ESSEC 2004 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

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666ESSEC 2004, math 2, option scientifiqueNotationsDans tout le probl`eme, n d´esigne un entier naturel sup´erieur ou ´egal a` 2.On note E ={1, 2,...,n} = [[1,n]] et Ω l’ensemble des permutations de E .n nPour tout ensemble finiA, on note Card(A) son cardinal, c’est-` a-dire le nombre de ses ´el´ements.( n!n si 06k6nkOn note , ou C le nombren k!(n−k)!k0 sinonPartie IPour tout ω2 Ω, on appelle point fixe de ω, tout ´el´ement k2E tel que ω(k) =k.nOn appelle d´erangement toute permutation ω2 Ω telle que pour tout k2 E , ω(k) = k. Ainsinun d´erangement est une permutation sans point fixe.On note D ={ω2 Ω/8i2E , ω(i) =i}, et pour tout k2En,0 n nD ={ω2 Ω/ω admet exactement k points fixes}n,kEnfin, on noted = Card(D ) et pour tout k2E , d = Card(D ).n,0 n,0 n n,k n,k1) Montrer que [ D = ω2 Ω/ω| =Id et ω| est un d´erangementn,k I E \InIEnCard(I)=kou` ω| est la restriction de la permutation ω a` I, Id repr´esente la permutation identit´e, etIω| est la de la perm ω au compl´ementaire de I.E \In n2) En d´eduire que pour tout k2E , d = d .n n,k n−k,0k3)a) Soit ω2 Ω un d´erangement de E . Soit j2 [[1,n]]. On d´efinit l’applicationωf sur E parn j n+1ω(k) si k2{j,n + 1}ωf(k) = n + 1 si k =jj ω(j) si k =n + 1Montrer que l’on d´efinit ainsi un d´erangement de E .n+1b) Soit ω2 Ω admettant un unique point fixe j2 [[1,n]]. Montrer que ωf d´efini ci-dessus estjun d´erangement de E .n+1c) Montrer que les d´erangements de E construits dans les questions ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC 2004, math 2, option scientifique Notations Danstoutleproble`me,nigned´estierunenerslanutiruepue´alegu´ro2.`a On noteEn={1,2, . . . , n}=[1, n]] et Ω l’ensemble des permutations deEn. Pour tout ensemble finiA, on note Card(Anoacs)-`a-estal,crdinesederbmonelerids.ntme´eels´ (  n! n ksi 06k6n On note, ou Cle nombre nk!(nk)! k 0 sinon Partie I Pour toutωΩ, on appellepoint fixedeωtuot,neme´le´tkEntel queω(k) =k. On appellemee´ganrtndetoute permutationωΩ telle que pour toutkEn,ω(k)6=k. Ainsi unde´rangementestunepermutationsanspointxe. On noteDn,0={ωΩ/iEn, ω(i)6=i}, et pour toutkEn Dn,k={ωΩadmet exactementkpoints fixes} Enfin, on notedn,0= Card(Dn,0) et pour toutkEn, dn,k= Card(Dn,k). 1)Montrer que [   Dn,k=ωΩ|I=Idetω|En\Iare´dnutsetenemng IE n Card(I)=k ou`ω|Iest la restriction de la permutationω`aI,Idese´letnrperontienideraptamuete,t´ti ω|En\Iest la restriction de la permutationω´lmeocpmrideneateauI.   n 2)opeuotrutundEdu´eeqirkEn,dn,k=dnk,0. k 3)a)SoitωΩnu´dreedtnemegnaEn. Soitj[1, n´end.O]]ntaoilpcilpantiωfjsurEn+1par ω(k) sik6∈ {j, n+ 1} ωfj(k) =nsi+ 1k=j ω(j) sik=n+ 1 Montrerquelond´enitainsiund´erangementdeEn+1. b)SoitωΩ admettant un unique point fixej[1, n]]. Montrer queωfjtesusedssci-ie´nd und´erangementdeEn+1. c)erqreueldse´argnetmneonMtsdeEn+1construits dans les questions 3.a) et 3.b) sont distincts,etquetoutd´erangementdeEn+1coa¸n.teˆtuepnuteobreefttcede d)d´Enuieduqeredn+1,0=ndn,0+dn,1=n(dn,0+dn1,0). 4)Pour toutn>2, on poseun=dn,0ndn1,0 a)ete´Derrminun+1en fonction deun, puisunen fonction den. n b)´endirduueeqEdn,0=ndn1,0+ (1) . dn,0 c)On posev1= 0 et pourn>2,vni=nrmte´eD.ervnen fonction den, puis montrer que n! kn X (1) dn,0=n! k! k=0
Partie II Andelancerunnouveauproduitsurlemarche´,leservicemarketingduneentreprisepropose audirecteurge´ne´rallacampagnesuivante mettre en vente au prix unitaire debEuros,nexemplaires du produit, ´torfedeoc¸appanenardtenounrembcahuqeeexmplaireseranum´et1erentserimpcon, m´ero,ocesundnuortnuev´echsee,¸cfacaonteediu,trpdoerudplaiexemaquedechrueire´tnila`
aceluigentique`runa`tadrueire´pmexelenneuirlaidro´eumlcaruuqehetuveritrointa`al lexte´rieurgagneraBEuros. Onsupposequelesnume´roscach´essonttousdie´rents,comprisentre1etnet sont choisis au hasard. Avantdedonnersonaccord,ledirecteurg´ene´ralsouhaite´etudierlecouˆtdunetellecampagne. hh ii Andeformaliserlanotiondechoixauhasard,etpourtoutelasuiteduprobl`eme,onmunit   Ω, Ppaorabib()Ωdleete`rcisedrmfonieut´liPopeine´duturtoAΩ par Card(A) P(A) = Card(Ω) Enfin, on noteXnalavlealriaboire´eatese´rperneltnatnegedbroms.ntnaag 1)a)denEtulisinaltesr´esultatsdelamerpre`irape,eitetd´mierrlneoialXn. ´ b)lirlEtabsteanusvi´tseagilsee´ n nnk ni X XX X i i 1 (1) (1) 1 = =1 k!i!i!k! k=0i=0i=0k=0 (onjustierademani`erepr´eciselinterversiondesdeuxsignessommes) 2)Calerullcrenase´pecE(Xn) et la varianceV(Xnoiatre)alediravelbae´laXn(on pourra   d’abord calculerE Xn(Xn1) ). 3)a)lederiotae´latuoˆecelquertronMdtnoessepeirnerturlonporatiop´eepn´ar
Cn=nbBXn Ende´duirelecouˆtmoyenE(Cn), ainsi que lerisquecer,a-otdyntne´aplr´peσ(Cn). b)e`rpuovsaresad,seondidulas,epr´relae´´nuegrertcQuelle? 4)uderiotae´laniaacntyaraeuetchnaelegerquontrMquisunseulproduiettsodnne´apr Gn=BYnbo`,uYnetr`eameunstravelbai´laeotaeuivaireselointunnruoedeBperalldi 1/n´end.Egeleriudneyomniaruet.ledehca
Partie III 1)eatoiresablesal´deseavireualustintMorqre(Xn) converge en loi vers une loi de Poisson de parame`treλ= 1. 2)Montrer que pour toutkEn X 1i e 1(1) P(Xn=k)=   k!k!i!i=nk+1 3)SoitmN. Montrer que ∞ ∞ X X 1 11 2 6 6 k i!m! (m+ 1)m! i=m k=0 4)´ddenEuqeiuer n 1n+2 X e 2 P(Xn=k)6   k! (n+ 1)! k=0 5)iuavtnsePssaacsle`disnocnOontiuctrnssilere eps := 0.00001; x:= 2; k:=2; While x > eps/2 do begin x:=x*(2/k) ;k := k+1 end ; writeln(k) 2
a)On entre dans la boucleWhileavecxsoppusnO.2=es´astpesonueqj>1 fois dans cette boucle. Quelle est la valeur dexafoissuivante?`aenle´rtledeuobalelc n+1 2 b)Montrer que la suite (un)n>1raepnied´unecrostd´nteeissatenuatmdtielemi=e (n+ 1)! que l’on calculera. c)queluired´edEnelcuobaWhileci-dessus se termine. d)ni`ereliparladerarc´heeLvalauer´epenes1.t1erQumargseemdengorpu-ellte-te?
Partie IV SiXdrermentfactorieldoetsraainuveano,elleomelleppeal´eabl´eerirtok>,1lse´preceande lavariableale´atoireX(X1). . .(Xksoit+ 1),   mk(X) =E X(X1). . .(Xk+ 1) 1)Montrer que sik>n+ 1,alorsmk(Xn) = 0. 2)Soitk[0, n]]. Montrer que nk X mk(Xn) =P(Xnk=j) = 1 j=0 3)SoitZrmteerinevuneabliaarriotae´ltnaviuseoideunelsondPoismae`peraD.e´rt1emk(Z), pour toutk[0, n]]. 4)Ond´enitdespoylˆnmose(Pk)06k6npar P0(X) = 1 Pk(X) =X(X1). . .(Xk+ 1)sik>1 a)Montrer que la famille (Pk)06k6nforme une base deRn[Xrielectoolyndesp]soˆemvecapse, `acoecientsre´elsdedegre´inf´erieurou´egala`n. b)´ddeiuerquenEXnetZdrodstnemomsemeontlesmˆrek, pour toutktel que 06k6n. 5)Montrer que pour toutk[0, n]], il existe (a0,k, a1,k, . . . , ak,k)rel´eelstuesq k X Pj(X) k X=aj,k j! j=0 6)mriae´osucelcslaOnsitedouhaeer´esrl(lsa0,k, a1,k, . . . , ak,k). Pj(i) a)tout,pournireDe´etmrj[0, n]] etiN. j! i  X i k b)Montrer que pouri[0, k]],i=aj,k. j j=0 ´ c)Ecrire la matriceAontiuaes.q´edemt`syseced d)lorieseEnntcaa¸plselsnadtcevecapRk[Xspol]deemrsnyoˆdsdee´ler´egnfeiri´eroeuge´ula T a`kelexpressiondelednmorohpsiemerrape´tnese´rpe´,rircA(ectairameled´eosspantrA) dans la base canonique. T e)Montrer queAvnrees.nireosinsevnit´etdrmtesiereebl 1 f )iicreeqmuaetlraEnd´eduA.e´DislbimenterernverestiA, puis l’expression deaj,k, pour toutj[0, k]]. g)Donner l’expression des moments d’ordrek, (16k6n)ilreed,aeotae´lailbvaraXn. 3
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