ESSEC 2003 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

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ESSECMBACONCOURS D’ADMISSIONOption scientifiqueMATHEMATIQUESIILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.Le probl`eme ´etudie les rudiments de la th´eorie de la communication introduite en 1948 par Claude Shannon.Dans tout le probl`eme, (Ω,A,P) d´esigne un espace probabilis´e.Partie I Introduction informatiqueOn rappelle que les entiers compris entre 0 et 31 s’´ecrivent avec au plus 5 chiffres en binaire, on a donc :Pour tout n∈ [0,31]∩N, il existe une liste (a ,a ,a ,a ,a ) d’´el´ements de{0,1} telle que0 1 2 3 42 3 4 deuxn =a +a .2+a .2 +a .2 +a .2 =a a a a a .0 1 2 3 4 4 3 2 1 0Cette ´ecriture de n est unique et on appellera bin(n) la liste (a ,a ,a ,a ,a ).4 3 2 1 0I.1) D´eterminer l’´ecriture binaire de 6 puis bin(6) et d´eterminer bin(21) (on justifiera les r´esultats).I.2) On souhaite ´ecrire une proc´edure ...
Publié le : mardi 5 juillet 2011
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ESSEC M B A
CONCOURS D’ADMISSION
Option scientifique
MATHEMATIQUES II
Lapr´esentation,lalisibilit´e,lorthographe,laqualite´delar´edaction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´esa`encadrerpudeissolelb´rseandamslureslaucsl.esultatsdeleursc Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautorise´e. Siaucoursdele´preuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurde´nonc´e,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilseraamene´a`prendre.
Leproble`mee´tudielesrudimentsdelaoinmmnucitacoladeieor´ethintroduite en 1948 par Claude Shannon.
Danstoutleprobl`eme,,A, P)pecapsenilibabords´e.eugnsi´e Partie IIntroduction informatique Onrappellequelesentierscomprisentre0et31s´ecriventavecauplus5chiffres en binaire, on a donc : Pour toutn[0,31]N, il existe une liste(a0, a1, a2, a3, a4)esd´d´eelntme{0,1}telle que 2 3 4deux n=a0+a1.2 +a2.2 +a3.2 +a4.2 =a4a3a2a1a0. Cettee´crituredenest unique et on appellerabin(n)la liste(a4, a3, a2, a1, a0). I.1)D´eterminerle´criturebinairede6puisbin(6)etd´eterminerbin(21)(onjustieralesre´sultats). I.2)Onsouhaitee´crireuneproc´edurePascalpour obtenir bin(netrontvaesedureduiesC.)te´eplomc´roaprl qua`lissuedelex´ecutiondebin(n) on ait un tableau L tel que L[1] contiennea4, L[2] contiennea3etc: Typeecriture = array[1..5] of integer Procedure; var L : ecriture)bin(n : integer vareltuenev*)ntmelemoca`*(r´rete´lpi,:intege begin fori :=1to5do;L[i] :=0 (*a`compl´eter*) L=1end; I.3)Onsouhaitenume´roterlescartesdunjeustandardde32cartes.Onproposeci-apre`slaproc´edurecarte (quiutiliselaproc´edurebinpre´c´edente). Remarque :stringsenuetiuacedtcarre`euesqonlcesque`er(snertdeueaxpostrophes,onmete´dselengisesınaˆchctracade).
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Procedurecarte(n :integer) var fam : array[1..4] of string; val : array[1..8] of string; famille,valeur : string; L : array[1..5] of integer; begin fam[1]:=tre`e;fam[2]:=carreau;fam[3]:=coeur,fam[4]:=pique; val[1] :=’sept’; val[2] :=’huit’; val[3] :=’neuf’; val[4] :=’dix’; val[5] :=’valet’; val[6] :=’dame’; val[7] :=’roi’, val[8] :=’as’; L :=bin(n); famille :=fam[2*L[1]+L[2]+1]; valeur :=val[4*L[3]+2*L[4]+L[5]+1]; writeln´mreetuncaraselt);o,nuelav(,leilam,fedr, end; Quelleestlacartenume´ro6?Quiestlenum´ero1?Quelestlenum´erodeladamedecœur?
Partie IIlbe`emteoidnpuorPositoitusnnoitlossesedncfochrecher Oncherchea`d´enirunemesuredelincertitudeurun´ev´enementd-ri,e´dein,ropa`-tsec,tnemenev´´eundA deprobabilite´nonnulle,unnombrere´eli(A)llee´a,ppincertitude deAouentropie deAtaecspreed`emlolentne, suivant : (i)Pourle´ve´nementcertainΩ,lincertitudeestnulle:i(Ω) = 0. (ii) SiAletairertnoctnemene´ve´Auiprt´eqsonslaroel,sbobai(A) = 1. (iii) SiAetBstion´endndpetsanoprualrpbobaliti´ePet siP(AB)6= 0 alorsi(AB) =i(A) +i(B). (iv) SiP(A) =P(B)6= 0 alorsi(A) =i(B). Le dernier axiome (iv) signifie quei(A)peneen´dleer´duuedqp=P(A). II.1) Soitϕfenu]r0´eniesuonctiond,avelrudssan]1a`Rementnn´ru´eevou.PAorpeibabdnenoil´t,enounll poseiϕ(A) =ϕ(P(A)). Montrer que siϕleeri´etidionscno:sv ϕ(1) = 0etϕ(1/2) = 1(1) Pour toutp]0,1] ettoutq]0,1]ϕ(pq) =ϕ(p) +ϕ(q) (2) alorsiϕerv´iv).)et(iii(,)ii(,)i(ei II.2)Existe-t-ildesre´elsαetβpour lesquelsϕ:x7→αln(x) +β(1)et(2)v´erie? α,β II.3) Soitϕ:]0,1]Rune fonctioncontinue sur ]0,ina´vrete2((t)1).et1] a)Montrer,`alaidedunchangementdevariableane,quepourtoutp]0,1] : p1 Z Z 1 1 ϕ(t)dt=ϕ(p) +ϕ(q)dq p2 p/2 1/2 b)End´eduirequeϕdtseire´lbavures]0,natre1vit,]ed´enp7→(pontrd´eme:,)erqu 1 Z 1 1 0 p]0,1],=(p) +ϕ(q)dq 2 2 1/2
0 c)End´eduirequilexistealors(α, β) tel queϕ=ϕ(npo´disrererruonocadesionpreslexϕ(p)en α,β fonction dep).
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II.4)Quepeut-onconcluredecette´etude?
Partie IIIve´sededtnemene´Istutiernc ln(x) Danstoutelasuiteduproble`me, on noteraϕitnoofcnalur]0niesd´e,1] parx7→ϕ(x) =. ln(2) Pourun´eve´nementAedrpbobasopnennulle,oilit´enoi(A) =ϕ(P(A)) . III.1) Onchoisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. SoitAtnemenev´´el«ir´eeestladamedeœcrutetracal». Que valentP(A) eti(A) ? × III.2) SoitnNetEauecavntvariec´ssreitnesedelbmellspnseuntnle´neme´situchoie.Onnairneibrsecih deEau hasard etAtlesev´e´enemtn«le nombre obtenu est 0». Quel est le cardinal deE? Que valentP(A) eti(A) ? III.3) SoitAetBedxunemee´´vtsenlsteequABetP(A)6= 0. Compareri(A) eti(B). III.4) Quevaut lim+ϕ(xatlt?nodndrenreceuse´pr´etationpeut-oe)qteullietnre x0
Partie IVncIete`rcsieal´iabliredeatoutedreitveradnu Danstoutelasuiteduproble`menoalofcnitnsid`ere,oncohde´nsuie0r[,1] par
h(0) = 0et pourx]0,1],
ln(x) h(x) =x ln(2)
Pourunevariableale´atoirer´eelleXseei´ndΩe(treu`rcsid,A, Pdxesietcn:eno,)sepoussoesr´veer X H(X) =h(P(X=x)) xX(Ω)
H(X) est l’incertitude moyenne- ouentropie- deX. SiXniensneeblemvalest`aansuursd{x1, x2, . . . , xn},H(X) existe et, en notantpk=P(X=xk), on a :
n n X X H(X) =h(P(X=xk)) =h(pk) k=1k=1
× IV.1) SoitnN. SiUnsuit la loi uniforme sur{1,2, . . . , n}, que vautH(Un) ? IV.2) Sion supposeP(Y= 1) = 1/4, P(Y= 2) = 1/4 etP(Y= 3) = 1/2, que vautH(Y) ? Classer par ordre croissantH(U2),H(U3) etH(Y). IV.3)Ve´rierquehest continue et positive sur [0,1]. ´ Est-ellede´rivableen0?Etudierhisensrcaedtseevit.esr´taenrboueper IV.4) SoitXbairaventae´laelva`areoiansdurlesnmeuusenin.lbe Montrer queH(X)>´cevlagee´tie,iseutsmelesint,0aXest quasi-certaine. IV.5) Pourx[0,1], on poseh2(x) =h(x) +h(1x). a) Pourx[0,1], on a clairementh2(x) =h2(1xenir´ceQu).igestnauala`luseqtatcourbedeh2 dansunrep`ereorthonorme´? ´ b) Etudierh2et donner son graphe. c) SoitXirtouieseableal´venuairae`etraramidepoulleBnrioednuleavtnp]0,1[. Montrer queH(X)6egc´ve1aemtnis,alit´esi,etseulep= 1/2. IV.6) SoitX1etX2ifctpeessaparseederrs`mteind´ullidantepeniravelbaBedsonreuxdep1etp2. SoitZla variable de Bernoulli telle queP(Z= 1) =P(«X1+X2est impair»). Donnerlaloietlespe´rancedeZ. En notantp=P(Z(r1oˆeltron,c1)=2p) = (12p1)(12p2).
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