ESG 2005 concours Maths 1 ES

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ESG 2005 concours Maths 1 ES

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESG 2005 Option économique Math I
AVIS : Nous rappelons que lusage des calculatrices est interdit Aucun document nest autorisé.Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats et à donner des démonstrations complètes de leurs a¢ rmations.
EXERCICE DE PROBABILITÉS (sur 4 points)
Un candidat participe à un jeu télévisé où on lui pose cinq questions.Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule bien sûr étant correcte.Le candidat est gagnant sil a fourni au moins quatre réponses exactes. Sile candidat ne connaît pas la réponse, il répond au hasard ; sinon il fournit la bonne réponse avec une probabilité égale à 1.Soitpla probabilité quil connaisse la réponse pour chacune des questions.
1. Déterminerla probabilitérque le candidat réponde correctement à une question particulière.
2. Exprimeren fonction derla probabilitéquil soit gagnant.
3. Sachantque le candidat a gagné, calculer en fonction depla probabilitéquil ait répondu exactement à toutes les questions.
4. Audébut du jeu, on présente au candidat trois enveloppes contenant le questionnaire qui lui sera remis et il en choisit une au hasard.Sachant quil connaît quatre réponses dans lenveloppeE1et deux dans les enveloppesEetE, calculer sa probabilité de gaing. 2 3
EXERCICE DALGÈBRE (sur 6 points) On noteElespace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à 2, muni de sa base canonique 2 B= (1;X;X). E!E Soitulapplication dénie surEpar avec P7!u(P) 20 8x2R; u(P)(x) = (2x+ 1)P(x)(x1)P(x); 0 Pdésigne la dérivée première du polynômeP.
1. Montrerqueuest un endomorphisme deE.
2. Déterminerla matriceMdeurelativement à la baseB.
3. Déterminerles valeurs propres deuet les sous espaces propres associés. Lendomorphismeuest-il diagonalisable ?
EXERCICE DANALYSE (sur 10 points)
nx e Pour tout entiern>0, on notefla fonction dénie surRpar :f(x) = n n x 1 +e On noteCnla courbe représentative defn.
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Partie A 1. (a)Étudier les variations defainsi que les branches innies de sa courbeC(on ne construira pas cette n n courbe). E¤ectuer un tableau de variation pour chacun des casn= 0;n= 1;n>2. (b) Démontrerque lorsquendécritNles courbesCnpassent par un point xeque lon déterminera. 2. Étudedes fonctionsf0etf1. (a) Démontrerque8x2R; f1(x) =f0(x). Quepeut-on en déduire pour les courbesC0etC1? 00 00 lculerf). Po ur quelle valeurx0 0? (b) Ca0(xa-t-onf(x0) = 0 Trouver une équation de la tangente àC0au point dabscissex0. (c) Démontrerque le pointest centre de symétrie pour chacune des courbesC0etC1. 3. Étudede la fonctionf. 2
(a) Démontrerque lapplicationf2admet une fonction réciproque notée'dont on précisera lensemble de dénition et quelques propriétés (continuité, sens de variation, dérivabilité).On noterala courbe représentative de'. (b) Trouverune équation de la tangente àC2au point dabscisse nulle et une équation de la tangente à1 au point dabscisse. 2 Partie B 1 R Soit la suite(un)dénie par :8n2N; un=fn(x)dx 0 1. (a)Calculeru0. (b) Étudieru+u; en déduire la valeur deu. 0 11 2. (a)Soit la suite (v)dénie par :8n2N; v=u+u n nn n+1 n 1e Démontrer que8n2N; vn=. n (b) Montrerque la suite(vn)Quelle est sa limite ?est convergente. 3. Aprèsavoir étudié le signe deunmontrer que la suite(un)est convergente.Quelle est sa limite ?
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