ESSEC 2002 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

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CONCOURS D’ADMISSION DE 2002Option scientifiqueMATHEMATIQUES IILundi 6 Mai 2002 de 8h à 12hLa présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matérielélectronique est interdite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sursa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.L'objectif du problème est d'étudier parmi les portefeuilles boursiers de rentabilité moyenne donnéeceux qui font courir à leurs porteurs un risque minimal en un sens qui sera précisé plus loin.nOn identifie dans la suite tout vecteur x de l'espace vectoriel IR (avec n ‡ 2) à la matrice-colonnende ses composantes x , x , … , x dans la base canonique de IR , soit :1 2 n x 1 x 2 x = M xŁ ł n t et x désigne alors la matrice transposée de x, autrement dit la matrice-ligne égale à (x , x , … , x ).1 2 nn nOn note enfin < . , . > le produit scalaire canonique de IR défini pour tout couple (x, y) de IR par : y 1 y 2 t< x , y > = xy =(x , x ,K, x ) = x y + x y +K + x y .1 2 ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CONCOURS D’ADMISSION DE 2002
Option scientifique
MATHEMATIQUES II
Lundi 6 Mai 2002 de 8h à 12h
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Les candidats sont invités à
encadrer
dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel
électronique est interdite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur
sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
L'objectif du problème est d'étudier parmi les portefeuilles boursiers de rentabilité moyenne donnée
ceux qui font courir à leurs porteurs un risque minimal en un sens qui sera précisé plus loin.
On identifie dans la suite tout vecteur
x
de l'espace vectoriel IR
n
(avec
n
2) à la matrice-colonne
de ses composantes
x
1
,
x
2
, … ,
x
n
dans la base canonique de IR
n
, soit :
x
=
x
1
x
2
M
x
n
e
t
t
x
désigne alors la matrice transposée de
x
, autrement dit la matrice-ligne égale à (
x
1
,
x
2
,
,
x
n
).
On note enfin < . , . > le produit scalaire canonique de IR
n
d
é
f
i
n
i
p
o
u
r
t
o
u
t
c
o
u
p
l
e
(
x
,
y
) de IR
n
p
a
r
:
<
x
,
y
=
t
x
y
=
(
x
1
,
x
2
,
K
,
x
n
)
y
1
y
2
M
y
n
=
x
1
y
1
+
x
2
y
2
+
K
+
x
n
y
n
.
2
PRELIMINAIRE
On rappelle que l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel
F
de IR
n
est la partie
F
de IR
n
qui est
formée des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de
F
, c'est à dire :
F
= {
x
IR
n
/
<
a
,
x
> = 0 pour tout vecteur
a
appartenant à
F
}.
a) Montrer que
F
est un sous-espace vectoriel de IR
n
.
b) On suppose
F
de dimension
p
(0
p
n
) et on considère une base orthonormale (
e
1
, … ,
e
p
)
de
F
que l'on complète en une base orthonormale (
e
1
, … ,
e
p
,
e
p
+1
, … ,
e
n
) de IR
n
.
Montrer que
F
= Vect(
e
p
+1
, … ,
e
n
), ensemble des combinaisons linéaires de
e
p
+1
, … ,
e
n
.
En déduire la dimension de
F
en fonction de la dimension de
F
.
c) Déterminer de même l'orthogonal de
F
.
En déduire que (
F
)
=
F
où (
F
)
est l'orthogonal de
F
.
PARTIE I
On désigne par
C
= (
c
ij
)
une matrice symétrique réelle d'ordre
n
et par
Q
la fonction définie de IR
n
dans IR par
Q
(
x
) = <
x
,
Cx
>, autrement dit par
Q
(
x
) =
t
xCx
. On suppose de plus que
Q
(
x
) =
t
xCx
> 0
pour tout vecteur
non nul
x
de IR
n
.
1°) Exemple d'une telle matrice
On suppose dans cette question, et dans cette question seulement, que
n
= 3 avec :
C
0
=
1
1
1
1
2
2
1
2
3
.
a) Calculer
t
xC
0
x
p
o
u
r
t
o
u
t
v
e
c
t
e
u
r
x
d
e
c
o
m
p
o
s
a
n
t
e
s
x
1
,
x
2
,
x
3
dans la base canonique de IR
3
.
b)
M
o
n
t
r
e
r
q
u
e
t
xC
0
x
>
0
p
o
u
r
t
o
u
t
v
e
c
t
e
u
r
n
o
n
n
u
l
x
de IR
3
(on calculera
t
xC
0
x
(
x
1
+
x
2
+
x
3
)
2
).
c)
M
o
n
t
r
e
r
q
u
e
C
0
est inversible et déterminer la matrice inverse de
C
0
.
d) Calculer
t
xC
0
–1
x
p
o
u
r
t
o
u
t
v
e
c
t
e
u
r
x
d
e
c
o
m
p
o
s
a
n
t
e
s
x
1
,
x
2
,
x
3
dans la base canonique de IR
3
.
e)
M
o
n
t
r
e
r
q
u
e
t
xC
0
–1
x
>
0
p
o
u
r
t
o
u
t
v
e
c
t
e
u
r
n
o
n
n
u
l
x
de IR
3
.
2
°
)
I
n
v
e
r
s
i
b
i
l
i
t
é
d
e
l
a
m
a
t
r
i
c
e
C
a) Vérifier, pour tout couple (
x
,
y
) de vecteurs de IR
n
, que
t
xCy
est un nombre réel et que :
t
xCy
=
t
yCx
.
b) On considère un vecteur
x
a
p
p
a
r
t
e
n
a
n
t
a
u
n
o
y
a
u
d
e
C
, c'est à dire tel que
Cx
=
0
.
M
o
n
t
r
e
r
q
u
e
t
xCx
= 0 et en déduire que la matrice
C
est inversible.
c)
M
o
n
t
r
e
r
C
–1
est une matrice symétrique réelle d'ordre
n
, autrement dit que
t
(
C
–1
) =
C
–1
.
(
O
n
p
o
u
r
r
a
t
r
a
n
s
p
o
s
e
r
l
'
é
g
a
l
i
t
é
CC
–1
=
C
–1
C
=
I
n
I
n
désigne la matrice-identité d'ordre
n
).
d)
E
n
p
o
s
a
n
t
x
=
Cy
,
m
o
n
t
r
e
r
q
u
e
t
xC
–1
x
>
0
p
o
u
r
t
o
u
t
v
e
c
t
e
u
r
n
o
n
n
u
l
x
de IR
n
.
Etablir l'égalité suivante dans laquelle
u
,
v
sont deux vecteurs linéairement indépendants
de IR
n
:
2200
IR,
t
(
u
+
v
)
C
1
(
u
+
v
) =
t
uC
–1
u
+ 2 (
t
uC
–1
v
) +
2
(
t
vC
–1
v
).
Préciser le signe de ce trinôme du second degré en
et prouver l'inégalité suivante :
(
t
uC
–1
v
)
2
< (
t
uC
–1
u
)(
t
vC
–1
v
).
3
°
)
C
o
n
d
i
t
i
o
n
p
o
u
r
q
u
e
Q
(
x
)
Q
(
x
+
h
)
l
o
r
s
q
u
e
<
u
,
h
> = 0
On désigne ici par
x
un vecteur de IR
n
e
t
p
a
r
u
un vecteur non nul de IR
n
.
a)
M
o
n
t
r
e
r
,
p
o
u
r
t
o
u
t
c
o
u
p
l
e
(
x
,
h
) de vecteurs de IR
n
e
t
t
o
u
t
n
o
m
b
r
e
r
é
e
l
, que :
Q
(
x
+
h
) =
Q
(
x
)
+
2
<
h
,
Cx
> +
2
Q
(
h
).
b) On suppose que
Q
(
x
)
Q
(
x
+
h
)
p
o
u
r
t
o
u
t
v
e
c
t
e
u
r
h
tel que <
u
,
h
> = 0.
Etablir l'inégalité suivante pour tout vecteur
h
tel que <
u
,
h
> = 0 :
2200
IR,
2
<
h
,
Cx
> +
2
Q
(
h
)
0.
En déduire que <
h
,
Cx
>
=
0
p
o
u
r
t
o
u
t
v
e
c
t
e
u
r
h
tel que <
u
,
h
> = 0.
En déduire que
Cx
est colinéaire au vecteur
u
, c'est à dire que
x
est colinéaire à
C
–1
u
.
3
c) Etablir inversement, si
Cx
est colinéaire à
u
, que
Q
(
x
)
Q
(
x
+
h
) si <
u
,
h
> = 0.
d) La condition précédente est désormais supposée vérifiée et on note donc
Cx
=
u
.
M
o
n
t
r
e
r
q
u
e
=
a
<
u
,
x
> où
a
désigne un nombre réel dépendant de
u
e
t
C
–1
tel que
a
>
0
.
M
o
n
t
r
e
r
q
u
e
Q
(
x
) =
a
(<
u
,
x
>)
2
.
4
°
)
C
o
n
d
i
t
i
o
n
p
o
u
r
q
u
e
Q
(
x
)
Q
(
x
+
h
)
l
o
r
s
q
u
e
<
u
,
h
> = <
v
,
h
> = 0
On désigne ici par
x
un vecteur de IR
n
e
t
p
a
r
u
e
t
v
deux vecteurs linéairement indépendants de IR
n
.
a) On suppose que
Q
(
x
)
Q
(
x
+
h
)
p
o
u
r
t
o
u
t
v
e
c
t
e
u
r
h
tel que <
u
,
h
> = <
v
,
h
> = 0.
Etablir comme précédemment que <
h
,
Cx
>
=
0
p
o
u
r
t
o
u
t
v
e
c
t
e
u
r
h
tel que <
u
,
h
> = <
v
,
h
> = 0.
En déduire que
Cx
a
p
p
a
r
t
i
e
n
t
à
V
e
c
t
(
u
,
v
), c'est à dire que
x
a
p
p
a
r
t
i
e
n
t
à
V
e
c
t
(
C
–1
u
,
C
–1
v
).
b)
E
t
a
b
l
i
r
i
n
v
e
r
s
e
m
e
n
t
,
s
i
Cx
a
p
p
a
r
t
i
e
n
t
à
V
e
c
t
(
u
,
v
), que
Q
(
x
)
Q
(
x
+
h
) si <
u
,
h
> = <
v
,
h
> = 0.
c)
L
a
c
o
n
d
i
t
i
o
n
p
r
é
c
é
d
e
n
t
e
e
s
t
d
é
s
o
r
m
a
i
s
s
u
p
p
o
s
é
e
v
é
r
i
f
i
é
e
e
t
o
n
n
o
t
e
d
o
n
c
Cx
=
u
+
v
.
Montrer que les nombres réels
e
t
sont solutions du système suivant :
t
uC
-
1
u
+
t
uC
-
1
v
= <
u
,
x
.
t
vC
-
1
u
+
t
vC
-
1
v
= <
v
,
x
.
Montrer que ce système admet une solution unique, et que celle-ci est de la forme suivante :
=
a
<
u
,
x
-
b
<
v
,
x
= -
b
<
u
,
x
+
c
<
v
,
x
a
,
b
,
c
désignent trois nombres réels dépendant de
u
,
v
e
t
C
–1
tels que
a
>
0
e
t
c
>
0
.
M
o
n
t
r
e
r
q
u
e
Q
(
x
) =
a
(<
u
,
x
>)
2
2
b
<
u
,
x
>
<
v
,
x
> +
c
(<
v
,
x
>)
2
.
PARTIE II
5
°
)
C
o
v
a
r
i
a
n
c
e
d
e
s
v
a
r
i
a
b
l
e
s
a
l
é
a
t
o
i
r
e
s
X
e
t
Y
On considère deux variables aléatoires
X
e
t
Y
d
é
f
i
n
i
e
s
s
u
r
u
n
m
ê
m
e
e
s
p
a
c
e
p
r
o
b
a
b
i
l
i
s
é
e
t
a
d
m
e
t
t
a
n
t
des espérances
E
(
X
)
e
t
E
(
Y
)
e
t
d
e
s
v
a
r
i
a
n
c
e
s
V
(
X
)
e
t
V
(
Y
)
e
t
o
n
s
u
p
p
o
s
e
V
(
X
)
>
0
(
c
e
q
u
i
s
i
g
n
i
f
i
e
,
avec une probabilité égale à 1, que la variable aléatoire
X
n
'
e
s
t
p
a
s
c
o
n
s
t
a
n
t
e
)
.
L
a
c
o
v
a
r
i
a
n
c
e
d
e
s
d
e
u
x
v
a
r
i
a
b
l
e
s
a
l
é
a
t
o
i
r
e
s
X
e
t
Y
(
q
u
e
c
e
l
l
e
s
-
c
i
s
o
i
e
n
t
d
i
s
c
r
è
t
e
s
o
u
à
d
e
n
s
i
t
é
)
est
alors le nombre réel défini par Cov(
X
,
Y
) =
E
[(
X
E
(
X
)
)
(
Y
E
(
Y
)
)
]
o
u
e
n
c
o
r
e
E
(
XY
)
E
(
X
)
E
(
Y
).
a)
E
t
a
b
l
i
r
l
a
f
o
r
m
u
l
e
s
u
i
v
a
n
t
e
p
o
u
r
t
o
u
t
n
o
m
b
r
e
r
é
e
l
:
V
(
X
+
Y
) =
2
V
(
X
)
+
2 Cov(
X
,
Y
) +
V
(
Y
).
b) En considérant le signe de ce trinôme du second degré en , en déduire que :
(
C
o
v
(
X
,
Y
))
2
V
(
X
)
V
(
Y
).
E
t
a
b
l
i
r
d
e
p
l
u
s
q
u
e
(
C
o
v
(
X
,
Y
))
2
=
V
(
X
)
V
(
Y
)
s
i
e
t
seulement s'il
e
x
i
s
t
e
deux nombres réels
e
t
tels qu'on ait
X
+
Y
=
avec une probabilité égale à 1.
c) En déduire que le coefficient de corrélation
des variables aléatoires
X
,
Y
a
p
p
a
r
t
i
e
n
t
à
[
1
,
+
1
]
,
puis préciser à quelle condition nécessaire et suffisante
est égal à –1 ou +1.
O
n
c
o
n
s
i
d
è
r
e
p
e
n
d
a
n
t
u
n
e
p
é
r
i
o
d
e
d
o
n
n
é
e
u
n
m
a
r
c
h
é
f
i
n
a
n
c
i
e
r
o
ù
c
o
e
x
i
s
t
e
n
t
n
a
c
t
i
f
s
f
i
n
a
n
c
i
e
r
s
n
o
t
é
s
A
1
,
A
2
,
,
A
n
.
C
e
s
a
c
t
i
f
s
s
o
n
t
d
é
t
e
n
u
s
p
o
s
i
t
i
v
e
m
e
n
t
o
u
n
é
g
a
t
i
v
e
m
e
n
t
(
c
e
q
u
i
s
i
g
n
i
f
i
e
a
l
o
r
s
qu'ils sont vendus à découvert)
1
au sein de portefeuilles qu'on ne modifie pas dans la période.
O
n
d
é
s
i
g
n
e
p
a
r
R
1
,
R
2
,
,
R
n
l
e
s
n
v
a
r
i
a
b
l
e
s
a
l
é
a
t
o
i
r
e
s
q
u
i
r
e
p
r
é
s
e
n
t
e
n
t
l
e
s
t
a
u
x
d
e
r
e
n
t
a
b
i
l
i
t
é
des actifs
A
1
,
A
2
, … ,
A
n
au cours de la période considérée (ce qui signifie qu'une unité monétaire de
l
'
a
c
t
i
f
A
i
donne un gain aléatoire
R
i
à la fin de la période). On suppose que ces
n
variables aléatoires
R
1
,
R
2
, … ,
R
n
, qui sont définies sur un même espace probabilisé, admettent :
* des espérances
E
(
R
1
) =
m
1
,
E
(
R
2
) =
m
2
, … ,
E
(
R
n
) =
m
n
supposées non toutes égales.
* des variances
V
(
R
1
) =
1
2
,
V
(
R
2
) =
2
2
, … ,
V
(
R
n
) =
n
2
s
u
p
p
o
s
é
e
s
s
t
r
i
c
t
e
m
e
n
t
p
o
s
i
t
i
v
e
s
.
1
Cette situation se produit notamment dans le cadre des marchés à réglements mensuels.
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