 EXERCICE D'ALGÈBRE(sur 5 points)3 L’espace vectorielErapporté à la base canonique= estC= (c1;c2;c3) avec R c1 = (1 ; 0 ; 0) ,c2 = (0 ; 1 ; 0),c3 = (0 ; 0 ; 1) . On notéI3 et la matrice unité d'ordreOd'ordre 3. la matrice nulle On considère l’endomorphismeu deEdéfini par : u(c1) = 4c1+c2+c3 ;u(c2) =c1+ 4c2+c3 ;u(c3) =c1+c2+ 4c31°) Déterminerla matriceAassociée àu dans la baseC. 2°) Calculer (A-I)(A-6I) . 3°) On considère les vecteursb1 =c1-c2 ,b2 =c1-c3 etb3 =c1+c2+c3. a) Montrer queB= (b1;b2;b3) estune base deE . b) SoitP la matrice de passage de la baseCà la baseB.Déterminer par la méthode du pivot de Gauss la -1 matricePc) Déterminer la matriceM deu relativement à la baseB. n nn-1 4°) Pour tout entier naturel non nuln , calculerM , et exprimerA enfonction deM ,PetP . EXERCICE D'ANALYSE(sur 10 points)Pour tout entier naturel non nuln , on note la fonctionfn définie sur [ 0 ; +¥[ par : n-x n (x) =. OnnoteCnla courbe représentative deif Or rj. fn dans un repère orthogonal; ; n! A) Étudier les variations defnsur [0 ; +¥[ .Pourn> 2, étudier la position relative deCnet de Cn-1et vérifier que le point deCn,A(n;fn(n) )est aussi surCn-1.B) Étude de la suite(un) définie pourn³1 parun=fn(n) . 1°) Enutilisant les résultats de la partie A), montrer que (un) est décroissante. 2 t 2°) Soitgpar :sur [0; 1] la fonction définieg(t) = ln(1+t) –t+ . 4 2 t a) Montrer que pour touttln(l + de [0 ; 1],t)£t- . 4 n 1 1-æ1ö 4n b) En déduire que pour tout entiern³11 ,+ £eç ÷ ènø 1 un+1 -4n 3°) a)Montrer que pour tout entiern³1£e. u n 1æ1 1 -1-1+ +...+ ç 4è2n-1 b) En déduire que pour tout entiern³2 ,u£en n dt1 1 4°) a)Montrer que pour tout entiern³2 ;£1+ +...+. ò t2n-1 1
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1 -1-ln(n) 4 b) En déduire que pour tout entiern³2,un£e. Quelle est la limite de la suite (un)? a n-t t e C) Poura réel fixé, positif, et pour tout entiern³1 on poseIn(a) =dtò n! 0 1°) CalculerI1(a) . n t 2°) Montrerque pour toutn³1 , pour toutt³0 ,0£fn(t)£ . n! En déduire un encadrement deIn(a) . n 1æeö 3°) Montrer que pour toutn³1,<. Donner alors une nouvelle majoration deIn(a) , ç ÷ n!ènø puis la limite deIn(a) quand n tend vers +¥. 4°) Trouver lorsquen³2, une relation entreIn(a) etIn-1(a) et en déduire que pour toutn³2, n -aæa a -e+ + +. L'égalité estelle valable pourn= 1 ? In(a) = 1ç1 ... 1!n! è n aæa a 5°) Démontrer que pour touta³0e=lim 1+ +...+ . ç n®+¥ 1!n! è EXERCICE DE PROBABILITÉS(sur 5 points)Question préliminaire : q0 <désigne un nombre réel, tel queq < 1 . n-1 k ·Calculer pourn > 2la somme suivante :qå k=0 n-1 k-1 ·En déduire pour n > 2 la somme suivante :kqå k=0 Dans un stand de tir un joueur dispose den fléchettes (nentier fixé, supérieur ou égal à 2) pour tenter de faire éclater un ballon. À chaque essai la probabilité de succès vautp, avec ( ( 1<p< 1 ), et donc la probabilité de l'échec vautq(avecq= 1-p). On suppose que les différents essais sont indépendants les uns des autres et que le joueur s’arrête dès que le ballon éclate (s'il éclate !). 1°) SoitX le nombre aléatoire de fléchettes utilisées par le joueur. a) Quellessont les valeurs que peut prendreX? b) Déterminerla loi de probabilité deXc) Calculer1’espérance mathématique deX . ème 2°) Sachantque le ballon a éclaté, quelle est la probabilité que ce soit avec lan? fléchette 3°) Danscette question on suppose que l'on an= 3,p= 1/2. Si le joueur fait éclater le ballon avec la ème kfléchette ou, s’il a épuisé toute les fléchettes et on posek=3, (kest compris entre 1 et 3), il a le droit de lancer (4-k) fois une pièce équilibrée et il reçoit un euro pour chaque « pile » obtenu.SoitYle gain aléatoire de ce joueur. a) Déterminerla loi conjointe du couple (X;Y) . b) Établirla loi de probabilité deY. c) c)Calculer J'espérance mathématique deY.
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