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ESSEC M B A
CONCOURS DADMISSION
Option économique
MATHEMATIQUESII
Année 2001
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
Le but du problème est létude du coe¢ cient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires quon aborde dabord de façon générale (partie I), puis dans un cas particulier (partie II).
PARTIE I On considère deux variables aléatoiresXetYdénies sur un même espace probabilisé et admettant des espérances E(X)etE(Y)et des variancesV(X)etV(Y)et on supposeV(X)>0(on rappelle queV(X) = 0si et seulement si, avec une probabilité égale à1,Xest constante).La covariance des deux variables aléatoiresXetY(que celles-ci soient discrètes ou à densité) est alors le nombre réel déni par :
Cov(X; Y) =E[(XE(X))(YE(Y))];ou encoreE(XY)E(X)E(Y):
1.Covariance des variables aléatoiresXetY
(a) ExprimerCov(X+Y; X+Y)en fonction deV(X+Y)et en déduire la formule suivante pour tout nombre réel: 2 V(X+Y) = V(X) + 2Cov(X; Y) +V(Y):
2 (b) Endéduire que(Cov(X; Y))6V(X)V(Y): 2 A quelle condition nécessaire et su¢ sante a-t-on légalité((Cov(X; Y)) =V(X)V(Y)?
2.Coe¢ cient de corrélation linéaire des variables aléatoiresXetY: On suppose dans cette question les variancesV(X)etV(Y)deXetYstrictement positives.
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(a) Exprimerle coe¢cient de corrélation linéairedes variables aléatoiresXetYen fonction deCov(X; Y) et des écarts-types(X)et(Y)des variables aléatoiresXetYet montrer queappartient à[1;+1]. Préciser de plus à quelle condition nécessaire et su¢ santeest égal à1ou+1. (b) Donnerla valeur delorsque les variables aléatoiresXetYsont indépendantes. 2 (c) Onsuppose enn queXsuit une loi normale centrée réduiteN(0;1)etY=X. Préciser les espérances et les variances deXetYainsi que la covariance et le coe¢ cient de corrélation deXetYalors la réciproque de la question. Etudier2.b).
PARTIE II 1.Calculs préliminaires (a) Onconsidère deux nombres entiers naturelsqetntels quen>q. Enraisonnant par récurrence surn, établir la formule suivante : n X q q+1 C=C k n+1 k=q (b) Enfaisantq= 1;2;3, en déduire une expression factorisée des quatre sommes suivantes : n nn n X XX X 2 k;k(k1)et k;k(k1)(k2): k=1k=2k=1k=3 On considère dans toute la suite de cette partie un nombre entiern>2et une urne contenantnjetons numérotés de1àn. On extrait de cette urne successivement et sans remise 2 jetons et on désigne alors par : N1la variable aléatoire indiquant le numéro du premier jeton tiré. N2la variable aléatoire indiquant le numéro du second jeton tiré. Xla variable aléatoire indiquant le plus petit des numéros des2jetons tirés. Yla variable aléatoire indiquant le plus grand des numéros des2jetons tirés. On noteE(N1)etV(N1),E(N2)etV(N2),E(X)etV(X),E(Y)etV(Y)les espérances et variances des quatre variables aléatoiresN1; N2; X; Y. 2.Lois conjointe et marginales des variables aléatoiresN1etN2. (a) Déterminerles probabilitésP(N1=i)pour16i6netP(N2=j=N1=i)pour16j6n; j6=i. En déduireP(N2=j)pour16j6n, puis comparer les lois deN1etN2. (b) Calculerles espérancesE(N1)etE(N2), les variancesV(N1)etV(N2). (c) Déterminerles probabilitésP(N1=i\N2=j)pour16i6net16j6nen distinguant les deux casi=jeti6=jet en déduire que : (n+ 1)(3n+ 2) E(N1N2) =: 12 En déduire la covariance et le coe¢ cient de corrélation linéaire deN1etN2. (d) Exprimerenn sous forme factorisée la varianceV(N1+N2): 3.Lois conjointe, marginales et conditionnelles des variablesaléatoiresXetY 2 (a) Montrerque les probabilitésP(X=i\Y=j)poursont égales à16i < j6n. n(n1) Que valent-elles sinon ? (b) Endéduire les probabilitésP(Y=j)pour26j6netP(X=i)pour16i6n1. (On vériera que les formules donnantP(Y=j)etP(X=i)restent valables sij= 1oui=n).
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(c) Déterminerles probabilitésP(X=i=Y=j)etP(Y=j=X=i)pour16i < j6n, puis reconnaître la loi deXconditionnée parY=jet la loi deYconditionnée parX=i: (d) Comparerles lois des variables aléatoiresn+1XetY, autrement dit les deux probabilitésP(n+1X= j)etP(Y=j)pour26j6n: En déduire queE(n+ 1X) =E(Y)etV(n+ 1X) =V(Y), puis en déduire les expressions de E(X)en fonction deE(Y)et deV(X)en fonction deV(Y).
4.Espérances et variances des variables aléatoiresXetY
(a) Exprimerles espérancesE(Y)etE(X)en fonction den. 2 (b) Exprimersous forme factoriséeE[(Y(Y2)], puisE(Y); V(Y)etV(X)en fonction den.
5.Covariance et coe¢ cient de corrélation linéaire des variables aléatoiresXetY
(a) VérierqueX+Y=N1+N2, puis en déduire sous forme factorisée la variance deX+Yet la covariance deXetY. (b) Endéduire le coe¢ cient de corrélation deXetY. On remarquera que ce coe¢ cient de corrélation linéaire deXetYest indépendant den.
6.Utilisation de la fonction génératrice des variables aléatoiresXetY On se propose de retrouver les résultats précédents par une autre méthode, en ne supposant connues que les probabilitésP(X=i\Y=j)pour16i6net16j6n. On désigne par G la fonction génératrice du couple de variables aléatoires(X; Y), dénie par :
n n X X i j G(u; v) =P(X=i\Y=j)(1 +u) (1 +v) j=1i=1
@G @G (a) Montrerque(0;0) =E(X)et aG(0; O) =E(Y). @u @v 2 22 @ G@ G@ G Donner des égalités analogues pour(0;0);(0;0)et(0;0). 2 2 @u @u@u@v (b) Montrer,en posantw=u+v+uv, cest à dire1 +w= (1 +u)(1 +v), quon a pouru; v; w6= 0:   n n 2(1 +w) (1+w)1 (1+v)1 G(u; v) =n(n1)u wv
n n En développant ci-dessus(1 +w)et(1 +v), quelle expression deG(u; v)en déduit-on ? @w @w (c) Préciserles deux dérivées partielleset puisretrouver sous forme factorisée les nombresE(X), @u @v 2 2 E(Y),E(X)etV(X); E(Y)etV(Y); E(XY)etCov(X; Y), et pour terminer le coe¢ cient de cor-rélation des variables aléatoiresXetY.
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