ESSEC 2001 mathematiques iii classe prepa hec (ece)

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ESSECM B ACONCOURSD’ADMISSION2001OptionéconomiqueMATHÉMATIQUESIIIMercredi 2 mai 2001 de 8h 00 à 12h 00Laprésentation,lalisibilité,l’orthographe,laqualitédelarédaction,laclartéetlaprécisiondesraisonnementsentrerontpour une part importante dans l’appréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est inter-dite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.EXERCICE1 (Étude d’une suite de nombres réels)On étudie dans cet exercice la suite (S ) définie pour n≥ 1 par :nnX1 1 1 1S = 1+ + +···+ c’est à dire S = .n n2 24 9 n kk=1A cet effet, on introduit pour tout nombre entier k≥ 0 les deux intégrales suivantes :Z π Z π2 22k 2 2kI = cos (t)dt ; J = t cos (t)dt.k k0 01. Convergence de la suite (J /I ).k k(a) Établir l’inégalité suivante pour tout nombre réel t tel que 0≤ t≤ π/2 :πt≤ sin(t).2(b) Établir l’inégalité suivante pour tout nombre entier k≥ 0 :2π0≤ J ≤ (I − I ).k k k+140(c) Exprimer I en fonction de I en intégrant par parties l’intégrale I (on pourra poser u (t) = cos(t) etk+1 k k+12k+1v(t)= cos (t) dans l’intégration par parties).(d) Déduire des résultats précédents que J /I tend vers 0 quand k tend vers+∞.k k2. Convergence et limite de la suite (S ).n(a) Exprimer I en fonction de J et J en intégrant deux fois par parties l’intégrale I (k≥ 1).k k ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC M B A
CONCOURS D’ADMISSION 2001
Option èconomique
MATHÈMATIQUES III Mercredi 2 mai 2001 de 8h 00 À 12h 00
La prsentation, la lisibilit, l’orthographe, la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’apprciation des copies. Les candidats sont invits À encadrer dans la mesure du possible les rsultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matriel lectronique est inter dite. Seule l’utilisation d’une rgle gradue est autorise. EXERCICE 1(Ètude d’une suite de nombres rels) On tudie dans cet exercice la suite (Sn) dfinie pourn1 par : n X 1 11 1 Sn=1+ + +∙ ∙ ∙+c’estÀdireSn=. 2 2 4 9n k k=1 A cet eet, on introduit pour tout nombre entierk0 les deux intgrales suivantes : Z Z π π 2 2 2k2 2k Ik=cos (t)dt;Jk=tcos (t)dt. 0 0 1. Convergencede la suite (Jk/Ik). (a) Ètablirl’ingalit suivante pour tout nombre relttel que 0tπ/2 : π tsin(t). 2 (b) Ètablirl’ingalit suivante pour tout nombre entierk0 : 2 π 0Jk(IkIk+1). 4 0 (c) ExprimerIk+1en fonction deIken intgrant par parties l’intgraleIk+1(on pourra poseru(t)=cos(t) et 2k+1 v(t)=cos (t) dans l’intgration par parties). (d) Dduiredes rsultats prcdents queJk/Iktend vers 0 quandktend vers+. 2. Convergenceet limite de la suite (Sn). (a) ExprimerIken fonction deJketJk1en intgrant deux fois par parties l’intgraleIk(k1). (b) Endduire la relation suivante pourk1 : Jk1Jk1 =. 2 Ik1Ik2k (c) CalculerJ0etI0, puis dterminer la limiteSde la suite (Sn).
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(d) Ètablirl’ingalit suivante pour tout nombre entierk2 : 1 11 11 − ≤≤ −. 2 k k+1k k1k En dduire un encadrement deSn+pSnpourn1 etp1, puis deSSn, et montrer que : 1 1 0SnS+. 2 n n 1 1 Autrement dit, Sn+constitue une valeur approche de SÀ prs. 2 n n 6 (e) Ècrireun programme en PASCAL calculant et achant une valeur approche du nombreSÀ 10prs. EXERCICE 2(Algbre linaire et tude d’une marche alatoire) Cet exercice a pour but l’tude d’une marche alatoire sur les sommets d’un triangle, ce qui fait l’objet de la partie II. Dans la partie I, on aborde des questions prliminaires d’algbre linaire. Partie I On associe À tout triplet (x,y,z) de nombres rels la matriceM(x,y,z) dfinie par :   x y z M(x,y,z)=z x y.     y z x La matriceM(1,0,0) n’est autre que la matrice identitI3et la matriceM(0,1,0) est noteJ. 1. L’espacevectorielEdes matricesM(x,y,z). 2 3 (a) Calculerles matricesJetJ. 3 (b) Ètablirque l’ensembleEdes matrices de la formeM(x,y,z) oÙ (x,y,z) dcritRconstitue un sousespace vectoriel de l’espaceM3(R) des matrices carres d’ordre 3. 2 (c) Ètablirque (I3,J,J) forme une base deE. 2. Matricesinversibles de l’espace vectorielE. 0 0 0 (a) Calculerle produitM(x,y,z)×M(x,y,z) et montrer que celuici est lment deE. 0 0 0 Les matricesM(x,y,z) etM(x,y,z) commutentelles ? (b) Endduire l’galit suivante : h i 1 2 22 22 2 M(x,y,z)×M(xyz,zxy,yzx)=(x+y+z) (xy)+(yz)+(zx)I3. 2 (c) Ètablirqu’une condition susante pour queM(x,y,z) soit inversible est quex,y,zsoient tels quex+y+z,0 et pas tous gaux. Quelle est alors la matrice inverse deM(x,y,z) ? (d) Ètablirenfin que cette condition susante d’inversibilit est galement ncessaire. 3. Èlmentspropres des matricesM(x,y,z) (a) Ètablirqu’un nombre relλest valeur propre deM(x,y,z) si et seulement siM(xλ,y,z) n’est pas inversible. (b) Montrerquex+y+zest valeur propre deM(x,y,z) et prciser le sousespace propre associ. (c) Onsuppose ici quey,z. Montrer queM(x,y,z) n’a pas d’autre valeur propre. La matriceM(x,y,z) estelle diagonalisable ? (d) Onsuppose ici quey=z. Montrer sans calcul queM(x,y,y) est diagonalisable, et prciser quelles sont ses valeurs propres. 4. Diagonalisationdes matricesM(x,y,y). (a) Calculerles produits matriciels suivants :     1+1+1 M(x,y,y) 1;M(x,y,y)1 ;M(x,y,y) 0.        1 01
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1 (b) Dterminerdeux matricesPetPinverses l’une de l’autre telles que :   x+2y0 0 1 P M(x,y,y)P=0xy0.     0 0xy (c) Endduire la relation suivante pour tout nombre entier natureln:  1 1 n nn M(x,y,y)=(x+2y)M(1,1,1)+(xy)M(2,1,1). 3 3 Partie II On dsigne dans toute cette partie parpun nombre rel tel que 0<p<1/2 et on considre la marche alatoire d’un point Ssur les sommets d’un triangleABC. A l’instant initialt=0, le pointSest enA, et il se dplace ensuite selon les rgles suivantes : SiSest À l’instantnau sommetAdu triangle : il est À l’instantn+1 au sommetBavec la probabilitp, au sommetC avec la probabilitp, ou encore au sommetAavec la probabilit 12p. SiSest À l’instantnau sommetBdu triangle : il est À l’instantn+1 au sommetCavec la probabilitp, au sommetA avec la probabilitp, ou encore au sommetBavec la probabilit 12p. SiSest À l’instantnau sommetCdu triangle : il est À l’instantn+1 au sommetAavec la probabilitp, au sommetB avec la probabilitp, ou encore au sommetCavec la probabilit 12p. Pour tout nombre entier natureln, on dsigne enfin par : Anl’vnement “le pointSest au sommetAÀ l’instantn” et paransa probabilit. Bnl’vnement “le pointSest au sommetBÀ l’instantn” et parbnsa probabilit. Cnl’vnement “le pointSest au sommetCÀ l’instantn” et parcnsa probabilit. 1. Calculdes probabilitsan,bn,cn. (a) ExprimerÀ l’aide de la formule des probabilits totales les probabilitsan+1,bn+1,cn+1en fonction des proba bilitsan,bn,cn. (b) Endduire une matriceMtelle qu’on ait pour tout nombre entier natureln:    an+1an bn+1=M bn      cn+1cn (c) Endduire en fonction deples probabilitsan,bn,cnet leurs limites quandntend vers+. 2. Nombresmoyens des passages enA,B,Centre les instants 1 etn. (a) Ondsigne dans cette question parXnla variable alatoire prenant la valeur 1 lorsqueSest au sommetAÀ l’instantn, et prenant la valeur 0 sinon. Interprter la variable alatoireX1+X2+∙ ∙ ∙+Xnet son esprancemn=E(X1+X2+∙ ∙ ∙+Xn), puis tablir que : " # n 1 1(13p) mn=n+2(13p). 3 3p Donner un quivalent demnlorsquentend vers+. (b) Dterminerles esprances des nombres de passage du pointSau sommetBet au sommetCentre les instants 1 etn(compris). 3. Instantmoyen du premier passage du pointSaux sommetsBouC. (a) Dterminerla probabilit conditionnelle de l’vnementBn+1sachant que l’vnementBn(vnement contraire deBn) est ralis. (b) OnnoteTBla variable alatoire indiquant l’instant oÙ, pour la premire fois, le pointSest au sommetB. Dterminer la loi deTB, puis l’espranceE(TB) deTB. (c) Quedire deTC, variable alatoire indiquant l’instant oÙ, pour la premire fois, le pointSest au sommetC?
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