ESSEC 2003 mathematiques ii classe prepa hec (ece)

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CONCOURS D’ADMISSION DE 2003Option ´economiqueMATHEMATIQUES IILundi 12 mai 2003 de 8h `a 12hLa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copieet poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.L’objectif du probl`eme est d’´etudier les rudiments de lath´eoriedelacommunication - ou th´eoriede l’information - introduite en 1948 par Claude Shannon.D´efinitions et notations(Ω,A,P) d´esigne un espace probabilis´e.ln(x)ϕ est la fonction d´efinie sur ]0,1] par x7→ϕ(x) =− .ln(2)Pour un ´ev´enement A de probabilit´e non nulle, on pose i(A) =ϕ(P(A)).h est la fonction d´efinie sur [0,1] parln(x)h(0) = 0 et pour x∈]0,1], h(x) =−xln(2)Pourunevariableal´eatoireX discr`eted´efiniesur(Ω,A,P)`avaleursr´eelles,onposesousr´eserved’existence : XH(X) = h(P(X =x))x∈X(Ω)Si X est a` valeurs dans un ensemble fini{x ,x ,...,x }, alors H(X) existe et,1 2 nen notant p =P(X =x ), on a :k kn ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CONCOURS D’ADMISSION DE 2003
Option´economique
MATHEMATIQUES II
Lundi12mai2003de8h`a12h
Lapr´esentation,lalisibilit´e,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclart´eetlapre´cisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´sa`encadreradalsnlccarseus.ulelrse´ustltadslemesuredupossible Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel´electronique estinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautorise´e. Siaucoursdel´epreuveuncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreurde´nonce´,illesignalerasursacopie etpoursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilseraamen´ea`prendre.
Lobjectifduproble`meestde´tudierlesrudimentsdelammoccinueiroaledth´eioatn´ethieorou-de l’information - introduite en 1948 par Claude Shannon.
De´nitionsetnotations ,A, Pgisenuenapserpecobabilis´e.d´) ln(x) ϕfanotcoidne´nei0]ersutsl,1] parx7→ϕ(x) =. ln(2) Pourun´eve´nementAt´enbilirobadepopnoesunno,elli(A) =ϕ(P(A)). htlessur[0dne´neifanotcoi,1] par ln(x) het pour(0) = 0x]0,1], h(x) =x ln(2) Pourunevariableale´atoireXr(Ωiesu´enetedid`rcs,A, Prse´elrua`av)ussosepoons,leelevrese´r d’existence : X H(X) =h(P(X=x)) xX(Ω) SiXlavasruesnadnenumbsenleiest`{x1, x2, . . . , xn}, alorsH(X) existe et, en notantpk=P(X=xk), on a : n n X X H(X) =h(P(X=xk)) =h(pk) k=1k=1 Remarque:Enthe´oriedelinformation,i(A)tspaep´leetnemene´ve´ldedetutiernciAetH(X)est l’incertitude moyenne- ouentropie- deX.
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Partie Ine´entmesevs´dedetutierncI I.1 )On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. SoitAenv´´eltenem«decœdamelaurritetracaltseee´». Que valentP(A) eti(A) ? ◦ ∗ I.2 )SoitnN. On lancenilrbe´.ece´eqeiuunisi`epfo Atv´enemenestl´e«obtenirnfois PILE»rseci´ePr.i(A). I.3)Ve´rierlespointssuivants: 0 0 (i)Pourun´ev´enementΩquasi-certain:i(Ω ) = 0. (ii) SiAltemene´ve´entcontraireA´tqeiurpbobael,soralssoni(A) = 1. (iii) SiAetBsitnoe´dn´eilitobabalrpoprunastepdnPet siP(AB)6= 0, alorsi(AB) =i(A) +i(B). I.4)Pre´ciseri(A1A2. . .An)quanmenestneseld´ve´A1, A2, . . . , Ansont mutuellement ind´ependantsetP(A1A2. . .An)6= 0. End´eduireunenouvelled´emonstrationdeI.2). I.5 )SoitAetBdeux´ev´enmenestetsluqeABetP(A)6= 0. Compareri(A) eti(B). I.6 )Que vaut limx0ϕ(xluat?tinteelleetqu)pnoi-tue´rprtatecedeesr´doonernn +
Partie IIenIidcs`rte´eedatuonierveacreiratbilteauld ◦ ∗ II.1 )SoitnN. SiUnsuit la loi uniforme sur{1,2, . . . , n}, que vautH(Un) ? II.2 )Si on supposeP(Z= 1) = 1/4, P(Z= 2) = 1/4 etP(Z= 3) = 1/2, que vautH(Z) ? ComparerH(Z) etH(U3). II.3)Onseproposedesimulerinformatiquementunevariableale´atoire. On supposera querandom(3)auitsahafrnoue´erme´lnudrbmonentde{1,2,3}et que random(2)´eeln´duarasuhtaofruinedtnem{1,2} programESSEC2003 var ini,y : integer; begin ini:=random(3); ifini=3theny:=random(2) ;elsey:=3 ; end; On appelleYle contenu deyemrgmae`rpautecx´seroupndioESSEC2003. Donner la loi deYnaecp´eronesle,rcsalcuE(Y) et son incertitudeH(Y). II.4)Ve´rierquehest continue et positive sur [0,1]. ´ Est-elled´erivableen0?Etudierhsentperd´teee.ativreasssnieberocru II.5 )SoitX´ealleab`areoiatiravenuembleni.avelrudsnausensn Montrer queH(X)>italsi´ets,eleeueva0ge´c,sintmeXest quasi-certaine.
Partie III´edealitaximMeirtpolne ´ III.1 )Etude pourn= 2. Pourx[0,1], on poseh2(x) =h(x) +h(1x). 2
a) Pourx[0,1], on a clairementh2(x) =h2(1xgniuesi).Qa`terecsu´eatltanqu la courbe deh2noro´m?edansunrep`ereorth ´ b) Etudierh2et donner son graphe. c) SoitXvinaerusoldiutenablevariatoial´eenuapariledonluBererem`etp]0,1[. Montrer queH(X)6st,ieslumeneva1eti,est´liga´eecp= 1/2. ´ III.2 )Etude pourn= 3. 2 a) SoitOl’ensemble des (x, y)]0,1[v1ant´erixy >0 eth3´endioctienfanol surOpar : h3: (x, y)7→h(x) +h(y) +h(1xy) OnadmetqueOest un ouvert. Montrer queh3admet au plus un extremum surO. b)Justierparunargumentdeconvexite´: pour toutu >0,ln(u)6u1 (1)
Iurpoutraitsuone,aDalsnquestrationsn´dmenolisireasln(u) =u1si, et seulement si, u= 1. c)Ende´duirequeh3admet un maximum global surO. On pourra utiliser(1)pour1/(3x)et pour1/(3y)entre autres. d) SoitXsntoire`avaleursdanuveraailbae´lae{x1, x2, x3}. Montrer que : H(X)6ln(3)/,istneesi,lit´ulemetse(n)2le´agvaceXsuit la loi uniforme sur {x1, x2, x3} III.3 )SoitnN\ {0,1}. SoitXruelnadserioava`alleat´evaneabrius{x1, x2, . . . , xn}. On pose pk=P(X=xk). a) Danscette question on suppose que pour toutk∈ {1,2, . . . , n},pk>0. 1 En utilisant (1) pour les, montrer que : npk H(X)6ln(n)/lumetees,inest)2(nlga´eecavi,est´liXsuit la loi uniforme sur {x1, x2, . . . , xn}. b)Ve´rierquelaconclusiondua)estencorevraieensupprimantlacondition «pk>0 pour toutk∈ {1,2, . . . , n}». III.4 )Soitp]0,1[ etGatoial´eivanresuuenbaelavirpadeueiqreetm`ragiolenutrte´moe´p. On posem=E(G) et pourkN,pk=P(G=k). a) Rappelerla valeur dem, montrer queH(G) existe et la calculer. b) SoitXeuqelleteriota´ealleabrivaneuX(Ω) =N,E(X) =metH(X) existe. PourkN, on poseqk=P(X=k) et on supposeraqk>0. Enutilisant(1)v´erierquepourtoutkN, on a : qkln(p) + (k1)qkln(1p)qkln(qk)6pkqk et´etablir:H(X)6H(Gi,ts)vacee´agilt´esi,etseulemenXmeˆeamtluiseuqiolG.
Partie IVuecoreinntuneudedrtitIncetaiolae´baelavir
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