ESSEC 2000 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

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ESSEC 2000, math2, Option scientifiqueOn consid`ere un combat entre trois tireurs A, B, C, qui se d´eroule en une suite d’´epreuves de lafa¸con suivante, jusqu’a` ´elimination d’au moins deux des trois tireurs :• Tous les tirs sont ind´ependants les uns des autres.• Lorsque A tire, la probabilit´e pour qu’il atteigne son adversaire est ´egale a` 2/3.•e B tire, la pilit´e pour qu’ile son adv est ´egale `a 1/2.• Lorsque C tire, la probabilit´e pour qu’il atteigne son adversaire est ´egale a` 1/3.•e qu’un des tireurs est atteint, il est d´efinitivement ´elimin´e des ´epreuves suivantes.• A chacune des ´epreuves, les tireurs non encore ´elimin´es tirent simultan´ement et chacun d’euxvise le plus dangereux de ses rivaux non encore ´elimin´es.(Ainsi, a` la premi`ere ´epreuve, A vise B tandis que B et C visent A).Pour tout nombre entier n≥ 1, on consid`ere les ´ev´enements suivants :hh iiABC : a` l’issue de la n-i`eme ´epreuve, A, B et C ne sont pas encore ´elimin´es .nhh iiAB : `a l’issue de la n-i`eme ´epreuve, seuls A et B ne sont pas encore ´elimin´es .nOn d´efinit de fa¸con analogue les ´ev´enements BC et CA .n nhh iiA : a` l’issue de la n-i`eme ´epreuve, seul A n’est pas ´elimin´e .nOn d´efinit de fa¸con analogue les ´ev´enements B et C .n nhh ii∅ : a` l’issue de la n-i`eme ´epreuve, les trois tireurs sont ´elimin´es .nEnfin, ABC est l’´ev´enement certain, AB , BC , CA , A , B , C , ∅ l’´ev´enement impossible.0 0 0 0 0 0 0 0Partie IOn d´etermine dans cette ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC 2000, math2, Option scientifique
Onconsid`ereuncombatentretroistireursA,B,C,quireuoes´dnuseelne´edteuisdveeuprale fac¸onsuivante,jusqua`e´liminationdaumoinsdeuxdestroistireurs: nastepdndne´noitres.sautnsdelesustlessirusTo LorsqueAevdaiasrseerge´tiquttlagneionesale`a2al,eriturpo´eitilabobpr/3. LorsqueBosengietasrevdanouept´liatilurqiterl,paorabibst´eiree`a1gale/2. LorsqueCeittesgnquurlaitiliope´rpalbaboegale`a1iaerse´tnodaevsrri,et/3. ssuieLuovreses.vantle,inteitttaesrsueritsednuuqeuq´epredesmin´´eliemtniteveints´d es,lesuvsnurretierocneno´nimile´ucencAahpeered´sxeuestirentsimultane´emtntehccanud viseleplusdangereuxdesesrivauxnonencoree´limin´es. (Ainsi,`alapremie`ree´preuve,AviseBtandisqueBetCvisentA). Pour tout nombre entiernsnoce`dino,1ne´entmelereevs´ntvauisss: hh ii ABCnssila`:aledeun-e´epi`eme,reuvA,BetCenosescntnape´orimel´ein.s ABne:laa`sildeusnevs,uesl-i`eme´epreuAetB.s´eenionsmile´erocnesaptn hh ii Onde´nitdefa¸conanalogueles´eve´nementsBCnetCAn. Anaelisledsu:a`n`e-ievs,ueleme´rpueA´elimin´ene.stpas hh ii Onde´nitdefa¸conanalogueles´ev´enementsBnetCn. nla`ussiaede:ln´epr`eme-itsrirtiol,seueevn´mili´entsorseu.se hh ii Enfin,ABC0lt´vee´enemtnecrsteain,AB0,BC0,CA0,A0,B0,C0,0.biel´l´eevmeneimntsspo Partie I Ond´eterminedanscettepartieIlesprobabilite´spourqueA,B,Cremportent le combat. 1)laCdluclit´es.eprobabi a)Exprimer, siUetVocleuqstnemene´v´euxdentneigesd´no´n´sdeibilorabacepnespsdunque,e laprobabilite´p(UVde)´elenv´menetUVen fonction dep(U),p(V) etp(UV). b)obprlare´eitilabiude´dnE`alaeuvelepaqueluq`oprue´rpuaentipenrticA,B,C (Arate son tir) et (BouClentseissseur´.)ritru c)ueaqeplluvreale`tnitraepicbabilit´irelaproa`nu´epepeuoqruude´dnEA,B,C (Asuisre´it)rstnoet(BouCtrueltne.)rirsiss´eus 2)´Dnamieretprdeontibobalitie´csnoidtionnelles a)qrerleu´ve´menetenMontABnest impossible pour tout nombre entier natureln. Danslasuite,onneconside´reradoncqueles´eve´nementsABCn,BCn,CAn,An,Bn,Cn, n. b)paorabibilicetlrExpellnoce´tilennoitidp(ABCn+1/ABCn). c)Expliciterp(BCn+1/ABCnala)`ui,ponsdrnedediqaletseu1noip(CAn+1/ABCn). d)Expliciterp(An+1/ABCn),p(Bn+1/ABCn) etp(Cn+1/ABCn). e)Expliciterp(An+1/CAn),p(Bn+1/BCn),p(Cn+1/CAn) etp(Cn+1/BCn). f )Expliciterp(n+1/ABCn),p(n+1/BCn) etp(n+1/CAn). 3)nd´eprembremoyeoNbmtaelocchave`eelqussleussisedesevula` On noteTialuessquduceellesseeatoeal´iablavarls`veeupr´edremboneltnauqidnieri combat,cest`adireaudel`aduquelilnerestequuntireurauplus. a)eelleuQborpaltsit´eabil´ev´delnetnemeT= 1 ? b)Soitnelucpalr2laC.edt´´elbarolibitnusvinavee´enemt: ABC1ABC2. . .ABCn1ABCn c)Soitnru0tssuementspoivanaprllecual.C2lera´tdeibilorabv´enes´eiond´eunkn1 : ABC1. . .ABCkCAk+1. . .CAn (pourkmenetli,0=sagitdel´ev´enCA1CA2. . .CAn).
d)Soitnne´entmedeonevs´uops0riusstnavlaprobabCalculeral´rueinlitie´ed2.kn1 : ABC1. . .ABCkBCk+1. . .BCn (pourkgials,i=0tnemene´ve´ledtBC1BC2. . .BCn). e)Soitne.C2cualellrpaorabibil´tp(nT >)pourquelee`n´mieruessialentabmoctsaptios de lanetenuve,uired´ed-`ipeerme´eitil´eprlaabobp(T=nire´are)vno(formulequecette redonne bien pourn=.)anoitseuqala`unteobatltsu´eer1l f )eimr´dgetsearee´adrellenoesem´muelaerq´eriVp(T=n) (avecn`elage´tsiup,1a1)es d´eterminersousformedefractionirr´eductiblelesp´eranceE(Ted)avalabrialleat´ereoiT. 4)it´eabilProbqreupsuoA,B,Cremportent le combat a)´enementve´leuqrertnoMArempouessladeab`tlaitrlecemoni`-e´emtseerpeevu hh ii impossible sinurqrentegt´esiltnavissomte,1=´enes´evssuimental´rlaa`noedueinn2 : ABC1. . .ABCkCAk+1. . .CAn1Anpour 0kn2 (pourktne=m0e,ni´eev´eltdgialsCA1CA2. . .CAn1An). b)equ´eiturpobalirpborealclluCaAtabmla`etroocelampreissuedeln(-i`emee´rpueevn2). c)eralrpbonE´ddeiupourqueabilit´eAoceltabmpmeretrorediurpoe(c`astsaioptnlseuqie´limin´ea`lissueducombat). d)te´Dlameˆeemrdnemierprobabilit´epouruqeBremporte le combat. e)Dte´einrmedremeˆmpaleabort´epbiliueourqCremporte le combat. Partie II Danscettepartie,onretrouvepardesme´thodesmatricielleslesprobabilite´spourqueA,B,C remportentlecombatennutilisantquelesre´sultatsdesquestionsI.1etI.2. 1)Expression de la matrice de transitionM a)matairecc-lonoenOnconsid`erelEnrd,eontdntssetoranscpesseltneme´le´tptse`adoesgnli du haut vers le bas,p(ABCn),p(BCn),p(CAn),p(An),p(Bn),p(Cn),p(n)). Expliciter une matriceMacrre´de´eriantordre7vbmonneerruoptuotlreertitunan: En+1=M En. Onv´erieraquelasommedechacunedesseptcolonnesdecettematriceMest´egale`a1. b)Edne´udrieEnen fonction den, deMetE0. 2)Calcul des puissances de la matriceM 0 00 a)`eidnscoOnee´tse3noordresdrr´eseacrtcixuameredU,Uet deux matrices rectangulaires 0 00 a`4ligneset3colonnesnot´eesV,Vamselemracsecirtfoonletesdrr´ee7:ordr    0 00 0U000U0 M=, M= 0 00 V I4V I4 o`u0de´signelamatricenulle`a3ligneset4colonnesetI4dordre4.lmataireci-edtntie´ V´eriera`laidedesre`glesduproduitmatriciell´egalite´suivante:   0 00 0 00U U0 M M= 0 0000 V U+V I4   U0 Expliciter les matricesUetVtelles que :M= . V I4 b)usecruce´nerrnenrrpataEirbln1tn:euivat´esgalil´e   n nU0 M= n1 V+V U+∙ ∙ ∙+V UI4 3)Diagonalisation de la matriceU a)rppoersDete´inrmleeralsvrseuλ1, λ2, λ3deUavecλ1< λ2< λ3et les vecteurs propres associ´esV1, V2, V3tels que - laremi`epercomposante deV1vaut 1. 2
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