ESSEC 2005 mathematiques i classe prepa hec (ect)

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ESSEC 2005 MATHEMATIQUES OPTION TECHNOLOGIQUE EXERCICE I : Calcul matriciel 1 0 0 1 0 0Ø ø Ø øŒ œ Œ œOn considère les deux matrices suivantes : A = 1 -1 -1 et I = 0 1 0 . Œ œ Œ œŒ œ Œ œ-1 4 3 0 0 1º ß º ß 2 31. a) Déterminer la matrice J telle que : A = I + J , puis calculer J et J . n b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 3, J est égale à la matrice nulle. 2. a) A l'aide de la formule du binôme, montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : n(n -1)n 2 A = I + nJ + J . 2 b) En déduire alors, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, l'expression sous forme de ntableau de la matrice A . 23. a) Développer le produit (I + J )·(I - J + J ) . -1b) En déduire que A est inversible et préciser A en fonction de I et . J Vérifier que l'égalité obtenue à la question 2.a) reste vraie si n = -1 . EXERCICE II : Résolution d'une équation numérique On note (E) l'équation numérique suivante : ln x + x = 0 . L'objectif de cet exercice est, dans un premier temps, d'établir l'existence et l'unicité de la solution de (E) puis, dans un second temps, de démontrer la convergence d'une suite vers ce réel. On pourra utiliser les approximations suivantes à 0,1 près : et . e » 2, 7 1 /e » 0, 4 1. Existence et unicité de la solution de l'équation (E) Soit f la fonction définie sur ]0,+¥[ par : "x > 0, f (x) = ln x + x . a) Calculer les limites de f en et en + ¥ . 0b) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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QUEESSEC 2005 MATHEMATIQUES OPTION TECHNOLOGI EXERCICE I : Calcul matriciel é1 0 0ù é1 0 0ù ê úê ú On considère les deux matrices suivantes :A=1-1-1 etI=0 1 0. ê úê ú ê-1 43ú ê0 0 1ú ë ûë û 2 3 1. a) Déterminerla matriceJ telle que :A I J, puis calculerJ etJ. n  b)En déduire que, pour tout entiern supérieur ou égal à 3,J est égale à la matrice nulle. 2. a) Al'aide de la formule du binôme, montrer que pour tout entiern supérieur ou égal à 2 : n(n1) n2 A=I+nJ+J . 2 b) Endéduire alors, pour tout entiern supérieur ou égal à 2, l'expression sous forme de n tableau de la matriceA. 2 3. a) Développerle produit(I+J)´(I-J+J) . -1 b) Endéduire queA est inversible et préciserA en fonction deetJ.  Vérifierque l'égalité obtenue à la question 2.a) reste vraie sin1 . EXERCICE II : Résolution d'une équation numérique On note (E) l'équation numérique suivante :  lnx x0 . L'objectif de cet exercice est, dans un premier temps, d'établir l'existence et l'unicité de la solution de (E) puis, dans un second temps, de démontrer la convergence d'une suite vers ce réel. On pourra utiliser les approximations suivantes à 0,1 près :2, 7et 1/ 0,4 . e e 1. Existenceet unicité de la solution de l'équation (E)  Soitf0, la fonction définie sur par : "x0,f(x) lnx x. a) Calculerles limites def0 eten en¥ . b) Dresserle tableau de variations de la fonctionf . c) Montrerque l'équation (E) admet une unique solution dans0,. On notea ce réel. d) Montrer quea est compris au sens large entreet 1.1 / e e) Représentersur un même graphique les courbes d'équations respectivesylnx et  , ainsi que le pointA( de coordonnéesa, 0).
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2. Etuded'une fonction  Soitla fonction définie sur0, par : xlnx g(x)=. 2 a) Montrerque les équations (E) etg(x)x sont équivalentes. b) Déterminerg ; dresser le tableau de variations deet en déduire que l'intervalle 1 /,1 eststable par, c'estàdire que pour tout réelde 1/ ,1,g(x) e e appartient à1 /,1 . e c)· Déterminerg et préciser le sens de variation deg. · Enpour tout réelde1 /,1 puis,déduire un encadrement desur l'intervalle e 1 /,1 lamajoration : e e-1 g¢(x)£ . 2 e-1 ·l'inégalité suivante : Vérifier£0, 9. 2 · Montreralors que, pour tous réelsety de,1 ,1 /on a : e  (x)-g(y)£0, 9x-y. 3. Unesuite qui converge versa.  Ondéfinit la suite(u) enposant : n == u1 et"nÎ,un+1g(u) . ¥ 0n a) Al'aide d'un raisonnement par récurrence, déduire de la question 2. b) que pour tout entier natureln ,u1 / appartient à,1 . ne b) Montreralors que pour tout entier natureln: u-a £0, 9u-an+1n  puisque : n u-a £(0, 9). n c) Conclurequant à la convergence de la suite(u) . n d) Déterminer unentier naturelN tel que, pour tout entiernsupérieur ou égal àN, on ait : u-a £0, 001. n 3ln10  (ondonne à cet effet l'approximation suivante à 0,1 près :»65, 6 ). l 10-l 9
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EXERCICE III : Probabilités 1. Questionpréliminaire(une formule sur les coefficients binomiaux) Démontrerque, pour tous entiers naturelsetm1 tels que :p m, on a l'égalité : æmömæm-1ö ç ÷=ç ÷. p pp-1 è øè ø Dans cet exercice,n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contient2n boules, parmi lesquellesn sont numérotées de 1àn, les autres portant toutes le numéro 0. On s'intéresse à l'expérience aléatoire qui consiste à tirer simultanément dans cette urnenboules au hasard. On considérera qu'un résultat est une partie àn éléments de l'ensemble des 2n boules (deux à deux discernables) et on munit l'ensembleW des résultats de la loi de probabilité uniforme(hypothèse d'équiprobabilité). 2. a) Quelest le nombre de résultats possibles de l'expérience aléatoire étudiée ?  b)Quelle est la probabilité de n'obtenir que des boules portant le numéro 0 ? c) Soiten entier compris au sens large entre 1 etn. æ2n-1ö  Justifierqu'il existe exactementç ÷. tirages où apparaît la boule numérotée n-1 è ø Dans la suite de cet exercice, pour tout entier naturelcompris au sens large entre 1 etn , on noteX la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la boule portant le numéroi fait partie du i tirage et la valeur 0 sinon. 3. Soiti un entier naturel compris au sens large entre 1 etn. a) Déterminerla loi de la variable aléatoireX (on veillera à donner une expression très i simple des résultats en utilisant 1.). b) Préciser l'espérance et la variance deX. i 4. Soienti etdes entiers naturels compris au sens large entre 1 etn. a) Calculerla probabilité que la variable aléatoire produitX X prenne la valeur 1. i j n-1  Endéduire que l'espéranceE(X X) deX X vérifie :E(X X )=. i ji ji j 2(2n-1) b) Calculer la covariance desvariables aléatoiresX etX . Ces variables aléatoires sont i j elles indépendantes ?  Calculerla variance de la variable aléatoire :X+X . i j n 5. OnnoteS la variable aléatoire définie par :S=i X . å i i=1 a) Interpréterla variable aléatoireS. b) Calculerl'espérance deS. c) Quelleest la plus petite valeur den telle que, en moyenne, la somme des points lus sur les
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boules tirées dépasse 30 ? 6. Soitla variable aléatoire qui donne le nombre de boules portant le numéro 0 obtenues dans le tirage. a) Déterminerla loi de probabilité de. 2 n ænö æ2nö å  Endéduire l'égalitéç ÷=ç ÷. k n è øè ø k=0 b) Dans le cas particulier oùn.est égal à 2, calculer l'espérance et la variance de 7. Enfin,soit lavariable aléatoire donnant le nombre de boules portant un numéro non nul obtenues dans le tirage. a) Quepeuton dire de la variable aléatoire? (est définie à la question 6.)  Endéduire une relation simple entre : ·celle de; l'espérancede et · la.et celle devariance de b) Quepeuton dire sans effectuer le moindre calcul, des lois de probabilité deet ?  Préciseralors l'espérance de chacune des variables aléatoireset ;vérifier la cohérence du résultat avec celui de la question 6.b) . c) Exprimerà l'aides des variables aléatoiresX, ,X. 1n  Retrouverla valeur : ·l'espérance de; de · dela variance de, dans le cas particulier oùn est égal à 2. 2 n ænö d) Du calcul de l'espérance de, déduire une expression simplifiée de la sommekç ÷. å k k=0è ø
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