ESSEC 2001 mathematiques i classe prepa hec (ect)

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ESSECMBACONCOURS D’ADMISSIONOption technologiqueMATHEMATIQUESILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e a` prendre.Exercice 1 (Etude de placements)erOn place sur un compte r´emun´er´e au taux d’int´erˆet annuel de 5% une somme S au 1 Janvier de l’ann´ee 0, puisneron verse au 1 Janvier de chacune des ann´ees suivantes la mˆeme somme S.Pour tout nombre entier naturel n, on d´esigne par S la somme (int´erˆets compris bien entendu) dont on disposener eme`sur ce compte au 1 Janvier de la n ann´ee de placement.1. Expression de la somme S obtenue au premier Janvier de l’ann´ee nn(a) Pr´eciser les sommes S et S .0 1(b) Etablir pour tout nombre entier naturel n la relation S = 1.05S +S.n+1 n(c) Pour tout nombre entier naturel n, on pose ici T =S +20S.n nExprimer T en fonction de T , puis en d´eduire T et S en fonction de S et de n ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC M B A
CONCOURS D’ADMISSION
Option technologique
MATHEMATIQUES I
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadreruderssopelbirseldalanssumeaccllu.s´esultatsdeleurs Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee. Siaucoursdel´epreuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurde´nonce´,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilseraamen´ea`prendre.
Exercice 1 (Etude de placements) er Onplacesuruncomptere´mun´ere´autauxdint´erˆetannuelde5%unesommeSnardieaelu1nvJa,pe0´ennsui er onverseau1Janvierdechacunedesann´eessuivanteslamˆemesommeS. Pour tout nombre entier naturelnra,ond´esignepSnalosmm(eni´tessiopndtoon)dduenntneeibsirpmocsteˆre er e`me sur ce compte au 1Janvier de lanemact.enee´nlpedna 1. Expressionde la sommeSnlpraenmni´eereJbatnevniueeradeuon (a)Pre´ciserlessommesS0etS1. (b) Etablirpour tout nombre entier naturelnla relationSn+1= 1.05Sn+S. (c) Pourtout nombre entier natureln, on pose iciTn=Sn+ 20S. ExprimerTn+1en fonction deTnriee´udui,pndseTnetSnen fonction deSet den. (d)De´terminerlapluspetitevaleurdelentiernaturelnpour laquelleSn>15S. 2 Ondonneaceteeta`10pre`sles´egalite´s:ln(35)=3,55,ln(21) = 3,04,ln(1,05) = 0,05. 2.Modicationdutauxdint´ereˆtannuelduplacement Onreprendlasituationpr´ec´edente,maisletauxdint´ereˆtannuelestmaintenante´gal`a10%(etnonplus`a 5%commepr´ec´edemment). (a) ExprimerSn+1en fonction deSnuirede´dnesiup,Snen fonction deSet den. (b)D´eterminerlapluspetitevaleurdelentiernaturelnpourlaquelleSn>15S. 2 Ondonnea`ceteeta`10pr`esles´egalit´es:ln(25)=3,22,ln(11) = 2,40,ln(1,1) = 0,10.
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Exercice2(Etudedune´equation) n Pour tout nombre entiern>`drele´qeauitno(1,onconsiEn) :x+xnilnnocexeuerts1=`u0osdenahce´hcre [0,+.On´menteule[s(areiduteEnontincfoladedeaila`)eruaixiliaf: ln(1x) f(x) = lnx 1.Existenceetunicite´duneracinepositivexnde (En) (a)R´esoudrele´quationpourn= 1 etn= 2 n ´ (b) Etudierles variations de la fonctionx7→x+x1 sur [0,+[ pourn>1. End´eduirequeI´equation(En) admet une et une seule racine positive qu’on noteraxn, et montrer que 0< xn<1 pourn>1. 2. Etudede la fonction auxiliaire. (a)D´eterminerledomaineded´enitiondefetleslimitesdef.iciedseulec´etrt´miaexux 0 (b) Calculeralorsf(xleteudridne´e)etednioatrivadeauleabf. 3. Etudede la suite (xn) (a) Montrerquef(xn) =npourn>1. (b)Montrerlin´egalit´exn< xn+1pourn>1. (c)End´eduirelaconvergencedelasuite(xnunrsve)lr´ereembnoLecr´eristp,eedavalruelL.
Exercice3(Probabilite´s) 1.Calculspre´liminaires (a)Onconside`redeuxnombresentiersnaturelsqet n tels quen>q. q+1q q+1 Etablir queC+C=C n+1n+1n+2 n P q q+1 Enraisonnantparr´ecurrencesurn,ende´duirelaformulesuivante:C=C k n+1 k=q (b) Enfaisantq= 1,2,:setnaviussmeomssoitresed´erosiaftcisnorpseneexireu´edu3,end n nn X XX k k(k1)k(k1)(k2) k=1k=2k=3 Onconsid`eredanstoutelasuitedecettepartieunnombreentiern>2 et une urne contenantnjetons num´erot´esde1a`n. 0nextraitdecetteurne2jetonstire´sauhasardetonde´signealorspar: Xs.´eum´edesnetitlusptsritenosej2ordsat´ealleabrivalapeltnauqidnierio Ygranddesntleplused2sejotun´mresoiaareablavldnieauqiae´lriotse´ritsn. 0n noteraE(X) etV(X), E(Y) etV(Y)ele´arespsetvancescesdrianavsebairaselae´lirtoesX, Y. 2.Loisdesvariablesale´atoiresXetY (a)Quelestlenombredeparties`a2´el´ementsdunensemble`aj(respectivementnlee´´)?semtn 2(j1) End´eduirelaprobabilite´P(Y6j) et montrer queP(Y=jpour 2) =6j6n. n(n1) (b)Enraisonnantdemeˆme,de´terminerlesprobabilit´esP(X>i) etP(X=i) pour 16i6n1. (c)Comparerlesloisdesvariablesale´atoiresn+1XetY´esseedxurpbobaliti,areutntmetldiP(n+1X= j) etP(Y=j) pour 26j6n. End´eduirequeE(n+ 1X) =E(Y) etV(n+ 1Y) =V(Y)send,puinoisedsexesesprdu´eelirE(X) en fonction deE(Y) et deV(X) en fonction deV(Y).
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