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ÉCOLE POLYTECHNIQUEÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLESCONCOURSD’ADMISSION 2006 FILIÈREPCCOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée : 4 heures)L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.???Polynômes à coefficients 1 ou −1Les polynômes étudiés dans ce problème ont été introduits lors de recherches sur la spectroscopiemulti-fentes. Ils ont donné lieu à des développements mathématiques en combinatoire, théoriedes codes, analyse harmonique, et à de très nombreuses applications en optique,télécommunications, théorie des radars et acoustique.Toute affirmation devra être soigneusement justifiée. La précision, la clartéet la concision des raisonnements seront particulièrement appréciées.`Soit ` un entier au moins égal à 1. Dans ce problème, un vecteur a deR sera appelé séquencede longueur ` si chacune de ses ` coordonnées vaut 1 ou −1. Les coordonnées d’une séquence ade longueur ` seront numérotées de 0 à `−1, a = (a ,a ,...,a ). On noteraS l’ensemble des0 1 `−1 `séquences de longueur `. On appellera simplement séquence, tout vecteur qui est une séquencede longueur `, pour un certain entier `> 1.On dira que des séquencesa etb forment une paire complémentaire si elles ont même longueur` (qui sera appelée dorénavant longueur de la paire) et si elles vérifient, dans le cas où ` > 1,pour tout entier j tel que 16 j6 `−1, la j-ième condition de corrélation :`−1−jX(a a +b b ) = 0.i i+j i i+ji=0Par convention, tout couple de ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2006
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
FILIÈREPC
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
? ? ? Polynômes à coefficients1ou1
Les polynômes étudiés dans ce problème ont été introduits lors de recherches sur la spectroscopie multifentes. Ils ont donné lieu à des développements mathématiques en combinatoire, théorie des codes, analyse harmonique, et à de très nombreuses applications en optique, télécommunications, théorie des radars et acoustique.
Toute affirmation devra être soigneusement justifiée. La précision, la clarté et la concision des raisonnements seront particulièrement appréciées.
` Soit`un entier au moins égal à 1. Dans ce problème, un vecteuradeRsera appeléséquence de longueur`si chacune de ses`coordonnées vaut 1 ou1. Les coordonnées d’une séquencea de longueur`seront numérotées de 0 à`1,a= (a0, a1, . . . , a`1). On noteraS`l’ensemble des séquences de longueur`. On appellera simplementséquence, tout vecteur qui est une séquence de longueur`, pour un certain entier`>1.
On dira que des séquencesaetbforment unepaire complémentairesi elles ont même longueur `(qui sera appelée dorénavantlongueur de la paire) et si elles vérifient, dans le cas où` >1, pour tout entierjtel que16j6`1, lajième condition de corrélation : `1j X (aiai+j+bibi+j) = 0. i=0 Par convention, tout couple de séquences de longueur1est une paire complémentaire. Ainsi, pour tout entier`>1, la complémentarité d’une paire de longueur`implique`1conditions de corrélation.
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Première partie
On désigne parLl’ensemble des entiers`pour lesquels il existe au moins une paire complé mentaire de longueur`. Autrement dit,Lest l’ensemble des longueurs de paires complémentaires. Dans cette partie, on se propose d’étudier certaines propriétés de l’ensembleL.
1.Montrer que2appartient àLet que3n’appartient pas àL.
Soit`un entier au moins égal à 1. Pour toute séquence,a= (a0, a1, a, . . .`1), de longueur `, on définit le polynômePapar la formule `1 X i Pa(X) =aiX . i=0 Un tel polynôme est appelépolynôme séquentiel.
2.a)Soientaetbdes séquences. On considère la fonction définie pourxréel,x6= 0, par 11 x7→Pa(x)Pa(x) +Pb(x)Pb(x). Montrer que siaetbne sont pas deux séquences de même longueur, cette fonction n’est pas bornée sur]0,+[.
Montrer que deux séquencesaetbde même longueur forment une paire complémentaire si et seulement si cette fonction est constante. Exprimer cette constante en fonction de la longueur `de la paire complémentairea, b.
2.b)Montrer que siaetbsont des séquences de même longueur,Pa(1)etPb(1)sont des entiers de même parité. En déduire que tout élément deLpeut s’écrire comme la somme de deux carrés d’entiers.
2.c)Montrer que le complémentaire deLdansNest un ensemble infini [on pourra étudier le reste de la division par4d’un carré d’entier].
1 1 3.a)Soientaetbdes séquences de même longueur. On poseU= (Pa+Pb)etV= (PaPb). 2 2 Montrer queaetbforment une paire complémentaire si et seulement si la fonction
11 x7→U(x)U(x) +V(x)V(x)
est constante sur son domaine de définition.
3.b)Les séquences, de longueur 10,
a= (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)
et b= (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1) formentelles une paire complémentaire?
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4.Démontrer, pour toute séquencevde longueur paire2m(mN, non nul), l’équivalence des assertions suivantes : (i) 4divise la sommev0+v1+∙ ∙ ∙+v2m1, (ii) lenombre de coordonnées devégales à1a la même parité quem, m (iii)v0v1∙ ∙ ∙v2m1= (1). 5.Soit`∈ L,`>2, et soientaetbdes séquences qui forment une paire complémentaire de longueur`. Pour tout entieri,06i6`1, on posexi=aibi. 5.a)Montrer que, pour tout entierj,16j6`1, `1j Y `j xkxk+j= (1) k=0 [considérer la somme des coordonnées de la séquence(a0aj, a, . . .`1ja`1, b0bj, . . ., b`1jb`1)].
5.b)En déduire que, pour tout entierj,06j6`1, xjx`1j=1. 5.c)Montrer que tout élément`deL,`>2, est pair.
Deuxième partie
Si deux polynômes séquentiels sont associés à des séquences qui forment une paire complé mentaire, on dit qu’ils forment unepaire complémentaire de polynômes. Cette partie est consacrée à l’étude de certaines paires complémentaires de polynômes, ditespaires de RudinShapiro. On définit deux suites de polynômes(Pn)nNet(Qn)nNpar les conditions initiales P0(X) =Q0(X) = 1 et les relations de récurrence n 2 Pn+1(X) =Pn(X) +X Qn(X),(1)
n 2 Qn+1(X) =Pn(X)X Qn(X).
6.a)CalculerP1etQ1, puisP2etQ2.
(2)
6.b)Calculer les valeurs respectives dePn(1),Qn(1),Pn(1)etQn(1)en fonction de l’entiern.
7.Démontrer que, pour tout entier positifn, les polynômesPnetQnsont séquentiels et qu’ils forment une paire complémentaire. Qu’en déduire visàvis de k des entiers de la forme2, pourkentier positif ou nul, à l’ensembleL?
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des polynômes l’appartenance
8.Démontrer, pour tout entier positif ou nulnet tout nombre complexe non nulzC, l’égalité n n211 Qn(z) = (1)z Pn(z). 9.a)SoitTun polynôme quelconque deC[X], de degré exactementd,d>1, qu’on écrit d T(X) =t0+t1X+∙ ∙ ∙+tdX(avectdnon nul). Montrer que les racines deTsont toutes majorées en module par la quantité1 + sup 06i6d1|ti/td|.
9.b)Démontrer, pour toute valeur de l’entiern, que toute racine (complexe)zdu polynôme PnQnvérifie 1 6|z|62. 2 Peuton remplacer chacune de ces deux inégalités larges par une inégalité stricte? P p 10.a)Montrer qu’il existe une série entière,S(z) =t lesPsont des som p=0upz, donnmes partielles. Identifier son rayon de convergence.
10.b)La somme de la sérieSatelle des zéros dans le disque ouvert de rayon1/2centré à l’origine ?
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L’ensembleLétudié dans ce problème est encore actuellement l’objet de recherches.
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