ESSEC 2000 mathematiques ii classe prepa hec (ece)

Publié par

ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption ØconomiqueMATHEMATIQUES IIAnnØe 2000La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sacopie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre .On considŁre un combat entre trois tireurs A, B, C, qui se dØroule en une suite d Øpreuves de la fa on suivante,jusqu à Ølimination d’au moins deux des trois tireurs : Tous les tirs sont indØpendants les uns des autres.2 Lorsque A tire, la probabilitØ pour qu il atteigne son adversaire est Øgale à .31 Lorsque B tire, la probabilitØ pour qu il atteigne son adversaire est Øgale à .21 Lorsque C tire, la probabilitØ pour qu il atteigne son adversaire est Øgale à .3 Lorsque qu un des tireurs est atteint, il est dØ nitivement ØliminØ des Øpreuves suivantes. A chacune des Øpreuves, les tireurs non encore ØliminØs tirent simultanØment et chacun d eux vise le plusdangereux de ses rivaux non encore ØliminØs.(Ainsi, à la ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 820
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
ESSEC M B A
CONCOURS DADMISSION
Option économique
MATHEMATIQUESII
Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
On considère un combat entre trois tireurs A, B, C, qui se déroule en une suite dépreuves de la façon suivante, jusquà élimination dau moins deux des trois tireurs :
Tous les tirs sont indépendants les uns des autres. 2 .Lorsque A tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 3 1 Lorsque B tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à. 2 1 .Lorsque C tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 3 Lorsque quun des tireurs est atteint, il est dénitivement éliminé des épreuves suivantes.
A chacune des épreuves, les tireurs non encore éliminés tirent simultanément et chacun deux vise le plus dangereux de ses rivaux non encore éliminés.
(Ainsi, à la première épreuve, A vise B tandis que B et C visent A). Pour tout nombre entiern>1, on considère les événements suivants : ABCn: à lissue de lan-ième épreuve, A, B et C ne sont pas encore éliminés . ABnà lissue de la: n-ième épreuve, seuls A et B ne sont pas encore éliminés . On dénit de façon analogue les événementsBCn, etCAn. An: à lissue de lan-ième épreuve, seul A nest pas éliminé . On dénit de façon analogue les, événementsBnetCn. ;nà lissue de la: n-ième épreuve, les trois tireurs sont éliminés . Enn,ABC0est lévénement certain,AB0,BC0,CA0,A0,B0,C0,;0lévénement impossible.
1/3
PARTIE 1 On établit dans cette partie1quelques résultats probabilistes préliminaires. 1. Calculde probabilités
(a) Exprimer,siUetVdésignent deux événements quelconques dun espace probabilisé donné, la proba-bilitép(U[V)de lévénementU[Ven fonction dep(U),p(V)etp(U\V). (b) Endéduire la probabilité pour quà une épreuve à laquelle participent A, B, C : (A rate son tir) et (B ou C réussissent leur tir). (c) Endéduire la probabilité pour quà une épreuve à laquelle participent A, B, C : (A réussit son tir) et (B ou C réussissent leur tir).
2. Déterminationde probabilités conditionnelles
(a) Montrerque lévénementABnest impossible pour tout nombre entier natureln. Dans la suite, on ne considérera donc que les événementsABCn,BCn,CAn,An,BnCn,;n. (b) Expliciterla probabilité conditionnellep(ABC =ABC). n+1n (c) Expliciterp(BCn+1=ABCn)à laide de la question 1, puis donnerp(CAn+1=ABCn). (d) Expliciterp(An+1=ABCn),p(Bn+1=ABCn)etp(Cn+1=ABCn). (e) Expliciterp(An+1=CAn),p(Bn+1=BCn),P(Cn+1=CAn)etp(Cn+1=BCn). (f) Expliciterp(;n+1=ABCn),P(;n+1=BCn)etp(;n+1=CAn).
3. Nombremoyen dépreuves à lissue desquelles sachève le combat On noteTla variable aléatoire indiquant le nombre dépreuves à lissue duquel cesse le combat, cest à dire au delà duquel il ne reste quun tireur au plus.
(a) Quelleest la probabilité de lévénementT= 1? (b) Soitn>2. Calculerla probabilité de lévénement suivant :
ABC1\ABC2\:::ABCn1\ABCn
(c) Soitn>2la probabilité de la réunion des événements suivants pour. Calculer06k6n1
ABC1\:::\ABCk\CAk+1\:::\CAn
(pourk= 0, il sagit de lévénementCA1\CA2\:::\CAn) (d) Soitn>2la probabilité de la réunion des événements suivants pour. Calculer06k6n1:
ABC\:::\ABC\BC\:::\BC 1k k+1n
(pourk= 0, il sagit de lévénementBC1\BC2\:::\BCn) (e) Soitn>2la probabilité. Calculerp(nT >)pour que le combat ne soit pas terminé à lissue de la n-ième épreuve, et en déduire la probabilitép(T=n)(on vériera que cette formule redonne bien pour n= 1le résultat obtenu à la question 3a. (f) Vérierque la somme de la série de terme généralp(T=n)(avecn>1) est égale à 1, puis déterminer sous forme de fraction irréductible lespéranceE(T)de la variable aléatoireT.
2/3
PARTIE Il Dans cette partie, on détermine les probabilités pour que A, B, C remportent le combat. 1. Expressionde la matrice de transitionM (a) Onconsidère la matrice-colonneEnà sept lignes dont les sept éléments sont dans cet ordre, du haut vers le bas,p(ABCn),p(BCn),p(CAn),p(An),p(Bn),p(Cn),p(;n). Expliciter une matriceMcarrée dordre 7 vériant pour tout nombre entier natureln: En+1=M En: On vériera que la somme de chacune des sept colonnes de cette matrice M est égale à1 (b) EndéduireEnen fonction den, deMetE0. 2. Calculdes puissances de la matriceM 0 (a) Onconsidère deux matrices carrées dordre 3 notéesU,U"et deux matrices rectangulaires à 4 lignes 0 et 3 colonnes notéesV,V"et lon forme les matrices carrées dordre 7    0 U OU"O 0 00 M=; M= 0 V I4V"I4 Odésigne la matrice nulle à 3 lignes et 4 colonnes etI4la riatrice-identité dordre4. Vérier à laide des règles du produit matriciel légalité suivante :   0 U O 0 M M" = 0 V U" +V"I4   U O (b) Expliciterles matricesUetVtelles que :M= V I4   U O n (c) Etablirenn par récurrence surn>1légalité suivante :M= n1 V+V U+::+IV U4 3. Diagonalisationde la matriceU (a) Déterminer les valeurs propres1; 2; 3deUavec1< 2< 3et les vecteurs propres associés V ;V ;Vtels que : 1 2 3 lapremièrecomposante deV1vaut1. latroisièmecomposante deV2vaut1. ladeuxièmecomposante deV3vaut1. (b) OnnotePla matrice dordre3dont les vecteurs-colonnes sont, dans cet ordre,V1; V2; V3. Expliciterla 11 matrice inversePet préciser la matriceD=P UP. 4. Calculde la limite des puissances de la matriceM n2n1 (a) Expliciterles matricesDetI3+D+D+:::+D. (b) Ondit quune suite de matrices(Xn)àplignes etqcolonnes converge vers une matriceXàplignes etqcolonnes si chaque coe¢ cient de la matriceXnconverge quandntend vers+1vers le coe¢ cient correspondant de la matriceX. On admettra (sous réserve dexistence) que la limite dun produit est le produit des limites.Expliciter à n2n1 laide des résultats précédents les limites des deux suites matricielles(D)et(I3+D+D+:::+D), n2n1 2n1 puis des trois suites matricielles(U),(I3+U+U+:::+U)et(V+V U+V U+:::+V U). n (c) Endéduire enn les limites des deux suites matricielles(M)et(En). (d) Vérierque les suites(p(ABCn)),(p(BCn))et(p(CAn))convergent vers0et expliciter sous forme dune fraction irréductible les limites des suites(p(An)),(p(Bn)),(P(Cn)),(P(;n)).Comparer les probabilités respectives pour que A, B, C remportent le combat.
3/3
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.