ESSEC 2002 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

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´ESSEC 2002, Option scientifique, MATHEMATIQUES IDans la suite, on d´esigne par n un nombre entier sup´erieur ou ´egal a` 2 et par R [X] l’espacenvectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal a` n.On rappelle qu’un polynˆome non nul est dit unitaire lorsque son coefficient dominant (c’est a` direle coefficient de son terme de plus haut degr´e) est ´egal a` 1.L’objet du probl`eme est l’´etude des extrema d’une fonction de plusieurs variables (partie II).A cet effet, on ´etudie auparavant, dans la partie I, une famille de polynˆomes de R [X] et leursnracines.Les deux parties ne sont pas ind´ependantes, mais on pourra admettre des r´esultats de la partie Ipour pouvoir traiter la partie II.Partie I1) D´efinition d’un endomorphisme φ de R [X]n0a) Etablir que l’application associant `a tout polynomˆ eP deR [X] le polynˆomeφ(P) = 2xP −n0 00P” (ou` P etP d´esignent les d´eriv´ees premi`ere et seconde deP) est un endomorphisme deR [X].n2 nb)Ecrire sa matrice dans la base canonique (1,x,x ,...,x ) deR [X].n2) El´ements propres de l’endomorphisme φa) D´eterminer les valeurs propresλ ,λ ,...,λ deφ (on supposera queλ ≤λ ≤...≤λ et0 1 n 0 1 nmontrer que φ est diagonalisable.b)Montrer, pour tout nombre entier p tel que 0≤p≤n, qu’il existe un et un seul polynomeˆunitaire H deR [X] v´erifiant :p n00 0H −2xH +2pH = 0pp pc) Montrer, pour tout nombre entier p tel que 0≤p≤n, que H est n´ecessairement de degr´epp.d) Expliciter les polynˆomes H , H , H , H dans la base ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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´ ESSEC 2002, Option scientifique, MATHEMATIQUES I Danslasuite,ond´esigneparnunreennombus´pitreruuoreeia2l`ga´erpaetRn[X] l’espace vectorieldespolynˆomesdedegr´einf´erieuroue´gala`n. Onrappellequunpolynˆomenonnulestditunitairelorsquesoncoecientdominant(cest`adire lecoecientdesontermedeplushautdegr´e)est´egal`a1. Lobjetduprobl`emeestle´tudedesextremadunefonctiondeplusieursvariables(partieII). Aceteet,on´etudieauparavant,danslapartieI,unefamilledepolynoˆmesdeRn[X] et leurs racines. Lesdeuxpartiesnesontpasind´ependantes,maisonpourraadmettredesre´sultatsdelapartieI pour pouvoir traiter la partie II. Partie I 1)D´enitiondunendomorphismeφdeRn[X] 0 a)emoˆnyloatErilbitnoilacappuqleoutpt`atcianassoPdeRn[X]eomnˆlypoleφ(P) = 2xP0 00 P`ou(PetPerpse`imire´ee´vedndeetrecosenentlesdd´esigP) est un endomorphisme de Rn[X]. 2n b)Ecrire sa matrice dans la base canonique (1, . . . , x, x, x) deRn[X]. 2)Ele´mentspropresdelendomorphismeφ a)´Dtereesprropsruelavselrenimλ0, λ1, . . . , λndeφ(on supposera queλ0λ1. . .λnet montrer queφest diagonalisable. b)Montrer, pour tout nombre entierptel que 0pn,quileynolmeˆoutsnueplixtsueen unitaireHpdeRn[Xe´v]airnt: 00 0 H2xH+ 2pHp= 0 p p c)Montrer, pour tout nombre entierptel que 0pn, queHpsente´ecssiarementdedegr´e p. d)xEcilpretipselynolmeˆosH0, H1, H2, H3dans la base canonique deRn[X] et calculer les p1p2 coefficients dex(1pn) et dex(2pnerpxoissnad)elsˆomendupolynHp. 3)De´nitiondunproduitscalairesurRn[X] a)qrertnoMuoesedssce-irctile´eegraint´ueloutce(pl´dtsineuopeuotrP, Q) deRn[X] : Z +2 hP, Qi=P(x)Q(x) exp(x) dx −∞ b)Montrer alors que l’application (P, Q)Rn[X]×Rn[X]→ hP, Qi ∈Rdnuiittudn´pero scalaire surRn[X]. 02 2 c)deeev´ri´eadrlmepxirEx7→P(x).exp(x) en fonction deφ(P)(x).exp(x), puis prouver qu’on a pour tout couple (P, Q) deRn[X] : hφ(P), Qi=hP, φ(Q)i d)qeriude´EndeuhHp, Hqi= 0 lorsquepetqsont deux nombres entiers distincts compris entre 0 etn, puis que (H0, H1, . . . , Hn) forme une base orthogonale pour ce produit scalaire. Montrer enfin quehHp, Qiˆnylemotourpoutpo=0Qappanetrant`aRp1[X] (1pn). 4)EtudedesracinesdespolynoˆmesHp(1pn) a)Montrer, en remarquant quehHp, H0i0,qu=pelenyloemoˆHps’annule au moins une fois surRen changeant de signe. b)On notea1, a2, . . . , amles racines distinctes deHpen lesquelles celui-ci s’annule et change de signe (avec bien entendump) et on pose alorsPm(x) = (xa1)(xa2). . .(xam). EtudierlesignedupolynoˆmeHpPmlaee´rgitndrleavrleualeretnemi´dtehHp, Pmisim < p, puisende´duirequem=p. c)puoeleeqniˆrldyue´eonmdEHpadmetpracines simples dansR.
5)RelationsentrelespolynˆomesHp(2pn) a)Porvureel´sgealit´essuivantesopruottuopylˆnmoeQappartenant`aRp3[X`o]3upn: hxHp1, Qi= 0;hHpxHp1, Qi= 0 EnexprimantlepolynoˆmeHpxHp1dans la base (H0, H1, . . . , Hnlarelati´etablirn)o,: 2Hp2xHp1+ (p1)Hp2= 0(pour 2pn) 0 egalit´e0pourtoutpolynoˆ b)Prouver l’´hHp, Qi= meQ`antnatearppaRp2[X2u`o]pn, puisend´eduirelarelation: 0 H=pH p p1(pour 1pn) Partie II n Onconsid`eredanscettepartielespacevectorielRnotscdeseti´un-upletsx= (x1, x2, . . . , xn). n On noteUl’ouvert deRssnoctitu´eden-upletsx= (x1, x2, . . . , xn) tels quex1< x2< x. .< .n n (maisonnedemandepasdev´erierquecettepartieUdeRest ouverte). On´etudieicilesextremadelafonctiondeplusieursvariablesFde´neiusrlouvertUpar : n X X 2 F(x) =x2 ln(xjxi) i i=1 1i<jn Par exemple, pourn= 3, on obtient : 2 2 2 F(x) =x+x+x2 ln(x2x1)2 ln(x3x2)2 ln(x3x1). 1 2 3 2 2 +x2 ln 1) Etudedu cas particuliern= 2(F(x) =x2(x2x1)) 1 a)v´ri´exdtiarspeeluclaCuedselredseleelFen tout pointx= (x1, x2) deUe´dtmretrenie l’unique pointadeU`uos.tiellessontnulleecdse´ir´veepsra b)CalculerF(a) et montrer queF´rpnecolamumlminiteunesena. 2) Etudedu point critique deF´gsae´nenadcelsral Onassocie`atoutpointadeUlpelonyoˆemP(x) = (xa1)(xa2). . .(xan). On rappelle qu’un pointadeUest dit point critique deFsedselleitrespaiv´ed´erilesFsont nulles en a. a)r´releebltaEirlarelationsuivnaetopruottuonbmxdistinct dea1, a2, . . . , an: n X 0 P(x) 1 = P(x)xaj j=1 0 P(x) 1 Ende´duirelalimitequandxtend versaide. P(x)xai b))´encno´elicirelepparedednntondemaYoung(doTeyaol-rofmrludedeailadeerinl`ae´Dmret led´eveloppementlimit´e`alordre2`aloriginedesdeuxfonctionssuivantes: 0 f(t) =tP(ai+t)P(ai+t) ;g(t) =tP(ai+t) 0 P(x) 1 End´eduirelalimitequandxtend versaide(on poserax=ai+t). P(x)xai c)itilU´t:etatsesulesr´serlruopstnede´ce´rpliga´elirblta´e n X 00 1P(ai) = 0 aiaj2P(ai) j=1 j6=i Exprimer lesne´sddertpallieiveres´eFen fonction dex1, x2, . . . , xnonemd´isesquertri,up 0 00 aest point critique deF, alors 2xPPadmet pour racinesa1, a2, . . . , an. 0 00 d)el´ererbmonnuetsixelnEde´deriuiuqλ´epronntdo(e2elqurut)avelaralicesxPP=λP, puiscomparerlespolynoˆmesPetHn. Etablir queFadmet un unique point critiqueadans U. 3) Naturedu point critique deFrelae´´ndacasgnsle a)Montrer, six,ytnenaa`arppentiU, quetx+ (1t)yss`iaappartientauUsi 0t1. 2
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