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ESG 2004 Option technologique
EXERCICE 1 :Puissances dune matrice (3,5 points) 0 10 10 1 1 1 11 0 00 1 1 @ A@ A@ A On considère les matricesA= 01 1; I1 0= 0; J0 1= 0: 0 0 10 0 10 0 0 n Le but de lexercice est de calculer les puissancesAdeAnest un entier supérieur ou égal à 1. 2 3k1. CalculerJ,J; en déduireJpour tout entierkdeN. 2. Déterminerdeux nombres réelsxetytels queA=xI+yJ: n 3. Donner,à laide de la formule du binôme de Newton, le développement de(I+J). n(n1) n2n 4. Endéduire queA=I+nJ+Jet exprimerAsous forme de tableau de nombres, pournentier 2 supérieur ou égal à 1. 5. Pourquoila matriceAest-elle inversible ?calculer son inverse à laide de la méthode du pivot de Gauss. Lexpression obtenue à la question 4) pour n entier supérieur ou égal à 1 peut-elle sétendre au cas oùn=1 ?
EXERCICE 2 :Etude de fonction(6,5 points) 1 2 Soitfla fonction dénie sur]0; +1[par :f(x) =x+x6 lnx. 2 1. Etudierles limites defen0et en+1et préciser la ou les branches innies. 2. Montrerque la dérivée defsur]0; +1[est du signe de(x2)(x+ 3). Endéduire le tableau des variations defsur]0; +1[ 3. Donnerune équation de la tangente T à la courbe C représentative defau point dabscisse 1. 4. TracerT et lallure de C dans un repère orthonormé (1 unité = 2 cm).On donneln 2'0;7etln 3'1;1. Montrer que léquationf(x) = 0admet une et une seule solution sur lintervalle]0; 2[, quon appellera. Positionnersur le graphique de la question d) et on donner une valeur approchée. 5. Montrerque la fonction g dénie sur]0; +1[parg(x) =xlnxxest une primitive de la fonctionx7!lnx sur]0; +1[. R 6. CalculerI=f(x)dxen fonction deet interpréter géométriquement cette intégrale, à laide du tracé de 1 la question d).
EXERCICE 3 :Probabilités (10 points)
On dispose de deux urnes contenant des boules indiscernables au toucher : lurne A contient 2 boules rouges et 3 boutes blanches, lurne B contient 2 boules rouges et 2 boules blanches. Les parties A, B et C sont indépendantes.
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Partie A On e¤ectue dans ces urnes des tirages successifs dune boute, avec remise de la boule tirée dans son urne après chaque tirage, de la manière suivante :
Le premier tirage se¤ectue dans lurne A.
Si un tirage a donné une boule rouge, le tirage suivant se¤ectue dans lautre urne.
Si un tirage a donné une boute blanche, le tirage suivant se¤ectue dans la même urne.
ieme On noteAnlévénement: "lentirage a lieu dans lurne A" etansa probabilité, et on noteBnlévénement : ieme "lentirage a lieu dans lurne B" etbnsa probabilité, où n est un entier supérieur ou égal à 1.
1. Quellessont les valeurs dea1etb1?
2. Quelleest la relation entreanetbn? 1 1 3. Alaide de la formule des probabilités totales, montrer que :an+1= +an. 2 10 Quelle est la nature de la suite(an)? Exprimeranpuisbnen fonction de n.
4. Quevalentlimanetlimbn? n!+1n!+1
Partie B Dans lurne A (qui contient 2 boules rouges et 3 boules blanches), on e¤ectue deux tirages successifs sans remise de la boule tirée entre les deux tirages. On noteXla variable aléatoire prenant la valeur 0 si la première boule tirée est rouge et la valeur I si elle est blanche On note Y te nombre de boules blanches tirées.
1. Préciserla loi deX.
2. Décrireles événements[(X= 0)\(Y= 1)]et[(X= 1)\(Y= 2)], et préciser leur probabilité.
3. Donner,sous la forme dun tableau à double entrée, la lot du couple(X;Y).
4. Endéduire la loi de Y et calculer son espérance.
5. Lesvariables X et Y sont-elles indépendantes ?
Partie C On utilise encore lurne A (contenant, rappelons-le, 2 boules rouges et 3 boules blanches) et on e¤ectue dans cette urne 600 tirages successifs et avec remise dune boule. On note Z le nombre de boules blanches obtenues sur les 600 tirages.
1. Reconnaîtrela loi de Z et préciser son espérance et sa variance.
2. Alaide de linégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner une majoration deP(jZ360j>24).
3. Montrerque lon peut approcher la loi de Z par une loi normale dont on précisera les paramètres.
4. A laide de lapproximation proposée à la question précédente, et sans tenir compte de la correction de continuité, calculerP(Z>384)etP(Z6336). On donne(2) = 0;97725, oùest la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
5. Comparerles résultats obtenus à la question 4 avec la majoration de la question 2.
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