Eslsca 2006 mathematiques classe prepa hec (ece) mathematiques 2006 classe prepa hec (ece)

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COLE SUP RIEURE LIBRE DES SCIENCES COMMERCIALES APPLIQUÉESMATHÉMATIQUES 1Łre PREUVEOPTIONS : ECONOMIQUEEXERCICE1OnnoteRel nsembledesnombresrØelset Nceluidesnombresentiersnaturels. OnconsidŁrelafonctionf :R!RdØ…nie par la formule suivante :1f(x) = (exp(x)+exp( x)):5On rappelle que 2;716e6 2;721. Etudier les variations de f, donner sa reprØsentation graphique et prØciser la nature des branches in nies decelle-ci.12. RØsoudre l’Øquation : f(x) =213. RØsoudre l’inØquation : f(x)62124. Calculer l aire A du domaine =f(x;y)2R = f(x)6y6 g25. On appelle point …xe de f tout nombre tel que f() = . On se propose d’Øtudier les points …xes de fpar le biais d une fonction auxiliaire g dØ…nie par g(x) =f(x) x.0 00(a) Donner le tableau de variation de la dØrivØe g de g aprŁs Øtude du signe de la dØrivØe seconde g .0(b) En dØduire qu’il existe un unique t2R tel que g (t) = 0, sans essayer de le calculer.(c) Encadrer t entre deux entiers consØcutifs.(d) Calculer t.0(e) Donner le tableau de signe de g puis dresser le tableau des variations de g. Montrer que g admet unminimum strictement nØgatif.(f) En dØduire que f admet exactement deux points …xes.6. On se restreindra dØsormais à l intervalle I = [0;1]. Montrer que f n admet qu un seul point …xe 2I.7. Montrer que l intervalle I est stable par f.8. On dØ nit une suite par la donnØe de u 2I et la relation de rØcurrence u =f(u ) pour tout n2N.0 n+1 nDØmontrer que les u appartiennent tous à I.n109. ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ÉCOLE SUPÉRIEURE LIBRE DES SCIENCES COMMERCIALES APPLIQUÉES
MATHÉMATIQUES 1ère ÉPREUVE
OPTIONS : ECONOMIQUE
EXERCICE 1 On noteRlensemble des nombres réels etNcelui des nombres entiers naturels.On considère la fonctionf:R!R dénie par la formule suivante : 1 f(x(exp() =x) + exp(x)): 5 On rappelle que2;716e62;72 1. Etudierles variations def, donner sa représentation graphique et préciser la nature des branches innies de celle-ci. 1 2. Résoudreléquation :f(x) = 2 1 3. Résoudrelinéquation :f(x)6 2 1 2 4. CalculerlaireAdu domaine =f(x; y)2R= f(x)6y6g 2 5. Onappelle point xe deftout nombretel quef() =se propose détudier les points xes de. Onf par le biais dune fonction auxiliairegdénie parg(x) =f(x)x.
0 00 (a) Donnerle tableau de variation de la dérivéegdegaprès étude du signe de la dérivée secondeg. 0 (b) Endéduire quil existe un uniquet2Rtel queg(t) = 0, sans essayer de le calculer. (c) Encadrertentre deux entiers consécutifs. (d) Calculert. 0 (e) Donnerle tableau de signe degpuis dresser le tableau des variations deg. Montrerquegadmet un minimum strictement négatif. (f) Endéduire quefadmet exactement deux points xes.
6. Onse restreindra désormais à lintervalleI= [0;1]. Montrerquefnadmet quun seul point xe2I.
7. Montrerque lintervalleIest stable parf.
8. Ondénit une suite par la donnée deu02Iet la relation de récurrenceun+1=f(un)pour toutn2N. Démontrer que lesunappartiennent tous àI. 1 0 9. Démontrerque :8x2I;jf(x)j6: 2 1 10. Endéduire que8n2N;jun+1j6junj. Acheverlétude de(un). 2
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EXERCICE 2     1 02 23 2 Soit les matricesI=; J=etA=. 0 12 22 3
k 1. CalculerJpour tout entier naturelk. Onnoubliera pas le cas oùk= 0.
n 2. Endéduire les puissances n-ième deA, en remarquant queA=I+J. ExpliciterAet vérier la validité du résultat pourn= 0;n= 1etn= 2.
3. Ondispose de deux boîtes U et V : U contient 3 boules blanches et 2 boules noires V contient 2 boules blanches et 3 boules noires On tire des boules une à une, chaque boule étant remise immédiatement dans la boîte doù elle provient avant le tirage suivant.La première boule est tirée de U. Si elle est blanche, la seconde boule est tirée de U; si la première boule tirée est noire, la seconde boule est tirée de V. A chaque étape si len-ième tirage donne une boule blanche alors le(n+ 1)-ième tirage se¤ectuera dans U, alors que si len-ième tirage donne une boule noire alors le(n+ 1)-ième tirage se¤ectuera dans V. On dénit les événements suivants, pour tout entiern>1: Bnle: «n-ième tirage donne une boule blanche » Nn: « len-ième tirage donne une boule noire »   pn On posepn=P(Bn),qn=P(Nn)etXn=: qn
(a) Donnerles valeurs dep1etq1. (b) Calculer,par une méthode clairement justiée,p2etq2. (c) Pourtoutn, exprimerpn+1etqn+1en fonction depnetqn. (d) Endéduire un algorithme de calcul despnet desqntraduire en Turbo-Pascal.. Le (e) DonnerXn+1en fonction deXn. (f) Endéduire le calcul depetq. n n
4. Onconsidère encore la suite de tirage de la question 3.On dénit la variable aléatoireTégale au temps dattente de la première boule blanche :pour toutn>1, lévénement (T=nsignie que la première boule blanche est apparue aun-ième tirage.
(a) Donnerla distribution de probabilité deT. (b) Vérierque la somme des probabilités des événements(T=n)vaut bien 1. (c) CalculerE(T)etV(T)citera explicitement, aux questions b) et c) les résultats de cours utilisés. On ainsi que leur condition de validité.
EXERCICE 3 On rappelle queR2[X];ensemble des polynômes à coe¢ cients réels de degré inférieur ou égal à2, est unR-espace 2 vectoriel de dimension3. Onappellera iciBsa base canonique(1; X; X). Unpolynôme sera noté indi¤éremment Q(X)ouQ; à chaqueQ(X)2R2[X], on associe la polynôme suivant, noté aussi(Q(X))ou(Q)(X): 20 (Q) = (2X+ 1)Q(X)(X1)Q(X)
0 Qest le polynôme dérivé deQ.
1. Vérierque cela dénit bien un endomorphismede lespace vectorielR2[X]. 2. Déterminerson noyauker().
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3. Endéduire queest bijectif. 4. Donnerla matriceAdedans la baseB. 5. Déterminerle spectreSp(A)de la matriceA. Endéduire immédiatement queAest diagonalisable. 6. Déterminerle sous-espace propreEadeApour touta2Sp(A) 7. Onrange les valeurs propres par ordre strictement croissant.Trouver une matricePinversible telle que la 0 1 matriceA=P APsoit diagonale : 0 1 u0 0 0 @ A A= 0v0: 0 0w On respectera la contrainte suivante :la première ligne dePdoit être égale à(1;1;1). n 8. Déduirede la question 7.le calcul deApour tout entier natureln. 0 12n 9. Onrappelle que =Id; =; =la calcul deDéduire de la question 7., etc..pour tout n. 2n Autrement dit, étant donné un polynôme quelconqueQ(X) =aX+bX+c, expliciter le polynôme (Q(X)) en fonction den; a; betc.
EXERCICE 4 2 24 33 23 Soit la fonction à deux variablesf:R!Rdénie par la formulef(x; y) = 2x y+ 3x y+x y. Etudier lexistence dextrema locaux def.
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