ESSEC 2003 mathematiques i classe prepa b/l

Publié par

ESSECMBACONCOURS D’ADMISSIONOption lettres et sciences humainesEpreuve E.N.S. B/LMATHEMATIQUESIILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e a` prendre.EXERCICE Les probabilit´es au secours de Pers´eePers´ee est a` la recherche de son ´epouse Androm`ede qu’un dieu malveillant a enferm´ee dans une caverne. Malheu-reusement, il y a trois cavernes identiques : dans l’une se trouve Androm`ede mais dans chacune des deux autresse trouve une gorgone au regard p´etrifiant.Zeusintervient:”Monfils,jesaisdansquellecaverneAndrom`edesetrouvemaisjenepeuxpasteledire.Toutefoisje peux t’aider. Une fois que tu auras choisi une caverne, je peux t’indiquer parmi les deux cavernes restantes,une caverne ou` il y a une gorgone et je te conseille alors de modifier ton choix initial.”ˆPers´ee : ”O p`ere cruel, que je change ou non mon choix, il y a ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 275
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins
ESSEC M B A
CONCOURS D’ADMISSION
Option lettres et sciences humaines
Epreuve E.N.S. B/L
MATHEMATIQUES II
Lapre´sentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualite´delar´edaction,laclarte´etlapre´cisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´sa`encadrer.slucdetstaulalscurlepusoislblese´rsedanslamesured Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulelutilisationduner`eglegradue´eestautoris´ee. Siaucoursdel´epreuveuncandidatrepe`recequiluisembleuneerreurde´nonce´,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilseraamene´a`prendre.
EXERCICEbibarospLeesocrudsil´tseuaePers´ee Pers´eeesta`larecherchedeson´epouseAndrome`dequundieumalveillantaenferm´eedansunecaverne.Malheu-reusement,ilyatroiscavernesidentiques:danslunesetrouveAndrome`demaisdanschacunedesdeuxautres setrouveunegorgoneauregardp´etriant. Zeusintervient:Monls,jesaisdansquellecaverneAndrome`desetrouvemaisjenepeuxpasteledire.Toutefois je peux t’aider.Une fois que tu auras choisi une caverne, je peux t’indiquer parmi les deux cavernes restantes, unecaverneo`uilyaunegorgoneetjeteconseillealorsdemodiertonchoixinitial.ˆ Pers´ee:Op`erecruel,quejechangeounonmonchoix,ilyatoujoursunechancesurdeuxquejesoistransform´e en pierre!” Zeus:Perse´e,lamath´ematiqueestmeilleureconseille`requelacol`ere!Quelleestlaprobabilite´quePerse´etrouveAndrom`edesiPerse´enemodiepassonchoix? Quelleestlaprobabilit´equePerse´etrouveAndrome`desiPers´eemodiesonchoix? Que lui conseillez-vous?
1
` PROBLEMEaemtndslerlesrudi´etudieeme`dtsepudflborbjotiecLt´hoeironmocaledeitacinumh´ut-oerieo de l’information - introduite en 1948 par Claude Shannon. De´nitionsetnotations – (Ω,A, Pigneunespaceprobabilis´e.)´dse ln(x) ϕofcnitno´deinse]0urestla,1] parx7→ϕ(x) =. ln(2) Pourun´ev´enementAorabdpe´tneibile,llnuon on posei(A) =ϕ(P(A)). hetssuer[0no´deinalofcnit,1] par ln(x) h(0) = 0et pourx]0,1], h(x) =x ln(2) Pourunevariableale´atoireXdiscΩ(ruseine´dete`r,A, Peslru´ersl,elveap`oaon)sose´rsureseev d’existence : X H(X) =h(P(X=x)) xX(Ω) – SiXleva`astsuansdurlbmesneninee{x1, x2, . . . , xn}, alorsH(X) existe et, en notant pk=P(X=xk), on a : n n X X H(X) =h(P(X=xk)) =h(pk) k=1k=1 Remarque:Enthe´oriedelinformation,i(A)pptaeslee´dudetrtiniecntnemeev´eel´AetH(X)est l’incertitude moyenne- ouentropie- deX. Partie IrecnIededutits´ev´enements I.1) Onchoisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. SoitA.ruœcedemadalteeestir´artelacemtne´en´vel Que valentP(A) eti(A) ? I.2) SoitnN. On lancenfoisunepe.iliue´rbce`iqe´e Atve´o´betemeennerlnsitnisforP.ELIPresice´i(A). I.3)V´erierlespointssuivants: 0 0 (i)Pourun´ev´enementΩquasi-certain:i(Ω ) = 0. (ii) SiAeriartnoctnemelt´vee´enAossra,olesblbaroipqu´enti(A) = 1. (iii) SiAetBind´sontuopspalrnepetnadet´barolibiPet siP(AB)6= 0, alorsi(AB) =i(A) +i(B). I.4)Pr´eciserP(A1A2. . .An)uqnaementsenesdlv´´eA1, A2, . . . , Anestadtnpeneind´mentellemututnos P(A1A2. . .An)6= 0. Ende´duireunenouvellede´monstrationdeI.2) I.5) SoitAetBstntsqelued´xuee´veemenABetP(A)6= 0. Compareri(A) eti(B). I.6) Quevaut lim+ϕ(xleelquetr´rptein)t-eudoonatetnpiose´ratlurennecedt? x0
Partie IIscdireoiat´ealleete`rIncertenavirbatidudeuII.1) Soit(X, Yevarpledncou)uioere´taselaailbnodslaltocioiojneentdost´ennanedlstebaeluausvinat: X 12 3 Y 1 1 01/3 1/3Ainsi par exempleP(Y= 1X= 2) =. 3 2 1/60 0 3 1/60 0
2
D´eterminerlaloideXso,ecnare´psenE(X) etH(X). De´terminerlaloideYenps,osra´eencE(Y) etH(Y). II.2) SoitnNetUna`avelrudes´ntaaisoerriablealuneva{1,2, . . . , n}telle que : 1 pour toutk∈ {1,2, . . . , n},P(Un=k) =. n Que vautH(Un) ? II.3)V´erierquehest continue et positive sur [0,1]. ´ Est-elled´erivableen0?Etudierhouacerrbr´epenesitat.evedtseisensr II.4) SoitXnsnesuannieblem.variuneal´eableera`taiorudsavel Montrer queH(X)>ntme,sits,eleeutilaise´eva0ge´cXest quasi-certaine. II.5) Pourx[0,1], on poseh2(x) =h(x) +h(1x). a) Pourx[0,1], on a clairementh2(x) =h2(1xlacourbedese´ratluauqta`tn).esQuniigceeh2dans unrep`ereorthonorm´e? ´ b) Etudierh2ire´v,euqreh2admet sur [0,rqemeeluoidxnunmarrptee´ilcensohuendmeagra1p]h2. c) SoitXnruolldileioedeBtreeparam`e´laelbairavenuunntvauiesirtoeap]0,1[. Montrer queH(X)6tseusi,entsileme,aleg´eit1ac´vep= 1/2. II.6) SoitnN\ {0,1}et soitXtoirediscr`ete.Osnpuopesuqeairavenuae´laelb X(Ω) ={x1, x2, . . . , xn}avec pour toutk∈ {1,2, . . . , n},pk=P(X=xk)>0. a)Montrer,en´etudiantu7→u1ln(u), que : pour toutu >0,ln(u)6u1 (1) et que ln(u) =u1 si, et seulement si,u= 1. 1 b) Enutilisant (1) pour les, montrer que : npk H(X)6ln(n)/tuoleeuntme,psirtoulati´cgee,ste´is)aveln(2k∈ {1,2, . . . , n},P(X=xk) = 1/n. II.7) Soitp]0,1[ etGarep`eametr´gio´moeirtedeuqtoiresuivantunelnuveraailbae´laep. On posem=E(G) et pourkN,pk=P(G=k). a) Rappelerla valeur dem, montrer queH(G) existe et la calculer. b) SoitXenuveleteuqeleal´irtoiaareablX(Ω) =N,E(X) =metH(X) existe. PourkN, on poseqk=P(X=k) et on supposeraqk>0. Enutilisant(1)ve´rierquepourtoutkN, on a : qkln(p) + (k1)qkln(1p)qkln(qk)6pkqk et´etablir:H(X)6H(G´cgea)eve´islatieule,etssi,mentXelemquoiitsumˆlaeG.
Partie IIIunevarirtitudedtaioerocbaellae´ueinntecnI Pourunevariableale´atoireXdenstunettanadmetie´fcontinue surR´edprivunneut´veemtnleel +R nombre fini de points, on dit queXadmet uneincertitudent´egraleuqnaldih(f(x))dxconverge. −∞ +R Danscecas,lavaleurdelint´egraleH(X) =h(f(x))dxeel´peapsteincertitudedeX. −∞ III.1)Cas des lois normales a) SoitY0ecelaumreon´ree´rtn.teuiedenutniolusernavi´ealoiatrivaleab Montrer queH(Y0) existe et calculerH(Y0).
3
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.