ESSEC 2005 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

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ESSEC 2005, math I, option scientifiqueNotationsDans tout ce probl`eme, on consid`ere n un entier naturel non nul.tPour toute matrice M , on note M sa transpos´ee.nOn identifie l’espace vectorielR , muni de sa base canonique, a` l’ensemble des matrices colonnesna`n lignes; ainsi pour tout vecteurx deR et pour touti∈ [[1,n]], on notex sai-i`eme coordonn´eei x1x 2 et x = .. ..xnn tOn munit R de son produit scalaire canonique : hx,yi = xy et la norme euclidienne de x estpd´efinie par : ||x|| = hx,xinOn d´esigne par U une partie non vide deR .nA f fonction continue de U dans R, et y vecteur de R , on associe la fonction F d´efinie sur Uynpar : x 7→ hx,yi−f(x) et on note U(f) l’ensemble, ´eventuellement vide, des vecteurs y de Rpour lesquels F admet un maximum.y?Lorsque U(f) est non vide, on appelle fonction conjugu´ee de f la fonction not´ee f d´efinie sur?U(f) par : f (y) = max{F (x)/x∈U}.yPartie IDans cette partie, n = 1 et U est un intervalle deR; ainsi le produit scalaire se confond avec leproduit naturel surR et la fonction F est d´efinie sur l’intervalle U par F (x) =xy−f(x).y y?1) Lorsque U est un segment deR, montrer que f est d´efinie surR.2) Quelques exemples.?Apr`es avoir ´etudi´e les variations de F , pr´eciser U(f) et f dans les cas suivants :y2xa) U =R, f(x) =a ou` a est un r´eel fix´e strictement positif.2α∗ xb)U =R , f(x) = ou` α est un r´eel fix´e strictement sup´erieur `a 1.+ α1 1(on pourra introduire le r´eel β v´erifiant : ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC 2005, math I, option scientifique Notations Danstoutceproble`me,onconsid`erenun entier naturel non nul. t Pour toute matriceM, on noteM.enratpasssoe´ n On identifie l’espace vectorielRmstaeledesbmlnesonnescolriceinumased,quni`ae,sebanoca n `anlignes ; ainsi pour tout vecteurxdeRet pour touti[1, n]], on notexisai-i`emecoordonn´ee   x1 x2   etx= .   . xn nt On munitRde son produit scalaire canonique :hx, yi=xyet la norme euclidienne dexest p de´niepar:||x||=hx, xi n Onde´signeparUune partie non vide deR. n Affonction continue deUdansR, etyvecteur deR, on associe la fonctionFyusrnied´eU n par :x7→ hx, yi −f(x) et on noteU(fmesnel)eve´,elbntuellementvide,edvsceetrusydeR pour lesquelsFyadmet un maximum. ? LorsqueU(fedee´ugujnocnoitnoivsent)foncellenappde,ofe´eotnnioctonaflfeiusrde´n? U(f) par :f(y) = max{Fy(x)/xU}. Partie I Dans cette partie,n= 1 etUest un intervalle deR; ainsi le produit scalaire se confond avec le produit naturel surRet la fonctionFyetvrlaelestd´eniesurlinUparFy(x) =xyf(x). ? 1)LorsqueUest un segment deR, montrer quefriesu´enestdR. 2)Quelques exemples. ? Apre`savoire´tudi´elesvariationsdeFyr´eciser,pU(f) etfdans les cas suivants : 2 x a)U=R, f(x) =ao`uaif.ositentpctemese´xirtsrnutlee´ 2 α x b)U=R+, f(xo=)`uαreeirua`.1x´leer´unste´pustnemetcirtse α 1 1 (onpourraintroduirelere´elβe´vair:tn+.=1 α β x c)U=R, f(x) = e. ? ? 3)Pahucuocrcaspndes´eder´ecte´d,stn(renimref.noileuQ´eeditnemnsedblnsai)nesoueiq constat pouvez-vous faire? 2 4):equsepoupns,ontmenee´arellPsu´gU=Retfest une application de classeCsurR telle que l’image deRtincd´oniveree´etsrapofalR´eriantpourtouttuoettneiervtxlee´r 00 f(x)>0. ´ 0 a)Etablir quefonder´esnuaeilceitbejiRsurR. 0 On notegonr´catippliladeeoruqcepif. b)ssrerdoiavesr`Apavseduaelbatele´delapplriationscitaoinFyassco´i`aeefety, montrer   ? queU(f) =Ret que :xR, f(x) =xg(x)f g(x) . ? ?0 Justierlade´rivabilite´defet exprimer (f) enfonction deg. ? c)idutope´ruApr`esavoir´eyrlee´svleiaarontielsd:onticalippax7→xyf(xude´dne,)ire ? ? que : (f) =f. Partie II Onrevientauxnotationsdupre´ambule. n 1)On suppose dans cette question que :U=Retf(x) =||x||. n a)Pourtstel´erenemctritifiptsoteyR, calculerFy(ty)etpce´rresimilFy(ty). t+
n Quelle comparaison pouvez-vous faire entre les ensemblesU(f) et{yR/||y||61}? ? b)Lorsque||y||61, montrer que :Fy(x)6FyEn).edd´eriu(0U(f) etf. ? ? c)sire´Prce(f) . Danstoutelasuiteduproble`me,Amaneeugnymesictrise´dordree´rtqieu´reelldendont toutes les valeurs propres sont strictement positives. 0n0 0 On rappelle que :x, xR,hx, Axi=hAxx ,i. hx, Axi n 2)On suppose dans cette question que :U=Retf(x.) = 2 hx, Axi n n PouryRniis,on´deinatFysurRparFy(x) =hx, yi −. 2 a)lamre´,elbatlricaenemdrt:ennautlisignmecnahebasentdhonoeortutEn 2 2 λ||x||6hx, Axi6µ||x|| lorsqueλ, (respectivementµser(tcepmeviltneluaprasge)ndlevaru)´dseignelapluspetite propre deA. n b)Pourxethdeux vecteurs deR, exprimerFy(x+h)Fy(x) en fonction dehh, Ahiet hh, yAxitee´atlbquire:Fy(x+h)Fy(x)6hh, yAxi. n1 c)Montrer que, pour tout vecteurydeR,Fyadmet un maximum obtenu pour :x=A y ? ?? etpre´ciserU(f),fet (f) . hx, Axi 3)tionquaureOnrpneldmaeˆemofcn2),cesrid-a`-tef(x) =mais dans cette question, 2 n on suppose queUnepaestuedednee´ivnoe,exrmfeiertnvcoR. n n Onprolonge,defa¸connaturelleetpourtoutydeR,Fya`Ren posant : hx, Axi n xR, Fy(x) =hx, yi − 2 a)Existence d’un maximum. n Montrer que :yR,limFy(x) =−∞eirdu´endurpoueeqx0U: ||x||→+il existerre´vnai(ttsrictementpositif||x||> r=Fy(x)< Fy(x0)). ´ n n Etablir que l’ensembleU0=U∩ {xR/||x||6r}netuesorn´eedebteee´mrefeitrapR n etend´eduireque:U(f) =R. b)xameltna.mumi´eitundicUne´rtsila´le´neme 0n Pourxetxdeux vecteurs deUetyRrlarabliion:elat´,te 0 00 0   x+x Fy(x)Fy(x)hxx ,X(xx)i Fy− −= 2 22 8 0 En supposant quexetxltnasilae´rstcnistdirseuctveuxdesontdeimumemaxFy, montrer   1 ?0 que :f(y)< Fy(x+xnocedartlbatnuripu)´eisiction. 2 Partie III n Dans toute cette partie,csegiennu´devecteurdRetBrracnee´tameeciraunnuone`llnlignes etncolonnes. OnreprendlamˆemefonctionetlesmeˆmesconventionsquenII.3)et on choisit pourUl’ensemble n des vecteursxdeRire:tnav´Bx=c. On note ImMet KerMrpmodoenanecsmhiemeuqinoicossatnlimltnegaeeedlyouaa`e´enu matricecarr´eeMd’ordren. n On suppose quecImB; ainsiUstuneparededevionene´mrefexevnoceitR(on ne demande pasdelev´erier). n Dapr`eslesre´sultatsobtenusdanslapartieII, on sait que pour toutydeR,Fyadmet un unique vecteurxtrappaa`tnaneUdmeixumealietr´lemasantFy. Lobjectifdecettepartieestdedonnerunecaracte´risationdexemedlaogirhtunirblta´edet recherche. 2
1)isatt´ereiondcaraCx. 0n0t0 a)ireVe´opruoqtrteuux,xdeR,hx, Bxi=hBx, xi. t⊥ ⊥ Montrer que : ImB(KerBangnsi´ende)ptraK(reB) l’orthogonalde la partie KerB. tJustierl´egalite´desdimensionsdeImBet de (KerB)ee´udetdn:ueeqir tImB= (KerB) t ( On admettra que : rg(B) = rg(B) ). b)Lorsquehest un vecteur de KerBett:noitalerae´rn´,lebatelrilu hh, Ahi 2 Fy(x+th)Fy(x) =thyAx, hi −t 2 n End´eduirequexape´elr´tcasiredestxiceentcareszRltseedxu´vreinans:etconditio t Bx=cetyAx=Bz. 2)Un algorithme de recherche dex. n Ond´esigneparremcttpenitosetifurntsire´lez0un vecteur deRtond´enitlessuietse n (zp)pNet (xp)pNdeRpar : t pN, Axpy+Bzpet= 0zp+1=zp+r(Bxpc) a)ssteuixsndietboneseine´elleuqtriesv´esdeuntletaoirxlesn:oMtnerqreueldsue t A(xpx) =B(zzp) etzp+1z=zpz+rB(xpx) b)Montrer que : 2 22 2 pN,||zp+1z||=||zpz|| −2rhxpx, A(xpx)i+r||B(xpx)|| c)eedrordeunematricecarr´meno´Dncedistelextrernys´mteerportssetci-quriave`eualprrs 1/2 1/2 2 mentpositivesnot´eeAte´vna(treiA) =A. 1/2 1/2 On noteAla matrice inverse deA. 1/2 21/2 t1/2n Montrer la relation :||BA x||=hx, ABBA xipour toutxdeR. ´ 1/2 t1/2 Etablir que la matriceA BBAguretusqepelqsualreiveatdme´asnyetrspeorpru αest strictement positive . n2 tourute´udEdneuopriqexdeR, on a||Bx||6αhx, Axi. i h 2 d)On choisitr0,. α 2 2 Montrer que :||zp+1z|||| −zpz||6r(2)hxpx, A(xpx)i60. End´eduirequelasuite(||zpz||)pNest monotone convergente, puis quexpconverge vers x.
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