ESSEC 1999 mathematiques i classe prepa hec (ect)

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ESSECMBACONCOURS D’ADMISSIONOption technologiqueMATHEMATIQUESILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.Exercice I: Un probl`eme de placement.On se propose de comparer les deux placements suivants:– placer au taux d’int´erˆet r une somme 2S pendant t ann´ees.– placer au taux d’int´erˆet 2r. une somme 2S pendant t ann´ees.1. Expressions des sommes obtenues a` l’issue de t ann´ees de placement.(a) On place une somme de 25 francs au taux d’int´erˆet r pendant une ann´ee. De quelle somme dispose-t-on`a l’issue de l’ann´ee de placement?(b) D´eterminer la somme S (t) obtenue en pla¸cant au taux d’int´erˆet r une somme de 25 francs durant t1ann´ees.(c) On place une somme de S francs au taux d’int´erˆet 2r pendant une ann´ee. De quelle somme dispose-t-ona` l’issue de l’ann´ee de placement?(d) D´eterminer la somme S (t) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC M B A
CONCOURS D’ADMISSION
Option technologique
MATHEMATIQUES I
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadreruderssopelbirseldalanssumeaccllu.s´esultatsdeleurs Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee. Siaucoursdel´epreuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurde´nonce´,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilseraamen´ea`prendre.
ExerciceI:Unproble`medeplacement. On se propose de comparer les deux placements suivants: placerautauxdint´erˆetrune somme 2Spendantt.seen´an placerautauxdint´erˆet2r. une somme 2Spendanttnnaes´e. 1.Expressionsdessommesobtenues`alissuedetanne´seedlpca.tneme (a)Onplaceunesommede25francsautauxdint´erˆetrneanantupendt-e-ondimeossplleumoseee´nqeD. `alissuedelanne´edeplacement? (b)D´eterminerlasommeS1(ttbneeuneo)taauduxa¸plntcat´tnieˆrerune somme de 25 francs durantt anne´es. (c) Onplace une somme deS´treeˆ2tnidxuatuascnarfrpneadtnuneann´ee.Dequeloseldemmopsit-esn-o `alissuedelanne´edeplacement? (d)D´eterminerlasommeS2(trˆ´e2etxdauntietbo)lanpeenuuttaan¸crune somme deSfrancs durantt ann´ees. (e)De´terminerenfonctionderomenllee´rerbtpine´delit´´egaarlS1(t) =S2(t). 2.Etudedutempsde´galisationdessommesobtenuesenfonctionder. Onposepourtoutnombrere´elstrictementpositifr: ln 2 T(r) = ln (1 + 2r)ln (1 +r) (a)D´eterminerlad´eriv´eeetlesensdevariationsur]0;+[ de la fonctionr7ln (1 + 2r)ln (1 +r).
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(b)End´eduirelesensdevariationdeT(r) lorsquer+e0`adtıˆorc. (c)De´terminerleslimitesdeT(r) lorsquertend vers 0 et +tnedqeiuavel,en´tuT(r) lorsquertend vers 0.
ExerciceII:Probabilite´s. On rappelle que, six:rst´ndesreiresa,ole01tirc´teeemlbsrtercuonmnpomiegnnte +X 1 n1 nx= 2 (1x) n=1 Uneexpe´rienceal´eatoireconsistea`lancerdeuxd´es´equilibre´ssimultane´ment,etlonre´pe`teind´enimentcette expe´rience. 1. Etudedu temps d’attente pour obtenir un double six. On noteTonoo`ulntpobtierpmeruale`ireoderm´nu´expeellaecneireriotae´uaiqlentirtondeiaelbae´lvalaira foisundoublesix(cesta`direou`lesdeuxd´esdonnentsimultan´ementunsix). (a)Quelleestlaprobabilit´eP(Tuolbudnruuq)1opnu`aobtesoitesixeeree´pxrpal`ime=enri?ce i`eme (b)Quelleestlaprobabilit´eP(T=nourquecesoit`al)apnqeeup,uo´preeicnex,re`eisfoaprlmire lesdeuxde´same`nentsimultan´ementunsix(n>1) ? (c)De´terminerlasommedelase´riedetermege´n´eralpourP(T=n) pourn>1. (d)De´terminerlespe´ranceE(Tre)ladebaelavirtaiolae´T. 2.Etudedutempsdattentepourquaumoinsund´eaitamene´unsix. 0 On noteTat´ealceenri´expeitbonolu`oerioi`erpremurlantpoeairaaelbvaleindiqual´eatoirredoleetnelun´m foisunsix(cesta`direo`ulundesdeuxde´saumoinsdonneunsix). (a)Quelleestlaprobabilite´pourquaucunsixnesoitobtenua`lapremi`ereexp´erience,etquevaut 0 P(T?= 1) 0ie`me (b)Quelleestlaprobabilit´eP(T=nala`tioseceurqou)pnisfo,erime`erp,uolrpaiencequeexp´er lundesde´same`neunsix? 0 (c)De´terminerlasommedelas´eriedetermege´ne´ralP(T=n) pourn>1. 0 0 (d)D´eterminer(sousformedefractionirre´ductible)lespe´ranceE(Tirtoeal´e)adblaivaealreT.
3.Etudedutempsdattentepourquechacundesde´saitamen´eunsix. 00 On noteTireindiqeal´eato´mredoleautnelunravalbail`irerpme,sfeioire´pxee´laecneo`reoiatlaurpou, chacundesd´esaamene´aumoinsunsix(sionrepr´esenteparuncouple(x,ytnels)elr´esultatindiqua nume´rosxetyreimelteoces´ddn,eesiltsr´esulesamen´esparlepreerdredesatstirnepxe´ont,cesscetodans 00 (1,4), (6,5), (6,2), (2,4), (3,6), etc, alorsTmemol`ntstece`apalrimereuqauop,pr`ereue5raccrneldvala fois,chacunde´sde´saamene´aumoinsunsix).
(a)Quelleestlaprobabilite´pourquund´enam`eneaucunsixaucoursdesesnpremiers jets? Pour qu’un de´ame`neaumoinsunsixaucoursdesesnpremiers jets? 00 (b)Quelleestlaprobabilit´eP(T6nniussnxinee´uaom´esaitamcund´esduqruahceop)essdurcoau npremiers jets (n>1) ? 00i`eme (c)Quelleestlaprobabilit´eP(T=neuepc)uoqra`alostinexiencp´eruop,euqeimerpalrisfore`e, chacundesd´esaitamen´eaumoinsunsix(n>1) ? 00 (d)De´terminerlasommedelas´eriedeterneg´ene´ralP(T=n) pourn>1 . 00 00 (e)D´eterminer(sousformedefractionirr´eductible)lesp´erance-E(Tiaareabl)daveleae´lriotT.
0 00 4.Comparerlestroisesp´erancesE(T),E(T), etE(T).
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