ESSEC 2000 mathematiques i classe prepa hec (ect)

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ESSECMBACONCOURS D’ADMISSIONOption technologiqueMATHEMATIQUESILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.EXERCICE 1 (Questions de taux d’int´erˆet)Dans tout cet exercice, on d´esigne par S et x deux nombres r´eels tels que S > 0 et x> 0.1. La somme S est plac´ee deux ann´ees cons´ecutives au taux d’int´erˆet x.(Le taux x d´esigne un nombre tel que 0 < x < 1. Ainsi, si le taux est de 4%, on a x = 0.04). De quellesomme S dispose-t-on `a l’issue des deux ann´ees de placement?12. La somme S est plac´ee la premi`ere ann´ee au taux 2x et la seconde ann´ee au taux y. De quelle somme S2dispose-t-on a` l’issue des deux ann´ees de placement?3. Montrer que l’´egalit´e de ces placements, c’est `a dire l’´egalit´e S = S , ´equivaut `a une ´egalit´e de la forme1 2y = f(x) ou` f est une fonction deR dansR que l’on explicitera.+ ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC M B A
CONCOURS D’ADMISSION
Option technologique
MATHEMATIQUES I
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadreruderssopelbirseldalanssumeaccllu.s´esultatsdeleurs Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee. Siaucoursdel´epreuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurde´nonce´,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilseraamen´ea`prendre.
EXERCICE 1´tnidxuatedsnoiuest(Qt)ˆeer Danstoutcetexercice,ond´esigneparSetxsleesletrbmo´rsedeuxnequS >0 etx>0. 1. LasommeSreeˆni´ttivesecutuxdauta´nnaxued´snocseeeseec´latpx. (Le tauxxterbuqle0edsi´eeugnomnn< x <1. Ainsi, si le taux est de 4%, on ax= 0.04). De quelle sommeS1t?emenplacesdenne´ueaxeddssseuialn`-o-tsepoisd 2. LasommeS2xe´aetuuaeri`nnealaeeemprptse´calxn´eeautauexcondeaneltsay. De quelle sommeS2 dispose-t-on`alissuedesdeuxanne´esdeplacement? 3.Montrerquele´galite´decesplacements,cest`adirele´galite´S1=S2´,qeiuavtua`une´egalit´edelamrofe y=f(xo)u`fest une fonction deR+dansR+que l’on explicitera. 0 4. Calculerf(xtiiadeone´dnete)eselirduarevsdenfsurR+gnatetneqisnaleuaieestntaviberepr´e`alacour x defetimilaletuinsrenemieretD´ne.0Ldef(x)quandxtend vers +ernertiuoCsnusnmnuremeˆ 2 x graphiquelescourbesrepr´esentativesdesdeuxfonctions:y= +Lety=f(x). 2 EXERCICE 2se)il´tbibaro(P DeuxjoueursAetBsarontentdansunjeudelamanie`resuivante: Ajouelepremieretjettedeuxde´s:Silasommedespointsobtenusest5,Agagne.Lejeucessealors. Sinon,Bjouea`sontouretjettedeuxd´es:Silasommedespointsobtenusest7,Bgagne.Lejeucessealors. Sinon,letourrevient`aAetonpoursuitcommeci-dessusjusqua`cequeAouBaitgagne´. 1.Probabilit´epourquelasommedespointsdonne´spardeuxd´esfasse5ou7
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(a) Indiquersous forme de couples (i, j´rselusestatjsed)lelsquseetxu´dseedtedsi+j= 5. (b)Ende´duirelaprobabilit´epourquelasommedespointslorsdujetdesdeuxd´esfasse5. (c) Indiquersous forme de couples (i,jxd´esdeusquestel´esrle)dstatlusedstejsei+j= 7. (d)Ende´duirelaprobabilit´epourquelasommedespointslorsdujetdesdeuxd´esfasse7. 2.Probabilit´epourqueAouBgagnelorsdespremiersjetsdesd´es (a)D´eterminerlaprobabilite´pourqueAgagneaupremierjetdesdeuxd´es. (b)D´eterminerlaprobabilite´pourqueBgagneaudeuxi`emejetdesdeuxd´es(cequisupposequeAait perduaupremierjetdesdeuxde´s). ie`me De´terminerlaprobabilit´epourqueAgagneau(2n+ls()jedteuedse´dxn>0). ie`me D´eterminerlaprobabilite´pourqueBgagneau(2nesd´uxde()2+sedtejn>0). 3.Calculdesommesdese´ries (a)Calculerlessommesdesdeuxs´eriessuivantes:   +n+n X X 1 204 20 , . 9 2727 27 n=0n=0 (b)End´eduirelesprobabilite´saetbpour que A et B gagnent le jeu. 4.Nombremoyendejetsdesdeuxd´esn´ecessairea`lache`vementdujeu. Ond´esigneparTeve`hcasuejleelquduuessiale´`suedxerdadasieljsvtarle´deeanbolmebanetilnedtiqouiar par la victoire de A ou B. (a)De´terminerlesprobabilit´esp(T= 2net+ 1)p(T= 2npour+ 2)n>0. Ve´rierquelasommedelase´riedetermege´ne´ralp(T=k) aveck>e1tse´agela`.1 Calculerlessommesdesdeuxse´riessuivantes:    +n+n X X 1 204 20 (2n+ 1),(2n+ 2) 9 2727 27 n=0n=0 1 n1 (On rappelle que pour06x <1alosri´eetededmmaselare´lemrene´gnxest . 2 (1x) (b)End´eduirelesp´eranceE(Tavaled)alleabrireoiat´eT.
EXERCICE 3(Analyse) Onconsid`erensmonserbee´rtsslctrienemostpifitx1, x2, ..., xn(avecn>1) et on se propose de prouver que leur moyenneg´eome´triqueestinfe´rieurea`leurmoyennearithme´tique,soit: x1+x2+...+xn n (In) :x1x2...xn6 n 1.Unein´egalit´e´equivalente Etablirquelin´egalit´epr´ec´edente(Inqe´taviuse)vantasuie`allent:e ln(x1) + ln(x2) +...+ ln(xn)x1+x2+...+xn (Ln) :6ln( ). n n 2.De´monstrationdeline´galite´initiale (a)Ecrirel´equationdelatangentea`lacourbed´equationy= lnxau point d’abscissec(c >0)). (b)Etudierlesvariationsdelafonctionsuivante,puisende´duiresonsigne: xc Φ(x) = lnxlncc
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