Espci 2002 deuxieme composition de mathematiques classe prepa pc deuxieme composition de mathematiques 2002 classe prepa pc

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ÉCOLEPOLYTECHNIQUEÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUEETDECHIMIEINDUSTRIELLESCONCOURSD’ADMISSION2002 FILIÈREPCDEUXIÈMECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.Ceproblèmeapourbutprincipall’étudedescoefficientsdiagonauxdesdiversesmatricessemblablesàunematricedonnée.Ondésignepar nunentier 2,parM (R)l’espacedesmatricesàcoefficientsréels,à nnligneset ncolonnes,etpar Ilamatriceidentité;onappellescalaireslesmatricesdelaformeλI où λestunréel.Onrappellequedeuxmatrices Aet Bsontditessemblables s’ilexiste−1unematriceinversible Qvérifiant B = QAQ ,c’est-à-diresi Aet Breprésententunmêmen nendomorphismedeR dansdeuxbasesdeR .Premièrepartie1.Démontrerlesassertionssuivantes:n,nonnuletnonvecteura)Siunematrice Aestnonscalaire,ilexisteunvecteur XdeRproprepour A.b)Soit A ∈ M (R),iet j∈{1,...,n}.Ilexisteunematrice Bsemblableà Atellequenb = a ,b = a ,b = a pourtout k = i, j .i,i j,j j,j i,i k,k k,kDeuxièmepartie2.Onsedonneunematrice Ade M (R)detracenulleetonseproposededémontrerqu’ilnexisteunematrice Bsemblableà Aayanttoussescoefficientsdiagonauxnuls.na) Montrer que si A est non nulle, il existe une base (X ,...,X ) de R telle que1 nAX = X.1 2b)Conclureenprocédantparrécurrencesur n.13.Applicationsnumériques.Danschacundescasconsidérés,onindiqueraunematrice Brépondantàlaquestionetunebasequiluicorrespond.a) n=2,Aestdiagonaleaveccoefficientsdiagonaux 1,−1.b) n=3,Aestdiagonaleaveccoefficientsdiagonaux 1,0,−1.4.Soit ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2002
FILIÈREPC
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   
Ce problème a pour but principal l’étude des coefficients diagonaux des diverses matrices semblables à une matrice donnée.
On désigne parnun entier2, parMn(R)l’espace des matrices à coefficients réels, àn lignes etncolonnes, et parIla matrice identité; on appellescalairesles matrices de la forme λIλest un réel. On rappelle que deux matricesAetBsont ditessemblabless’il existe 1 une matrice inversibleQvérifiantB=Q A Q, c’est-à-dire siAetBreprésentent un même n n endomorphisme deRdans deux bases deR.
Première partie
1.Démontrer les assertions suivantes :
n a)Si une matriceAest non scalaire, il existe un vecteurXdeR, non nul et non vecteur propre pourA.
b)SoitAMn(R), ietj∈ {1, . . ., n}. Il existe une matriceBsemblable àAtelle que
bi,i=aj,j, bj,j=ai,i, bk,k=ak,k
pour toutk=.i, j
Deuxième partie
2.On se donne une matriceAdeMn(R)de trace nulle et on se propose de démontrer qu’il existe une matriceBsemblable àAayant tous ses coefficients diagonaux nuls.
n a)Montrer que siAest non nulle, il existe une base(X1, X, . . .n)deRtelle que AX1=X2.
b)Conclure en procédant par récurrence surn.
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3.Applications numériques. Dans chacun des cas considérés, on indiquera une matriceB répondant à la question et une base qui lui correspond.
a)n= 2, Aest diagonale avec coefficients diagonaux1,1.
b)n= 3, Aest diagonale avec coefficients diagonaux1,0,1.
4.SoitAune matrice deMn(R)non scalaire. Montrer qu’il existe une matriceBsemblable àAavec coefficients diagonaux de la forme(t,0,, . . .0), et exprimerten fonction des coefficients diagonaux deA.
5.SoitAune matrice deMn(R)non nulle. Montrer qu’il existe une matriceBsemblable à Aavec coefficients diagonaux tous non nuls.
Troisième partie
On dira que deux matricesAetBdeMn(R)sontorthosemblabless’il existe une matrice or-1 thogonaleQvérifiantB=Q A Q, c’est-à-dire siAetBreprésentent un même endomorphisme n n deRdans deux bases orthonormales deR. Pour toute matriceAon pose f(A) = sup{|ai,iaj,j|:i, j= 1, . . ., n}. On se donne une matriceAet on se propose de démontrer qu’il existe une matriceB, orthosemblable àAet ayant tous ses coefficients diagonaux égaux. 6.Démontrer l’assertion dans le cas oùn= 2.
7.On suppose maintenantnquelconque et lesai,inon tous égaux. a)Montrer qu’on peut supposerf(A) =|a1,1a2,2|. b)Construire une matriceA, orthosemblable àAet telle que   a=a ,a=ai,ii3,|aa|< f(A)i3. 1,1 2,2i,i1,1i,i   c)Construire une matriceA, orthosemblable àAet telle quef(A)< f(A). On désigne parOn(R)l’ensemble des matrices orthogonales, et parEAcelui des matrices orthosemblables àA.
2 n 8.a)Montrer queEAest une partie compacte deR.
b)Montrer que la restriction de la fonctionfàEAatteint son minimum. c)Conclure.
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9.Application numérique. On prendn= 3etAdiagonale avec coefficients diagonaux (1,0,0); on noteAm, m= 0,1, . . .les matrices successives obtenues par la méthode précé-dente, de sorte que Å ãÅ ã 1 11 1 1 diag(A0) = (1,0,0),diag(A1) =, ,0,diag(A2) =, ,,etc. 2 22 4 4 Déterminerf(Am)et les coefficients diagonaux deAm.
Quatrième partie
n On munitRde son produit scalaire usuel noté(∙|∙)et de la norme correspondante ∙ . Pour toute matriceAdeMn(R)on pose
R(A) ={(AX|X) :X= 1}.
10.Démontrer les assertions suivantes :
a)R(A)contient les valeurs propres réelles deAainsi que ses coefficients diagonaux.
b)R(A)est un intervalle fermé borné deR.
c)SiAest symétrique et de trace nulle, le nombre0appartient àR(A).
11.Montrer que si la tracetdeAappartient àR(A), il existe une matriceBorthosemblable àAavec coefficients diagonaux(t,0, . . .,0).
Cinquième partie
On note Sp(A)l’ensemble des valeurs propres d’une matriceA.
12.On se donne une matrice non nulleAdeMn(R)et on noteBune matrice semblable à Aayant tous ses coefficients diagonaux non nuls. a)Trouver une matriceYtelle que l’on ait Sp(Y) ={1}et Sp(B+Y)Sp(Y) =. b)Construire une matriceXnon nulle telle que l’on ait Sp(A+X)Sp(X) =. 13.On désigne parTune application linéaire deMn(R)dans lui-même qui transforme toute matrice inversible en une matrice inversible.
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a)Vérifier que l’on a
  1 SpT(I)T(A)Sp(A).
b)Montrer que l’applicationTest inversible.
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