ESSEC 2001 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

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ESSEC. CONCOURS D’ADMISSION DE 2001´Option scientifique. MATHEMATIQUES IILe but du probl`eme est l’´etude du coefficient de corr´elation lin´eaire de deux variables al´eatoiresqu’on aborde d’abord de fa¸con g´en´erale (partie I), puis dans un cas particulier (partie II).Partie IOn consid`ere deux variables al´eatoires X et Y d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e etadmettant des esp´erances E(X) et E(Y) et des variances V(X) et V(Y) et on suppose V(X)> 0(on rappelle que V(X) = 0 si et seulement si, avec une probabilit´e ´egale a` 1, X est constante).La covariance des deux variables al´eatoires X et Y (que celles-ci soient discr`etes ou a` densit´e) estalors le nombre r´eel d´efini parCov(X,Y) =E[(X−E(X))(Y −E(Y))],ou encoreE(XY)−E(X)E(Y)1) Covariance des variables al´eatoires X et Ya) Exprimer Cov(λX+Y,λX+Y) en fonction deV(λX+Y) et en d´eduire la formule suivantepour tout nombre r´eel λ :2V(λX +Y) =λ V(X)+2λCov(X,Y)+V(Y)2b)En d´eduire que Cov(X,Y) ≤V(X)V(Y).2A quelle condition n´ecessaire et suffisante a-t-on l’´egalit´e Cov(X,Y) =V(X)V(Y)?2) Coefficient de corr´elation lin´eaire des variables al´eatoires X et YOn suppose dans cette question les variancesV(X) etV(Y) deX etY strictement positives.a) Exprimer le coefficient de corr´elation lin´eaire ρ des variables al´eatoires X et Y en fonctionde Cov(X,Y) et des ´ecarts-types σ(X) et σ(Y) des variables al´es X et Y et montrerque ρ appartient a` [−1,+1].Pr´eciser de plus a` quelle condition n´ecessaire ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC. CONCOURS D’ADMISSION DE 2001 ´ Option scientifique. MATHEMATIQUES II
Lebutduprobl`emeestl´etudeducoecientdecorr´elationline´airededeuxvariablesal´eatoires quonabordedaborddefa¸cong´ene´rale(partieI),puisdansuncasparticulier(partieII).
Partie I Onconside`redeuxvariablesal´eatoiresXetYe´deinpeorabibil´seetssurunmˆemeespac admettantdesesp´erancesE(X) etE(Y) et des variancesV(X) etV(Y) et on supposeV(X)>0 (on rappelle queV(X)=ie0s,1a`elage´abilit´ecuneprobtnisa,evstueelemXest constante). Lacovariancedesdeuxvariablesale´atoiresXetYenadu`soese)t´sit(quees-ccellnedtsiioe`etsirc alorslenombrere´eld´enipar Cov(X, Y) =E[(XE(X))(YE(Y))],ou encoreE(XY)E(X)E(Y) 1)seseavcnderaaiCvotoirl´ealesariabXetY a)Exprimer Cov(λX+Y, λX+Y) en fonction deV(λX+Ynavietumrouselduirelaf)etend´e pourtoutnombrere´elλ: 2 V(λX+Y) =λ V(X) + 2λCov(X, Y) +V(Y)  2 b)(Cvond´eEequeduirX, Y)V(X)V(Y).  2 Aquelleconditionne´cessaireetsusantea-t-onle´galit´eCov(X, Y) =V(X)V(Y) ? 2)esaliablsvarredee´ialnnitaoi´rleorectdencieCostae´erioXetY On suppose dans cette question les variancesV(X) etV(Y) deXetYstrictement positives. a)airexErpmienciectdleerecolnoie´ni´rrotaleρablevaridesriseaeotas´lXetYen fonction de Cov(X, Yt-pysestrace´sedte)σ(X) etσ(Yiotaser)desvariablesal´eXetYet montrer queρ[tna`paapiert1,+1]. Pre´ciserdeplusa`quelleconditionne´cessaireetsusanteρ`aalesegt´1 ou +1. b)Donner la valeur deρesiras´laeotavirbaelrsquelesloXetY.setnadneped´inntso 2 c)On suppose enfin queXlaceonmrleiotinurtnseuree´ude´etiN(0,1) et queY=X. Pr´eciserlesespe´rancesetlesvariancesdeXetYainsi que la covariance et le coefficient de corr´elationdeXetYniostlar´lorsiera.Etudqaeudeleoruqcepi2)b). Partie II 1)siminairele´rpsluclaC a)atsnelurenesertisOnconuenxmorbis`dredeqetntels quenq. Enraisonnantparr´ecurrencesurnlrilbateelumrofateanivsu,´: n X q q+1 C =C k n+1 k=q b)En faisantq= 1,2,iudenuerpxeessernfiotoacs´rideee:setnaivsuesmmsoi3s,reonsdt´ n nn X XX k;k(k1) ;k(k1)(k2) k=1k=2k=3 Onconside`redanstoutelasuitedecettepartiedeuxnombresentierspetntels que 1pn et une urne contenantnjumsnonet´tsee´oraed`1nraitnexttteudeceO.tsenrlumi´natneme et au hasardporspar:tojesnteno´dsegienla Xqiautnellplsauveapriitableal´eatoireindestdm´nuosersdepotejitsnse´r. Ydnqiriieellpautniablavareatoeal´sedsolddangruserm´nuespej´ritsnotse. On noteE(X),V(X) etE(Y),V(Y)lessioere´taselaarsvblianciadeesesecravt´psenareX etY.
ADans cette partie A, on suppose quep= 2 (autrement dit, on extrait deux jetons de l’urne et XetYpsultitenauqpeltesirdiinl´satoeaavirbaelsnoltse.´ero2num´es)stirlpsuteelddsergna 2)eal´saleesirtodsioLbairavseXetY a)blemae`e´letnemudssnenbredeparties`a2´uQleseltnemojtseneml´´le´´anee?`netms? Ende´duirelesprobabilit´esP(Yj) etP(Y=j) pour 2jn, puis, en raisonnant de meˆme,lesprobabilit´esP(Xi) etP(X=i) pour 1inO(.1eire´vneselqura formules donnantP(Y=j) etP(X=i) restent valables sij= 1 oui=n. b)edvsraailbselae´atoiresomCrepaesrlislon+ 1XetY,uartmenedttieldseuxprobabilit´es P(n+ 1X=j) etP(Y=j) pour 2jn. End´eduirequeE(n+1X) =E(Y) etV(n+1X) =V(Yup,)de´dnesiselereuiiossrexpns deE(X) en fonction deE(Y) et deV(X) en fonction deV(Y). 3)Espe´rancesetvariancesdesvariablesale´atoiresXetY a)leerimprExsecnare´psesE(Y) etE(X) en fonction den.   2 b)eeEximprsoersuofmrfecaotir´sE(Y(Ypuis2) ,E(Y),V(Y) etV(X) en fonction den. 4)ires´lasotaeiravelbaireaesedontin´lintdecie´elacorrraaiCvocteocneeXetY 2 a)bobalitiqreualrpMontre´eP(X=iY=jopa`elaget´es)ur1i < jn. n(n1)   b)imrr´fsescuaooftseer´opsedeeilucEend´eranE X(Y2) etmontrer que : (n+ 1)(3n+ 2) E(XY) = 12 c)ondelatiEdne´udriseuofsormefactoris´eelvocaairaeecnceltcoentiecode´errXetY.On remarqueraquececoecientdecorre´lationline´airedeXetYnd´ependestinadten.
BbamDosnneelcttetreitneernr,oieevarepeBti´ne´lareuatngsacperi´ev1ncdopn. 5)al´eblesresatoioLsiraaiedvsXetY a)e´DmretreniP(Yj) etP(Y=j) pourpjn,P(Xi) etP(X=i) pour 1inp+ 1. b)Comparer les lois den+ 1XetYedseisnorpseesexirel´edutendE(X) en fonction de E(Y) et deV(X) en fonction deV(Y). 6)lrbasaeilcanes´eneadvescreasavitEsp´eratoiresXetY p1p a)lagee´tieir´lrV´ejC =pse´pleseudridne´CteeceseranE(Y) etE(X) en fonction den. j1j   p1p+1 b)it´e(aleg´rleri´eVj+1)jC =(p+1)pndtedu´eesirsfouemrotcafsiroee´CeE(Y+1)Y, j1j+1 2 puisE(Y),V(Y) etV(X) en fonction den. 7)ovCeecnairaeiceoctaeotrisebaelas´lesedrivan´liireaale´noitedtnrrocXetY a)pliciterExe´tilibaborpalP(X=iY=j) pourpjnet 1ijp+ 1.   b)sforesouduirnd´eEe´pscnarefameorct´eiseelE(Y+ 1)(YX) etmontrer que : (n+ 1)[(p+ 1)n+p] E(XY) = (p+ 2)(p+ 1) c)ocaveealecteirnarmefusforis´acto´dnEoseriudeceronedteicelocndeatior´elXetY.On remarqueraquececoecientdecorre´lationlin´eairedeXetYadneedtnstind´epen.
Ce`anpposauouveDcsnaC,iesuonteetrtpap=snpee2otesedoropveoutrreesr´esrludstatlu IIAparuneautrem´ethode,ennesupposantconnuesquelesprobabilit´esP(X=iY=j). 8)´eeng´ontincfolaednoitasilitUestoirl´ealesairbaseavcidearrtXetY Onde´signeparGg´on´eenfolatincs(reoiesal´eatevariablcuuolpdearrtcideX, Yein´e,d) par : n n X X i j G(u, v) =P(X=iY=j)(1 +u) (1+v) j=1i=1
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