ESSEC 2000 mathematiques i classe prepa b/l

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ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption lettres et sciences humainesEpreuve E.N.S. B/LMATHEMATIQUES IAnnØe 2000La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l’Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre.On considŁre un combat entre trois tireurs A, B, C, qui se dØroule en une suite d Øpreuves de la fa on suivante,jusqu à Ølimination d’au moins deux des trois tireurs : Tous les tirs sont indØpendants les uns des autres. Lorsque A tire, la probabilitØ pour qu il atteigne son adversaire est Øgale à 2/3. Lorsque B tire, la probabilitØ pour qu il atteigne son adversaire est Øgale à 1/2. Lorsque C tire, la probabilitØ pour qu il atteigne son adversaire est Øgale à 1/3. Lorsque qu un des tireurs est atteint, il est dØ nitivement ØliminØ des Øpreuves suivantes. À chacune des Øpreuves, les tireurs non encore ØliminØs tirent simultanØment et chacun d eux vise le plusdangereux de ses ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC M B A
CONCOURS DADMISSION
Option lettres et sciences humaines
Epreuve E.N.S. B/L
MATHEMATIQUESI
Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
On considère un combat entre trois tireurs A, B, C, qui se déroule en une suite dépreuves de la façon suivante, jusquà élimination dau moins deux des trois tireurs :
Tous les tirs sont indépendants les uns des autres.
Lorsque A tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 2/3. Lorsque B tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 1/2. Lorsque C tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 1/3. Lorsque quun des tireurs est atteint, il est dénitivement éliminé des épreuves suivantes. À chacune des épreuves, les tireurs non encore éliminés tirent simultanément et chacun deux vise le plus dangereux de ses rivaux non encore éliminés. (Ainsi, à la première épreuve, A vise B tandis que B et C visent A): Pour tout nombre entiern>1, on considère les événements suivants : ieme ABCn: à lissue de lanépreuve, A, B et C ne sont pas encore éliminés . ieme ABnà lissue de la: népreuve, seuls A et B ne sont pas encore éliminés . On dénit de façon analogue les événementsBCnetCAn. ieme An: à lissue de lanépreuve, seul A nest pas éliminé . ieme ;nà lissue de la: népreuve, les trois tireurs sont éliminés . Enn,ABC0est lévénement certain,AB0,BC0,CA0,B0,C0,;0, lévénement impossible.
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PARTIE 1 On établit dans cette partie 1 quelques résultats probabilistes préliminaires. 1. Calculde probabilités.
(a) Exprimer,si U et V désignent deux événements quelconques dun espace probabilisé donné, la proba-bilitéP(U[V)de lévénementU[Ven fonction deP(U),P(V)etP(U\V). (b) Endéduire la probabilité pour quà une épreuve à laquelle participent A, B, C :
(A rate son tir) et (B ou C réussissent leur tir).
(c) Endéduire la probabilité pour quà une épreuve à laquelle participent A, B, C :
(A réussit son tir) et (B ou C réussissent leur tir).
2. Déterminationde probabilités conditionnelles.
(a) Montrerque lévénementABnest impossible pour tout nombre entier natureln: Dans la suite, on ne considérera donc que les événementsABCn,BCn,CAn,An,Bn,Cn,;n (b) Expliciterla probabilité conditionnelleP(ABCn+1=ABCn). (c) ExpliciterP(BCn+1=ABCn)à laide de la question l, puis donnerP(CAn+1=ABCn). (d) ExpliciterP(A =ABC),P(B =ABC)etP(C =ABC). n+1n n+1n n+1n (e) ExpliciterP(An+1=CAn),P(Bn+1=BCn),P(Cn+1=CAn)etP(Cn+1=BCn). (f) ExpliciterP(;n+1=ABCn),P(;n+1=BCn)etP(;n+1=CAn).
3. Nombremoyen dépreuves à lissue desquelles sachève le combat. On noteTla variable aléatoire indiquant le nombre dépreuves à lissue duquel cesse le combat, cest à dire au delà duquel il ne reste quun tireur au plus.
(a) Quelleest la probabilité de lévénementT= 1? (b) Soitn>2. Calculerla probabilité de lévénement suivant :
ABC\ABC\    [ABC\ABC : l2n1n
(c) Soitn>2. Calculerla probabilité de la réunion des événements suivants pour06k6n1.
ABCl\ABC2\    \ABCk\CAk+1\    \CAn:
(pourk= 0, il sagit de lévénementCAl\CA2\    \CAn) (d) Soitn>2la probabilité de la réunion des événements suivants pour. Calculer06k6n1:
ABCl\ABC2\    \ABCk\BCk+1\    \BCn:
(pourk= 0, il sagit de lévénementBCl\BC2\    \BCn) (e) Soitn>2. Calculerla probabilitéP(T >n)pour que le combat ne soit pas terminé à lissue de la ieme népreuve, et en déduire la probabilitéP(T=n)(on vériera que cette formule redonne bien pour n= 1le résultat obtenu à la question a). (f) Vérierque la somme de la série de terme généralP(T=n)(avecn>1) est égale à1, puis déterminer sous forme de fraction irréductible lespéranceE(T)de la variable aléatoireT:
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PARTIE II Dans cette partie, on détermine les probabilités pour que A, B, C remportent le combat. 1. Expressionde la matrice de transition M. (a) Onconsidère la matrice-colonneEnà sept lignes dont les sept éléments sont dans cet ordre, du haut vers le bas, P(ABC); P(BC); P(CA); P(A); P(B); P(B); P(;): n n nn n nn Expliciter une matriceMcarrée dordre 7 vériant pour tout nombre entier natureln: En+1=M En On vériera que la somme de chacune des sept colonnes de cette matriceMest égale à 1. (b) EndéduireEnen fonction den,MetE0: 2. Calculdes puissances de la matrice M. 0 00 (a) Onconsidère deux matrices carrées dordre 3 notéesU,Uet deux matrices rectangulaires à 4 lignes 0 00 et 3 colonnes notéesV,Vet lon forme les matrices carrées dordre 7 :    0 00 U OU O 0 M= ;M0 00 V I4V I4 Odésigne la matrice nulle à 3 lignes et 4 colonnes etI4la matrice-identité dordre 4.   0 00 U UO 0 00 Vérier à laide des règles du produit matriciel légalité suivante :M M= 0 0000 V U+V I4   U O (b) Expliciterles matricesUetVtelles que :M= V I 4   U O n (c) Établirenn par récurrence surn>1 légalité suivante :M= n1 V+V U+  +IV U4 3. Diagonalisationde la matrice U. (a) Déterminerles valeurs propresl,2,3deUavecl< 2< 3et les vecteurs propres associésVl,V2, V3tels que : la première composante deVlvaut 1. la troisième composante deV2vaut 1. la deuxième composante deV3vaut 1. (b) OnnotePla matrice dordre 3 dont les vecteurs-colonnes sont, dans cet ordre,Vl,V2,V3. 11 Expliciter la matrice inversePet préciser la matriceD=PP U. 4. Calculde la limite des puissances de la matrice M.
n2n1 (a) Expliciterles matricesDetI3+D+D+  +D : (b) Ondit quune suite de matrices(Xn)àplignes etqcolonnes converge vers une matriceXàplignes etqcolonnes si chaque coe¢ cient de la matriceXnconverge quandntend vers +1vers le coe¢ cient correspondant de la matriceX: On admettra (sous réserve dexistence) que la limite dun produit est le produit des limites. n Expliciter à laide des résultats précédents les limites des deux suites matricielles (D)et(I3+D+ 2n1n2n1 D+  +D)puis des trois suites matricielles (U),(I3+U+U+  +U)et(V+V U+ 2n1 V U+  +V U): n (c) Endéduire enn les limites des deux suites matricielles (M)et (En): (d) Vérierque les suitesP(ABCn),P(BCn)etP(CAn)convergent vers 0 et expliciter sous forme dune fraction irréductible les limites des suitesP(An),P(Bn),P(Bn),P(;n). Comparer les probabilités respectives pour que A , B , C remportent le combat.
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