ESSEC 2000 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

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ESSEC 2000. Math 1 option scientifiqueDans l’ensemble du probl`eme, on d´esigne par n un nombre entier naturel non nul et par IR [X]nl’espace vectoriel des fonctions-polynomˆ es de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.On note P le sous-ensemble de IR [X] form´e des fonctions-polynomˆ es unitaires et de degr´e n,n nnautrement dit des fonctions-polynˆomes de degr´e n et dont le coefficient de x est ´egal a` 1.L’objectifduprobl`emeestded´eterminerdesfonctions-polynˆomesP appartenant`aP etr´ealisantnle minimum sur P de chacune des trois expressions suivantes :nsZ Z+1 +12N (P) = |P(x)| dx ; N (P) = P (x)dx ; N (P) = sup |P(x)|1 2 ∞−1≤x≤1−1 −1Les trois parties du probl`eme sont consacr´ees a` la r´esolution des trois probl`emes ainsi d´efinis. Lapartie 1 est ind´ependante des deux suivantes.Partie 1 Minimisation de N (P) pour P d´ecrivant P2 nOn associe `a tout couple (P,Q) de fonctions-polynomˆ es de IR [X] le nombre r´eel suivant :nZ 1hP,Qi = P(t)Q(t)dt01) Montrer que l’application (P,Q)7→hP,Qi d´efinit un produit scalaire sur IR [X].n2) On consid`ere la fonction f associant `a tout n-uplet (x ,x ,...x ) de nombres r´eels0 1 n−1l’expression suivante (qui repr´esente le carr´e de la distance entre les deux fonctions-n n−1polynˆomes t7→t et t7→x t +···+x t+x de IR [X]) :n−1 1 0 nZ 1n n−1 n−2 2f(x ,x ,...,x ) = (t −x t −x t −···−x t−x ) dt0 1 n−1 n−1 n−2 1 00a) Citer avec pr´ecision le th´eor`eme permettant d’affirmer l’existence et l’unicit´e d’un n-uplet(a ,a , ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC 2000. Math 1 option scientifique Danslensembleduproble`me,onde´signeparnun nombre entier naturel non nul et par IRn[X] lespacevectorieldesfonctions-polynˆomesdedegr´einfe´rieurou´egal`an. On note Pnle sous-ensemble de IRn[Xer´foncedesorm´]fsemoˆnylop-snoitegedtdsereaiitunn, n autrementditdesfonctions-polynˆomesdedegr´enet dont le coefficient dexes.1`aalegt´ Lobjectifduproble`meestded´eterminerdesfonctions-polynoˆmesP`antaParppnatentnet´raeilas le minimum sur Pnde chacune des trois expressions suivantes : s Z Z +1 +1 2 N1(P) =|P(x)|dx;N2(P) =P(x) dx;N(Psup) =|P(x)| 111x1 Lestroispartiesduproble`mesontconsacr´ees`alar´esolutiondestroisprobl`emesainsid´enis.La partie1estind´ependantedesdeuxsuivantes.
Partie 1Minimisation deN2(P)pourPcr´edvinatPn Onassocie`atoutcouple(P, Qsnoilop-fed)tcnoReIˆoynsdmen[X:tnaerbr]olmenivsuel´e Z 1 hP, Qi=P(t)Q(t) dt 0 1)Montrer que l’application (P, Q)7→ hP, QiutinorpntiudlacsairesurIRed´n[X]. 2)nOocsndie`eralofnoitcnftnaicossautto`an-uplet (x0, x1, . . . xn1elssr´embreedon) lexpressionsuivante(quirepre´sentelecarre´deladistanceentrelesdeuxfonctions-n n1 polynˆomest7→tett7→xn1t+∙ ∙ ∙+x1t+x0de IRn[X]) : Z 1 n n1n2 2 f(x0, x1, . . . , xn1() =txn1txn2t− ∙ ∙ ∙ −x1tx0) dt 0 a)elt-npu´rpcevaretiCcesioilnte´hoe`remepermettantdaemrelrtsixecneleticun´eitund(a0, a1, . . . , an1)risan´ealminimeltose´d(muotsnairm´emn) de l’expressionf(x0, x1, . . . , xn) n lorsque (x0, x1, . . . , xn1RI,teomd)e´rctisceuerqrentnmbnoslee´rsera0, a1, . . . , an1 v´erientlesnrelations suivantes : Z 1 n n1n2k (tan1tan2t− ∙ ∙ ∙ −a1ta0)tdt0o`u0=k < n 0 On explicitera cesnrelations en calculant lesnci-drantspoure0ssu´tgenisugarelk < n. b)osepOnpelree´morbuontuotrxdistinct de1,2, . . .n,n1 : 1an1an2a1a0 F(x) =− −− ∙ ∙ ∙ − x+n+ 1x+n x+n1x+ 2x+ 1 Etablirlexistencedunre´elatel que l’on ait pourxdistinct de1,2, . . .n,n1 : (x+n+ 1)(x+n)(x+n1)∙ ∙ ∙(x+ 2)(x+ 1)F(x) =ax(x1)(x2)∙ ∙ ∙(xn+ 1). De´terminerlavaleurdeaen faisant tendrexversn1 dans chacun des deux membres dele´galite´pre´c´edente(onexprimeraaen fonction den! et (2n)!). c)lbrile´Eatse´tilag:etnaviu Z 1 n n1n2n mn=f(a0, a1, . . . , an1() =tan1tan2t− ∙ ∙ ∙ −a1ta0)tdt 0 4 (n!) d)Etablir enfin quemn=F(nque)tene´ddeiuermn= . (2n)!(2n+ 1)! 3)uomtiatnnenaltpeOnr´esasimnoitedblrome`eladenimiN2(P) lorsquePditP´ecrn. a)uotrPofcnuoetol-pontimeˆoynPanetrappaPa`tnn, effectuer le changement de variables d´eniparx= 2tdesionrpselxeadsnartnalgrgueisl´entnad1N2(Ptend)e:euqeriude´ n N2(P)2 2mn. b)erdedu´imEinlemuniemdN2(P) lorsquePritPce´dn.
Partie II :Minimisation deN(P)pourPtanivcr´edPn Onconside`relasuitedesfonctions(Tkrseapein)´dT0(x) = 1, T1(x) =xpuis, pourk1, par larelationdere´currence: Tk+1(x) = 2xTk(x)Tk1(x). Parailleurs,onrappellelaformuledetrigonome´triesuivante:2cosacosb= cos(a+b)+cos(ab). 1)ri´et´esquespropoisnedfsnotcscanedditu´eOnleuqnoitseuqetteTk. k1 a)Montrer queTkdedemoˆne´rgeste-noiylopfenutcnok(, de coefficient dominant 2k1). b)id`econsnombreun´rerleenOθ. Exprimer en fonction deθles nombresT1(cosθ), T2(cosθ), T3(cosθ) et montrer que Tk(cosθ) = cos() pour tout nombre entier naturelk. 2)dememalerpel`lboteinntnaso´emautOrniondeinimisatN(P) lorsqueP´dceirPtn. a)-noiylopfenutcnoomnˆeocsndie`nOnexiste,re,silePrtpaanen`atpPan, telle que : 1 N(P) =sup|P(x)|< n1 1x12    1kπ kπ ce´rP0urpoerisknle signe deTncos( )Pcos( ). n1 2n n n1 eundEdu´eeqirTn/2Padmet au moinsnecunirblicadtronnoitnesrraciel,se´lee´atupsi n1 enexaminantledegre´deTn/2P. b)du´eelirndEedNImenimimu(P) lorsquePd´ecritPn. Partie III :Minimisation deN1(P)pourPtnirav´dcePn Onconsid`erelasuitedesfonctions(Ukd)ne´pseiraU0(x) = 1, U1(x) = 2xet pourk1 par : Uk+1(x) = 2xUk(x)Uk1(x). 1)eupseuql´iteorrptteqnsceionquest´nOadeidutenoscnitseofe´dsUk. a)Montrer queUk´reestnoreosdngetdominancoecien.tp-noitcnofenutseisecr´,pmeˆoynol k Etablir de plus queUk(x) = (1)Uk(x). b)D´mineeterustilrsese(uk)´vtlanierioatelaruce´redn:ecnerruk+12 cosθuk+uk1= 0. Ende´duirepourtoutnombrer´eelθppaetratnan0]a`, π[ l’expression deUk(cosθ) en fonction   de sin(k+ 1)θet sinθ´eteuisdnim,rpreUk(1) etUk(edidnpu)`1aal.alilimetsaasega`   c)rivantlaEnd´eontilareTk+1(cosθ) = cos (k+ 1)θ, exprimer (k+ 1)Uken fonction de la d´eriv´eedeTk+1. 2)otruontuerbmee´rlPox, on note sgn(x) la fonction ”signe dex,´deinpera: sgn(x) = 1 six >0,sgn(x) = 0 six= 0,sgn(x) =1 six <0 Onconsid`ere,silenexiste,unefonction-polynoˆmePP`antnaetrappan, telle que : Z 1   k (?)xsgnP(x) dx`o0u0=k < n. 1 a)noitlop-etuocnof,perrtouPuvromeynˆoQtenapparPatna`nlati´gel,:teanivsu´e Z 1    Q(x)P(x) sgnP(x) dx= 0. 1 b)reuiequnEde´dN1(P)N1(Q).   c)Claucellrint´egraleN1(Un)`dedialamegnahcuarevtdenesbliax= cosθ/(n`ou1+)θ d´ecritlesegment[0,(n+ 1)π]. n Enadmettantquelafonction-polynˆomeUn/e(esh`lehpyto2´vrei?du´end,e)muminimeleri deN1(P) lorsqueP´ecrdtiPn. 2
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