ESSEC 2004 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

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ESSEC 2004, math 1, option scientifiqueNotations Dans ce probl`eme, on d´esigne par n un nombre entier naturel non nul et on convientnd’identifier tout vecteur X deR a` la matrice-colonne de ses composantes x ,x ,...,x dans la1 2 nnbase canonique deR , c’est a` dire : x1x 2 X = . ..xntLa transpos´ee d’une telle matriceX est la matrice-ligne X = (x ,x ,...,x ). Le produit scalaire1 2 nncanonique d’un vecteur X et d’un vecteur Y deR est alors ´egal a` :nXthX,Yi = XY = x yi ii=1pLa norme euclidienne de X est d´efinie par ||X|| = hX,Xi et on dira qu’une suite de vecteursn n(X ) deR converge vers un vecteur X deR si la suite ||X −X|| converge vers 0.p pPour finir, on d´esigne par- I la matrice-identit´e d’ordre n- A une matrice sym´etrique r´eelle d’ordre n.Partie I : Etude d’une suite de vecteursn1) Dans cette question, on note C un vecteur non nul de composantes c ,c ...,c deR .1 2 nt ta) Expliciter le produit matriciel C C. La matrice C C est-elle diagonalisable?t 2 tb)Exprimer (C C) en fonction de C C et de la norme de C.t 2c) En d´eduire que toute valeur propre de C C est ´egale a` 0 ou a` ||C|| .d)Pr´eciser le sous-espace propre associ´e a` 0.t 2Calculer C CC en fonction de C et pr´eciser le sous-espace propre associ´e a` ||C|| .te) En d´eduire la nature de l’endomorphisme canoniquement associ´e `a la matrice C C. Montrerqu’il s’agit d’une projection orthogonale lorsque le vecteur C est unitaire.n2) Dans cette question, on d´esigne par ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC 2004, math 1, option scientifique
NotationsDansceproble`me,onde´signeparnun nombre entier naturel non nul et on convient n d’identifier tout vecteurXdeR`lamaolonnedeatrice-ctnassecsesopmox1, x2, . . . , xndans la n base canonique deRe:adirest`,c  x1 x2   X=   . xn t Latranspose´edunetellematriceXest la matrice-ligneX= (x1, x2, . . . , xn). Le produit scalaire n canonique d’un vecteurXet d’un vecteurYdeRe´agolsresta`l:a n X t hX, Yi=XY=xiyi i=1 p La norme euclidienne deXe´neiaprsedt||X||=hX, Xiet on dira qu’une suite de vecteurs n n (Xp) deRconverge vers un vecteurXdeRsi la suite||XpX||converge vers 0. Pournir,ond´esignepar -Intit´edordretamaledi-ecirn -Aquri´eerleelorderdnumetairecys´mten.
Partie I :Etude d’une suite de vecteurs
n 1)Dans cette question, on noteCun vecteur non nul de composantesc1, c2. . . , cndeR. t t a)Expliciter le produit matricielC C. La matriceC C?est-elle diagonalisable t 2t b)Exprimer (C C) enfonction deC Cet de la norme deC. t 2 c)edoutevaleurproprenEde´deriuteuqC Cetse´agela`a`uo0||C||. d)0.´e`aosicersarppoapecess-ouesrlseci´erP t 2 CalculerC CCen fonction deCoci´e`aorrpaesse-pscapeleerussor´tpisece||C||. t e)icerelanatuEnd´eduiodompriheredlneueiqntmeecsmonanala`rtamossae´icC C. Montrer qu’il s’agit d’une projection orthogonale lorsque le vecteurCest unitaire. n 2)Danscettequest,noi´dnogiseapenrXetYdeux vecteurs deR. ´ t tt t2 tt tt a)Etablir queXY=Y X,XAY=hX, AYi=hAX, Yi, (XY) =X(Y Y)X=Y(X X)Y. n b)Justifier l’existence d’une base orthonormale de vecteursU1, U2, . . . , UndeRpour lesquels existentdesre´elsλ1, λ2, . . . , λntels queAU1=λ1U1, AU2=λ2U2, . . . , AUn=λnUn. c)Exprimer les vecteursXetAXdans la base (U1, U2, . . . , Unurleueiqs`meorsndielaasnia) des produits scalaireshUi, XiethUi, AXiu1o`6i6nntvauiest´liga´e:erelorvuiupsp, n X 2 hX, AXi=λihUi, Xi i=1 d)esllivsutrmaieicetna:sEnd´eduagil´tserilesee´ n n X X t t I=UiUietA=λiUiUi i=1i=1 t Reconnaˆıtrelesendomorphismescanoniquementassocie´sauxmatricesUiUi. e)eler´nislagee´tiuissntva:esEnd´edui 2 2 min (λi)||X||6hX, AXi6max (λi)||X|| 16i6n16i6n
f )Application: encadrer par deux nombres entiers les valeurs propres de la matrice d’ordren de´nieci-dessous(touslese´le´mentssontnuls,saufsurlestroisdiagonalescentrales)   4 –10. . .0 . . . . –1 4. .. . . . . . . A= 0 . . .0   . . . . . ... . .–1 0. . .0 –14
3)Dans cette question, on noteρ(Amax () =|λi|). 16i6n n X 2 22 a)eerqueriV´||AX||=λhUi, Xi. i i=1 Prouver que||AX||6ρ(A)||X||eital.´enalt´gerre´lasiunvecteutexhiber ´ b)elavdecn´lriuqeEtliabivannssutesxurpseedtioiposo p i. Pour tout vecteurX, la suite (A X) tend vers 0 quandptend vers +ii.ρ(A)<1.
PartieII:Unproble`medeminimisation
Dans toute cette partie,Rp[Xesfoblednsemeleoˆemlonynopscnitnfeiri´eedsdr´egngise´d]rue oue´gala`petα, βuxr´eelssontde0t´vreina< α < β. On se propose de minimiser sup{|Q(t)|6t6β}`ouQtceir´dRp[X]etiev´erQ(0) = 1. 1)tcoisnocnOdisnre`esulaeditonefTpar´deinpeT0(t) = 1,T1(t) =t, et, sip>1, par la relationder´ecurrenceTp+1(t) = 2tTp(t)Tp1(t). p a)Montrer queTpgededemoe´rtsnuectioefonlynˆn-popnrtpdteerlseci´eiecoeect.   b)Prouverrte´lep,uotruoθet tout entier naturelpqueTpcos(θ) =cos(appe.Onra)ll`e ceteetlaformuledetrigonom´etriecos(a+b) = cos(a) cos(b)sin(a) sin(b). c)iueruspEnedd´{|Tp(t)|/16t61}et montrer queTpadmet dans [1,1]p´ezcnsttiissdro quelonpr´ecisera. 2)esigOnd´paneraeer´ellteuqun|a|>1. On se propose de minimiser sup{|Q(t)|/16t61}`uoQitcr´edRp[Xeire´vte]Q(a) = 1. Tp Pourcela,ond´esigneparSp.la fonction Tp(a) a)Ocnd`eronsiilene,su,etsixeitcnofennˆlypooneomPdeRp[X] telle queP(a1etv´eriant=) 1 sup{|P(t)|/16t61}<. |Tp(a)|       jπ jπ Pr´eciserpour06j6ple signe deSpcosPcos . p p End´eduirequeSpPa au moinspracinesr+1siitcnete´leeldsrureconeets,tiennoiartntcid enexaminantledegre´deSpP. b)Eirdu´enduspqeeu{|Q(t)|/16t61}o`uQtecrid´Rp[Xte]re´veiQ(a) = 1 est minimal 1 pourSp.et vaut |Tp(a)| 1 c)SiPeme`lborpeca`tnaisfaisatesomnˆlye(reuqnorton,msatinimidemiestunpoP+Sp) 2 estaussiunpolynoˆmesatisfaisant`aceprobl`eme,etquonapour06j6p:       1jπ jπ1 Pcos +Spcos =   2p p|Tp(a)| Ende´duirequeP=Sp.
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´ 3)es´poontisaEtilbaeuqropelˆnylesomvauiesntutlinuqselotuoidnpurobl`emedeminimi danslepre´ambuledecettepartie:   2tαβ Tp βα   α+β Tp αβ
PartieIII:R´esolutionite´rativedunsyste`meAX=B On supposera de plus, dans cette partie, que les valeurs propres deAsont strictement positives et on les classe comme suit : 0< λ16. . .6λn. One´tudieunem´ethodeite´rativeder´esolutiondusyste`medeCramerAX=Ba`tu,qd´onnien partirdunesuiteder´eelsstrictementpositifs(αp) et d’un vecteurX0deR: Xp+1=Xp+αp(BAXp) Justierlexistenceetlunicite´delasolutionXst`eme.dusy 1)Dans cette question, on suppose la suite (αpnaetnotsc)aale`,´egα >0. pa)Montrer, pour tout nombre entier naturelp, queXpX= (IαA) (X0X). b)rlseci´eurlevaesserporpsrPµ1, . . . , µnde la matriceIαA, ainsi queρ(IαAmax () =|µi|). 16i6n Tracerlacourberepre´sentativedelafonctiond´enieparf(α) =ρ(IαA). c)uireque(End´edXp) converge versXsi et seulement siα <2n. 2 Montrerquelaconvergenceestoptimaleenunsensquelonpre´ciserapourα= et λ1+λn montrer qu’alors :   p λnλ1 ∗ ∗ ||XpX||6||X0X|| λn+λ1 2)sacuatneivernOosnptolera´eeng´rbeentmotruopeuourelrnatntiep>1 : Pp(t) = (1α0t)(1α1t). . .(1αp1t) etPp(A) = (Iα0A)(Iα1A). . .(Iαp1A) a)´ePresrlsecipsruelavserporν1, . . . , νnde la matricePp(A), et montrer que   ρ(Pp(A)) =max (|νi|elin´egalit´ev)ire´ρ Pp(A)6sup{|Pp(t)|16t6λn}. 16i6n ∗ ∗ ´ b)Etablir queXpX=Pp(A)(X0X), puis que : ∗ ∗ ||XpX||6sup{|Pp(t)|16t6λn} ||X0X|| c)Lorsque l’entierplrisonseno-tiohcrembses,eoct´xptuemmneαj0`uo6j6p1 pour minimiserler´eelsup{|Pp(t)|16t6λn}? Etablir qu’on a alors : 1 ∗ ∗ ||XpX||6 ||X0X|| λ1+λn Tpλ1λn    p λ+λ 1n p1λn+λ1 Montrer queTpltneqsroeustequ´ealivptend vers +`a 2. λ1λnλnλ1 Comparerlaconvergencedelame´thodeite´rativea`αconstant de la question1avec celle de lame´thodeit´erativeoptimalede´veloppe´ea`cettequestion.
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