Espci deuxieme composition de physique 1999 pc classe prepa pc deuxieme composition de physique 1999 classe prepa pc

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ÉCOLE POLYTECHNIQUEÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUEETDECHIMIEINDUSTRIELLESCONCOURS D’ADMISSION 1999 FILIÈREPCDEUXIÈMECOMPOSITIONDEPHYSIQUE(Durée : 4 heures)L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.Lethème de ce problème est l’étude de la propagation de l’influx nerveux des invertébrés le longdesaxones, fibresquipermettentderelierélectriquement desparties éloignées del’organisme. Lapropagation de l’influx nerveux (ou potentiel d’action) le long d’un axone est conditionnée parla nature de celui-ci. Schématiquement, il s’agit d’un filament cylindrique (appelé axoplasme)entouré d’une membrane très fine constituée d’une double couche lipidique qui le sépare du mi-lieu extérieur. Dans la première partie du problème nous étudierons la propagation d’un signalélectromagnétique dans l’axoplasme. La deuxième partie est consacrée à l’étude des propriétésetdurôledelamembrane.Enfin,danslatroisièmepartie,lesignallui-mêmeestl’objet d’intérêt.Données numériques−19e=1,6×10 C charge élémentaire−23 −1k =1,38×10 JK constante de BoltzmannB−7 −1µ =4π×10 Hm perméabilité magnétique du vide08 −1c=3,00×10 ms célérité des ondes électromagnétiques dans le videa=5µm rayon de l’axoneδ=7nm épaisseur de la membrane−1σ =2Sm conductivité de l’axonea−2g =9Smité surfacique de la membranemε =8ε permittivité diélectrique de la membranem 0V =−70 mV différence de potentiel transmembrane au reposEFormulaire1 - Pour tout champ vectorielA : rot rotA = ...
Publié le : mardi 5 juillet 2011
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES PC CONCOURS D’ADMISSION 1999FILIÈRE
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatricesest autoriséepour cette épreuve.   
Le thème de ce problème est l’étude de la propagation de l’influx nerveux des invertébrés le long des axones, fibres qui permettent de relier électriquement des parties éloignées de l’organisme. La propagation de l’influx nerveux (ou potentiel d’action) le long d’un axone est conditionnée par la nature de celui-ci. Schématiquement, il s’agit d’un filament cylindrique (appelé axoplasme) entouré d’une membrane très fine constituée d’une double couche lipidique qui le sépare du mi-lieu extérieur. Dans la première partie du problème nous étudierons la propagation d’un signal électromagnétique dans l’axoplasme. La deuxième partie est consacrée à l’étude des propriétés et du rôle de la membrane. Enfin, dans la troisième partie, le signal lui-même est l’objet d’intérêt.
Données numériques
19 e= 1,6×10C 231 kB= 1,38×10J K 71 µ0= 4π×10H m 81 c= 3,00×10m s a= 5µm δ= 7nm 1 σa= 2S m 2 gm= 9S m εm= 8ε0 VE=70mV
charge élémentaire constante de Boltzmann perméabilité magnétique du vide célérité des ondes électromagnétiques dans le vide rayon de l’axone épaisseur de la membrane conductivité de l’axone conductivité surfacique de la membrane permittivité diélectrique de la membrane différence de potentiel transmembrane au repos
Formulaire 1 - Pour tout champ vectorielA:    rot rotA= grad(divA)ΔA 2 - Pour tout champ vectorielA,en coordonnées cylindriques(r, θ, z):     1∂Az∂Aθ∂Ar∂Az1∂ ∂Ar   rotA=er+eθ+ (rAθ)ez r ∂θ∂z ∂z∂r r∂r ∂θ     1∂Aθ1∂Ar   ΔA= ΔArAr+ 2er+ ΔAθAθ2eθ+ ΔAzez. 2 2 r ∂θr ∂θ
3 - Pour tout champ scalairef, en coordonnées cylindriques(r, θ, z):   2 2 1∂ ∂f1∂ f∂ f Δf=r+ + 2 22 r ∂r∂r r∂θ ∂z . 4 - L’équation différentielle   2 2 2 x y+xyx+n y= 0 nest un entier, admet deux solutions particulières linéairement indépendantesIn(x)et Kn(x),appelées fonctions de Bessel modifiées, qui ont les propriétés suivantes : + a) Six0   n 1x In(x)n! 2   n (n1)! 2 Kn(x)(n= 0) 2x K0(x)∼ −lnx
b) Six+
x In(x)(1/2πx)e x Kn(x)(π/2x)e
De plus : dI0dK0 =I1,=K1, dx dx 3 2.5
1d(xI1) =I0, x dx
2 I0 K1 I1 K0 1.5
1
0.5
1d(xK1) =K0. x dx
2 2.53 0 0.5 1 1.5 x 5 - Équations de Maxwell (milieux conducteurs et diélectriques, non magnétiques) :   divD=ρ,divB= 0     ∂B ∂D   rotE=,rotB=µ0j+ ∂t ∂t
Première partie
Dans cette partie, l’axoplasme sera modélisé par un cylindre homogène infini d’axeOz, de rayona, de conductivitéσ1et de permittivité diélectriqueε1.Une membrane, d’épaisseur consi-dérée comme négligeable, le sépare du milieu extérieur, homogène et s’étendant jusqu’à l’infini, de conductivitéσ2et de permittivitéε2.
1.Lors de la propagation de l’influx nerveux, les pulsations observées sont de l’ordre de 311 10rad s.A ces fréquences, les conductivités mises en jeu sont de l’ordre de2S met les permittivités diélectriques valent à peu près celle de l’eau, soit80ε0.
a)Montrez que, dans ces conditions, l’approximation des régimes quasi-stationnaires est valable. Comment se traduit cette approximation pour les équations de Maxwell?
  b)En déduire, par élimination deEetj, l’équation aux dérivées partielles à laquelle obéit Bdans l’axoplasme et dans le milieu extérieur.
2.On s’intéresse aux ondes transverses magnétiques pour lesquellesBzest nul, possédant de plus la symétrie de révolution autour deOzet telles queBr= 0.
Plus précisément, on cherche des solutions sous forme d’ondes planes se propageant dans la di-rectionOz, la composante orthoradiale du champ magnétique s’écrivant en notation complexe : Bθ(r, z, t) =Bθ(r) expi(ωtkz). L’axoplasme est parcouru par un courant dont l’intensité totaledans la directionOzest notéei(z, t) =i0expi(ωtkz).
2 2 a)Écrire l’équation vérifiée parB(r). On poserak=k+0σω. θ
b)Les longueurs d’onde typiques de l’influx nerveux sont de l’ordre de 1 mm. Montrer qu’alorskk .On utilisera cette approximationdans toute la suite du problème.
c)?Quelle est la traduction de cette approximation au niveau des équations de Maxwell Quel est le phénomène physique associé que l’on néglige alors?
d)Donner les expressions deB(r)dans l’axoplasme et dans le milieu extérieur à l’aide θ des fonctions de BesselI1etK1et en fonction dei0et dea.
3.On souhaite déterminer les particularités du signal associé à l’expression du champ ma-gnétique obtenue à la question précédente.
a)Montrer que, à l’extérieur de l’axoplasme, circule un courant total exactement opposé à celui circulant à l’intérieur.
b)Déterminer les composantes non nullesjzetjrde la densité volumique de courant   jà l’intérieur et à l’extérieur de l’axone. En déduire les composantes du champ électriqueE. Montrer queEdérive d’un potentiel scalaireψ.
4.Soitv(z, t)la différence de potentielψintψextentre l’intérieur et l’extérieur de la mem-brane à sa surface (r=a).
a)En considérant cette différence de potentiel enzet enz+dz, obtenir une relation entre la différence de potentielv(z, t)et les composantes du champ électriqueE1z(a, z, t)juste à l’intérieur de la membrane etE2z(a, z, t)juste à l’extérieur de celle-ci.
b)Montrer que la composante longitudinale deEde part et d’autre de la membrane, en r=a ,se met sous la formeE1z(a, z, t) =Z1i(z, t)dans l’axoplasme etE2z(a, z, t) =Z2i(z, t) dans le milieu extérieur.Donner les expressions deZ1etZ2.
c)Le rayon d’un axone est de l’ordre de 5µm. En déduire des expressions approchées de Z1etZ2, montrer queZ2Z1et donner une évaluation numérique deZ1. ∂v d)se met sous la forme :Montrer que ∂z ∂v =rai(z, t) ∂z raest une grandeur que l’on exprimera en fonction deaet deσ1.
e); montrer qu’il se généraliseCe résultat a été obtenu pour des ondes planes sinusoïdales à un signal en forme d’onde plane quelconque se propageant dans la directionOzmoyennant certaines conditions que l’on précisera.
Deuxième partie
On considère maintenant le rôle de la membrane dans la propagation de l’influx nerveux. Son épaisseurδest très petite devant le rayonade l’axoplasme, ce qui permet d’utiliser pour son étude une géométrie localement plane. On noterarla coordonnée dans la direction perpen-diculaire au plan de la membrane.
1.L’axoplasme et son extérieur contiennent des ions dont les concentrations sont différentes de part et d’autre de la membrane.
Exprimer la densité de courant électriquejDassocié à la diffusion d’un type d’ion de charge Zeà travers la membrane,Détant le coefficient de diffusion etn(r)la concentration ou nombre d’ions par unité de volume.
2.Placé dans un champ électriqueE,un ion de chargeZeacquiert une vitesse limiteumE um; cette mobilité est reliée au coefficient de diffusion parest la mobilité de l’ion considéré la relationD=umkBT /Ze, oùkBdésigne la constante de Boltzmann.
SoitE(r)un champ électrique perpendiculaire à la membrane; quelle est l’expression de la densité de courant électrique de conductionjEpour le type d’ion de la question précédente?
3.On suppose l’équilibre réalisé pour ce type d’ion.
a)Montrer alors que la différence de potentiel entre l’axoplasme et le liquide extérieur, Vi= (ψintψext)se met sous la forme e´q   kBT next Vi= ln Ze nint nintetnextsont les nombres d’ions par unité de volume de part et d’autre de la membrane. Interprétez cette relation en terme de facteur de Boltzmann.
+ +b)Le rapportnext/nintvaut 10 pour les ions Naet 0,04 pour les ions Kà 25C. Calculer les différences de potentiel à l’équilibreVNa+etVK+qui leur sont associées.
4.On considère maintenant le régime stationnaire où toutes les concentrationsni(r)sont indépendantes du temps.
a)Montrer que pour l’ion de type(i),la densité totale de courant électriquejine dépend pas der.
b)Montrer quejiest reliée à la différence de potentielvà travers la membrane par une relation de la formeji=gi(vVi)giest la conductance de la membrane par unité de sur-face pour l’ion considéré etVila différence de potentiel transmembranaire de l’ion à l’équilibre. Donner un schéma électrique équivalent à l’ensemble {membrane, ion}.
c)Donner l’expression de la densité de courant électrique à travers une membrane séparant Nespèces ioniques. Définir le potentiel à l’équilibreVEet la conductance équivalentegmde la membrane.
d)On observe que la différence de potentiel à l’équilibre entre l’axoplasme et le liquide extérieur vautVE=70mV . En utilisant les données numériques de la question3.b), détermi-ner laquelle des deux espèces ioniques en présence transportera le plus de courant au voisinage du potentiel d’équilibre.
5.La membrane est constituée d’un matériau diélectrique de permittivitéεm. Son modèle doit aussi comporter un condensateur de capacité surfaciquecm.
a)Donner l’expression decmet dejc, densité de courant associée à cet effet capacitif. Quel est maintenant le schéma électrique équivalent à l’ensemble {membrane, ion}?
b)Calculercmpour une membrane d’épaisseur 7 nm et de permittivité diélectrique 8ε0.
Troisième partie
1.En effectuant un bilan de charge électrique pour une longueurdzde l’axone cylindrique, donner la relation liant la densité de courant électrique totale à travers la membrane et l’intensité
du courant parcourant l’axoplasmei(z, t).
2.a)Dessiner le schéma électrique équivalent à une tranche d’axone de longueur dz.
b)Montrer que la différence de potentiel transmembranairev(z, t)obéit à l’équation :
2 ∂ v∂v 2 λτ(vVE) = 0 2 ∂z ∂t λetτsont deux paramètres dont on donnera les expressions.
3.a)Déterminer les solutions indépendantes du temps de l’équation précédente; déterminer de même les solutions indépendantes dez.
b)En déduire une interprétation physique des paramètresλetτ. Les calculer numérique-ment à l’aide des données antérieures.
Expérimentalement, on constate que lorsque l’axone est excité avec une tension supérieure de 20 mV au potentiel d’équilibre, un signal se propage appelé « potentiel d’action ». En un point, la différence de potentielvvarie de sa valeur au repos(VE=70 mV)à+40mV avec retour rapide à l’équilibre. La vitesseuet la forme du signal sont indépendantes de la tension d’excitation. On dit que la propagation du signal est un phénomène de tout-ou-rien : pas de réponse en-dessous du seuil, une réponse normalisée au-dessus et ce quelle que soit la tension excitatrice.
Pour expliquer ce phénomène, il faut supposer que la conductance de la membrane passe d’une valeur basse en-dessous du seuil à une valeur beaucoup plus grande au-dessus. Si l’on ne s’intéresse qu’à la propagation du front de montée du signal, la relation donnant la densité de courant électrique à travers la membrane (hors effets capacitifs) prend la forme : gmVsiVV <1 j(V) = g(VV2)siV >V1 V=vVE. Dans la suite, on négligeragmcargmg.
4.Écrire l’équation différentielle qui lieVetj.
5.Le front de montée se propage sans déformation à vitesseuconstante, avecu >0;Vne doit donc dépendre que de la variables=zut.
a)Réécrire l’équation précédente en variablespour les deux étatsV <V1etVV >1. Montrer que le premier correspond às >0et le second às <0.
b)Montrer qu’alorsV(s)est de la forme : A1exp(γ1s) +B1siV <V1 A2exp(+γ2s) +B2siV >V1 Donner les expressions des constantesA1, B1, A2, B2, γ1etγ2en prenant comme conditions aux limitesV=V1pours= 0,etV0lorsquez+àtfixé.
6.L’intensité dans l’axonei(s)doit être continue ens= 0. Quelle relation cela impose-t-il entreγ1etγ2?
7.En déduire que la vitesse de propagation du front de montée du signal est donnée par :   2 g(V2V1) 2 u= 2 2πaracmV1V2 Comment la vitesse de propagation du front de montée du « potentiel d’action » dépend-t-elle du rayonade l’axone?
8. Application numérique. La conductancegde l’état actif de la membrane vaut environ200 2 S m. On observe expérimentalement queV1= +20mV etV2=VVE. En utilisant les + Na données numériques des parties précédentes, calculer la vitesse de propagationu. Quelle vitesse maximale peut-on atteindre dans un axone géant d’invertébré ayant 0,2 mm de rayon?
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