ESSEC 2000 mathematiques iii classe prepa hec (ece)

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ESSECCONCOURS D’ADMISSION 2000Option ´economiqueMath´ematiques IIIMardi 9 Mai 2000 de 8h `a 12h——————————————La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entrerontpour une part importante dans l’appr´eciation des copies. Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possibleles r´esultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de toutmat´eriel ´electronique est interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICE 1 (Fonction de production de Cobb-Douglas)Une entreprise produit des biens B dont la fabrication n´ecessite :• un certain volume d’heures de travail, d´esign´e par x dans la suite (avec x> 0).• un certain volume d’´equipements, d´esign´e par y dans la suite (avec y > 0).On suppose que la quantit´e de biens B produits avec un volume d’heures de travail ´egal a` x et un volumed’´equipements ´egal a` y est :a bf(x,y) =x you` a, b d´esignent deux nombres r´eels tels que 0 0 le volume x des heures de travail et le volume y des´equipements. Par quel facteur est multipli´ee la ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC CONCOURS D’ADMISSION 2000 Option´economique Mathe´matiquesIII Mardi9Mai2000de8ha`12h ——————————————
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualite´delar´edaction,laclart´eetlapre´cisiondesraisonnementsentreront pourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies.Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossible lesr´esultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetout mate´riel´electroniqueestinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautoris´ee.
EXERCICE 1(Fonction de production de Cobb-Douglas) UneentrepriseproduitdesbiensBdontlafabricationne´cessite: ncutaerovniemulehdserusegi,l´dvaiaedrtarn´epxdans la suite (avecx >0). cnu´edmeluvointaerstd,e´isuqpimenegn´eparydans la suite (avecy >0). Onsupposequelaquantit´edebiensBproduitsavecunvolumedheuresdetravail´egala`xet un volume de´quipementse´gala`yest : a b f(x, y) =x y o`ua,bsegientnedxuonbmd´0euqsletslee´rser< a <1 et 0< b <1. Onsupposeennlecouˆthorairedutravaile´gala`u´sgelaa`iuepemtndereeqs´unutaiitlteˆocevde sorte que le coˆutdelaproductiona`volumesdetravailetd´equipementsxetye´nntses:od g(x, y) =ux+vy. 1.Rendementde´chellea+b. Onmultiplieparunemeˆmeconstanteλ >0 le volumexdes heures de travail et le volumeydes ´equipements.Parquelfacteurestmultipli´eelaquantite´produite? Commentinterpre´ter´economiquementlapositiondunombrea+brrapporta`?1pa ´ 2. Etuded’un cas particulier. On suppose dans cette question (et seulement dans celle-ci) quea=b= 1/2 etu= 4,v= 1. (a)V´erierquelensembledespoints(x, y) avecx >0,y >0 tels quef(x, yes=2)rbouactlqeaude´itno y= 4/x. (b)D´eterminerunee´quationdelatangentea`lacourbed´equationy= 4/xau point d’abscisse 1. (c)Construiresurunemˆemegure(unite´2cm)lesensemblesdespoints(x, y) tels que : x >0,y >0 etf(x, y) = 2. x >0,y >0 etg(x, y) = 8. x >0,y >0 etg(x, y) = 10. De´terminerlespointsdintersectiondupremierdecesensemblesaveclesdeuxsuivantsetdonner uneinterpre´tationdecespointsentermesdeproductionetdecouˆtdeproduction. (d)R´epondreauxdeuxquestionssuivantesenjustiantgraphiquementvotreraisonnement: Pourroduunepmilaleuelestˆucointmoitcge´n`elaq,2aKenvisageable ? aluqPnoauirtu´ntcpoeˆourtu´degal`a8,quelleestemitimaxealQenvisageable ?
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3.Optimisationdelaquantite´produite`aniveaudecouˆtdonn´e. On´etudiedanscettequestionlamaximisationdelaquantite´produiteQ=f(x, y) en supposant que le coˆutdeproductionK=g(x, ysedt)e.n´on Autrementdit,oncherchea`maximiserQ=f(x, youslacontraintedˆocetus)K=g(x, y). (a)Montrerqueceproble`me´equivaut`amaximiserlafonctiondelavariablexnied´:arep   Kux F(x) =f x,avec 0< x < K/u. v 0 0 (b) CalculerF(x) et montrer queF(x) est du signe deKa(a+b)ux. (c)Ende´duirelesvariationsdelafonctionFet les valeurs dexetyqui permettent d’optimiser la quantite´produiteQ=f(x, yartnocalocedetnitˆu)sousg(x, y) =K. (d)Ende´duirequelaquantit´eproduiteoptimaleQtuoˆecedntaitronacuolsunseboetteerantˆpouv a+b g(x, y) =Kest de la formeQ=cKo`ucnotsnaetetsnucedentepd´daena,b,u,vque l’on explicitera. Onpre´ciseralaformeparticulie`redure´sultatobtenulorsquea+b= 1. 4.Optimisationducoˆut`aniveaudeproductiondonne´. On´etudiedanscettequestionlaminimisationducoˆutdeproductionK=g(x, y) en supposant que la quantit´ea`produireQ=g(x, yn´ee.)estdon Autrementdit,oncherchea`minimiserK=g(x, y) sous la contrainte de productionQ=f(x, y). (a)Montrerqueceprobl`eme´equivaut`aminimiserlafonctiondelavariablexeinpera:d´ 1/b   Q G(x) =g x,avecx >0. a/b x 0 (b)D´eterminerG(x,e)´endirduavirlesesnedtaoinctilafoonGet les valeurs dexetyqui permettent doptimiserlecoˆutdeproductionK=g(x, y) sous la contrainteQ=f(x, y). (c)End´eduirequelecoˆutoptimalKlaussonuteobreetdorpedetniartnocintacˆutopnvouQ=f(x, y) 1/(a+b) est de la formeK=dQou`donstanted´ependaedtnetsnucea,b,u,vque l’on explicitera. Onpre´ciseralaformeparticuli`eredure´sultatobtenulorsquea+b= 1. (d)Comparera`lexpressiondeQen fonction deK.lureConc.3noitseuqalednla`aueenbto
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